arbres aléatoires, conditionnement et cartes planaires - DMA - Ens

Enfin, les arbres de Lévy apparaissent comme les seules limites possibles pour des suites
d’arbres de Galton-Watson convenablement changés d’échelle. Nous renvoyons le lecteur aux
theorèmes 2.2.1 et 2.2.3 pour des énoncés précis.
1.2. Arbres continus régénératifs
L’objet de cette partie est de présenter le chapitre 2 de ce travail de thèse, qui est la version
d’un article [53] soumis pour publication. Il s’agit de caractériser les arbres de Lévy par une
propriété de régénération.
Introduisons pour cela quelques notations. Si (T ,d) est un arbre réel compact enraciné en ρ,
on note H(T ) sa hauteur c’est-à-dire
H(T ) = max {d(ρ,σ) : σ ∈ T } .
De plus, pour t,h > 0, on définit Z T (t,t + h) comme le nombre de sous-arbres de T issus du
niveau t et de hauteur strictement supérieure à h. Duquesne & Le Gall [22] ont montré que la
mesure Θ ψ vérifie la propriété de régénération suivante :
(R) pour t,h > 0 et p ∈ N, sous la mesure Θ ψ (· | H(T ) > t) et conditionnellement à
l’événement {Z T (t,t + h) = p}, les p sous-arbres de T issus du niveau t et de hauteur
strictement supérieure à h sont indépendants et de loi Θ ψ (· | H(T ) > h).
La propriété (R) est l’analogue pour des arbres continus de la propriété de régénération des
arbres de Galton-Watson. Nous avons montré que cette propriété caractérise les “lois” des arbres
de Lévy parmi les mesures infinies sur T.
Théorème 1.2.1. Soit Θ une mesure infinie sur (T,GH) telle que Θ(H(T ) = 0) = 0 et
0 < Θ(H(T ) > t) < +∞ pour tout t > 0, et satisfaisant la propriété (R). Alors il existe un
processus de branchement à espace d’états continu s’éteignant presque sûrement, de mécanisme
de branchement ψ, tel que Θ = Θ ψ .
L’idée principale de la preuve du théorème 1.2.1 est d’approcher les arbres régénératifs par
des arbres de Galton-Watson. Cette idée repose sur un procédé de discrétisation des arbres réels
que nous allons décrire brièvement.
On se donne ε > 0, n ≥ 1 et un arbre réel T ∈ T de hauteur H(T ) vérifiant (n + 1)ε <
H(T ) ≤ (n + 2)ε. Pour chaque k ∈ {0,1,... ,n}, on note σ1 k,... ,σk m k
les sommets de T à la
génération kε (c’est-à-dire à distance kε de la racine) dont sont issus les sous-arbres de T au
dessus du niveau kε et de hauteur strictement supérieure à ε. Chaque sommet σi
k+1 appartient à
un sous-arbre issu d’un élément σj k i
de l’ensemble {σl k : 1 ≤ l ≤ m k }. On dit alors que l’individu
σi k+1 est issu de σj k i
. Une difficulté provient du fait que l’ordre entre les individus σi k+1
1
,... ,σi k+1
l j
issus d’un même parent σj k n’est pas défini. En ordonnant uniformément ces individus, on peut
construire un arbre planaire A ε (T ) rendant compte de la généalogie dans l’arbre réel T de la
collection de points {σi k : 1 ≤ i ≤ m k, 1 ≤ k ≤ n}.
La propriété de régénération (R) nous assure alors que si T est distribué selon la mesure
de probabilité Θ(· | (n + 1)ε < H(T ) ≤ (n + 2)ε), l’arbre planaire A ε (T ) est un arbre de
Galton-Watson conditionné à avoir une hauteur égale à n.
Dans ce travail, nous nous sommes également intéressés aux mesures de probabilité sur T
vérifiant la propriété de régénération (R).
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