arbres aléatoires, conditionnement et cartes planaires - DMA - Ens

On pose N(k) = ( 2k−1
k−1
)
pour k ≥ 1. Pour tout suite q de poids comme précédemment on
définit
f q (x) = ∑ k≥0
N(k + 1)q k+1 x k , x ≥ 0,
et l’on note R q le rayon de convergence de la série entière f q . D’après la proposition 1 dans [43],
la suite q est admissible si et seulement si l’équation
(1.5.1) f q (x) = 1 − 1 x , x > 0,
admet au moins une solution. Dans ce cas Z q est la solution de (1.5.1) vérifiant
On dit que la suite q est régulière si
Z 2 q f ′ q (Z q) ≤ 1.
Z 2 q f ′ q (Z q) = 1.
Si de plus Z q < R q on dit que q est critique régulière.
Présentons finalement un cas particulier de mesure de Boltzmann ne chargeant que l’ensemble
des 2κ-angulations. Soit κ ≥ 2. On pose
α κ =
(κ − 1)κ−1
κ κ N(κ) .
Soit q κ la suite de poids définie par q κ = α κ et q i = 0 pour tout i ∈ N \ {κ}. D’après la partie
1.5 dans [43], la suite q κ est critique régulière et
Z qκ =
κ
κ − 1 .
Pour tout n ≥ 1, notons respectivement U n κ et U n κ la mesure uniforme sur l’ensemble des 2κangulations
enracinées et pointées et la mesure uniforme sur l’ensemble des 2κ-angulations enracinées.
On voit alors que
B r,p
q κ
(· | #F M = n) = U n κ,
B r q κ
(· | #F M = n) = U n κ .
1.5.2. Loi de Boltzmann sur l’ensemble des mobiles. Dans cette partie, on interprétera
les arbres spatiaux comme des arbres spatiaux à deux types en déclarant que les sommets
des générations paires sont de type 0 et les sommets des générations impaires sont de type 1.
Pour (A,U) ∈ A, on pose
A 0
A 1
= {u ∈ A : |u| est pair},
= {u ∈ A : |u| est impair}.
Un mobile (enraciné) est un arbre spatial à deux types (A,U) tel que les propriétés suivantes
sont vérifiées :
(a) U v = Uˇv pour tout v ∈ A 1 .
(b) Soit v ∈ A 1 tel que k v (A) = k ≥ 1. On note v (0) = ˇv le père de v et v (j) = vj pour tout
j ∈ {1,... ,k}. Alors pour tout j ∈ {0,... ,k},
où par convention v (k+1) = v (0) .
U v(j+1) ≥ U v(j) − 1,
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