arbres aléatoires, conditionnement et cartes planaires - DMA - Ens

On peut alors montrer qu’il existe une marche aléatoire (X n ) n≥0 de loi de sauts ν telle que sous
Π µ , presque sûrement, pour tout n ∈ {1,... ,#A − 1},
{
}
H n = # j ∈ {1,... ,n} : X j = inf X k .
j≤k≤n
1.1.2. Arbres continus aléatoires. En vue d’étudier la structure limite de certains arbres
discrets aléatoires, Aldous a introduit la notion d’arbre continu aléatoire.
L’ensemble des arbres continus que nous considérerons est l’ensemble des arbres réels compacts
enracinés. Un arbre réel est un espace métrique (T ,d) tel que pour chaque couple de points
(σ 1 ,σ 2 ) de T , il existe un unique arc noté [[σ 1 ,σ 2 ]] reliant σ 1 à σ 2 , cet arc étant isométrique à un
segment. Dans la suite, nous ne considérerons que des arbres réels compacts et enracinés, c’està-dire
ayant un point ρ distingué, que nous appellerons la racine. Deux arbres réels compacts et
enracinés T et T ′ de racines respectives ρ et ρ ′ sont dits isométriques s’il existe une isométrie
φ de T sur T ′ telle que φ(ρ) = ρ ′ . Nous noterons T l’ensemble des classes d’isométrie d’arbres
réels compacts enracinés.
L’espace T est muni de la distance de Gromov-HausdorffGH définie de la façon suivante :
si T et T ′ sont deux arbres réels compacts de racines respectives ρ et ρ ′ , alors
GH(T , T ′ ) = inf { δ Haus (ϕ(T ),ϕ ′ (T ′ )) ∨ δ(ϕ(ρ),ϕ ′ (ρ ′ )) } ,
où l’infimum est pris sur tous les plongements isométriques ϕ : T → E et ϕ ′ : T ′ → E dans un
même espace métrique (E,δ). On rappelle que si (E,δ) est un espace métrique, on note δ Haus
la distance de Hausdorff définie sur l’ensemble des sous-ensembles compacts de E.
On peut donner une définition équivalente de la distance de Gromov-Hausdorff. Pour ce
faire, il nous faut introduire la notion de correspondance entre deux espaces métriques. Une
correspondance entre deux espaces métriques (E,δ) et (E ′ ,δ ′ ) est un sous-ensemble R de E ×E ′
tel que pour tout x ∈ E (respectivement tout x ′ ∈ E ′ ), il existe x ′ ∈ E ′ (respectivement x ∈ E)
tel que (x,x ′ ) ∈ R. La distorsion de la correspondance R est alors définie par
dis(R) = sup { |δ(x,y) − δ ′ (x ′ ,y ′ )| : (x,x ′ ),(y,y ′ ) ∈ R } .
Si T et T ′ sont deux arbres réels compacts de racines respectives ρ et ρ ′ , on note C(T , T ′ )
l’ensemble des correspondances entre T et T ′ . On a alors
GH(T , T ′ ) = 1 2 inf { dis(R) : R ∈ C(T , T ′ ),(ρ,ρ ′ ) ∈ R } .
Evans, Pitman & Winter [24] ont montré que l’espace (T,GH) est un espace polonais.
On peut construire un arbre réel par un codage similaire au codage d’un arbre planaire par
son processus de contour. Plus précisément, si f : [0,+∞) → [0,+∞) est une fonction continue
à support compact telle que f(0) = 0, on peut construire l’arbre réel compact codé par f de la
façon suivante. Soit d f la pseudo-distance sur R + donnée par la relation
d f (s,t) = f(s) + f(t) − 2 inf
u∈[s,t] f(u),
avec 0 ≤ s ≤ t. On peut alors définir une relation d’équivalence sur R + en posant s ∼ t si
d f (s,t) = 0. L’arbre codé par f est alors l’espace quotient
T f = [0,+∞)/ ∼
muni de la distance d f et enraciné en la classe d’équivalence de 0. Pour tout s ∈ [0,+∞), on
notera ṡ la classe d’équivalence de s. Ainsi ṡ est un sommet de T f à distance f(s) de la racine.
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