arbres alÃ©atoires, conditionnement et cartes planaires - DMA - Ens

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Théorème 1.6.2. Soit q une suite de poids critique régulière. La loi sous la mesure de probabilité P µ q ,ν,1(· | #A 1 = n, U ≥ 1) de ( (αq ( ) C(2(#A − 1)t) βq V (2(#A − 1)t) n )0≤t≤1 1/2 , n )0≤t≤1 1/4 converge (au sens de la convergence étroite des mesures sur C([0,1], R) 2 ) quand n → ∞ vers la loi de (ζ,Ŵ) sous la mesure N 0. Le théorème 1.6.1 se déduit du théorème 1.6.2 en utilisant les propriétés vérifiées par la bijection de Bouttier, di Francesco & Guitter. En particulier on observe que la loi de R M sous la mesure B r q coïncide avec la loi de la variable aléatoire sup {U v : v ∈ A} sous la mesure P µ q ,ν,1(· | #A 1 = n,U ≥ 1). Or le théorème 1.6.2 implique que la loi sous la mesure P µ q ,ν,1(· | #A 1 = n, U ≥ 1) de 1 n supU 1/4 v v∈A converge quand n → ∞ vers la loi sous N 0 de la variable aléatoire 1 sup Ŵ s , β q 0≤s≤1 c’est-à-dire d’après le théorème 1.4.2, la loi sous N 0 de la variable aléatoire ( ) 1 sup Ŵ s − inf Ŵ s . β q 0≤s≤1 0≤s≤1 La preuve du théorème 1.6.2 s’articule de manière analogue à la preuve du théorème 2.2 dans [39]. En particulier, une étape cruciale est le calcul d’estimations de la probabilité P µ q ,ν,1 ( U ≥ 1 | #A 1 = n ) . Proposition 1.6.3. Il existe des constantes γ > 0 et ˜γ > 0 telles que pour tout n suffisamment grand, γ n ≤ P ( µ q ,ν,1 U ≥ 1 | #A 1 = n ) ≤ ˜γ n . Cette proposition nous permet d’obtenir des résultats asymptotiques concernant les points de disconnection dans les grandes 2κ-angulations enracinées uniformes. Soit M une carte planaire et soit σ 0 un sommet de M. Soit σ ∈ V M \ {σ 0 }. On note S σ 0,σ M l’ensemble des sommets a de M tel que tout chemin allant de σ à a passe par σ 0 . On dit que σ 0 est un point de disconnection de M s’il existe σ ∈ V M \ {σ 0 } tel que S σ 0,σ M ≠ {σ 0} et l’on note D M l’ensemble des points de disconnection de la carte M. Soit (A,U) un mobile et soit v ∈ A 0 . Rappelons que τ v A = {w ∈ U,vw ∈ A}. Supposons que (τ v A) 0 ≠ {v} et que la condition suivante est satisfaite : inf { U vw : w ∈ (τ v A) 0 \ {∅} } > U v . On remarque alors que dans la construction de la carte M = Ψ r,p ((A,U)) l’ensemble S v,τ M est en bijection avec (τ v A) 0 (où l’on a noté τ le point distingué de la carte enracinée et pointée M). Le sommet v est donc un point de disconnection de M. 24
Rappelons que U n κ et U n κ désignent respectivement la mesure uniforme sur l’ensemble des 2κ-angulations enracinées et pointées à n faces et la mesure uniforme sur l’ensemble des 2κangulations enracinées à n faces. On montre alors le résultat suivant en utilisant la remarque précédente et la proposition 1.6.3. Théorème 1.6.4. Pour tout ε > 0, lim n→∞ Un κ ( ∃ σ 0 ∈ D M : σ 0 ≠ τ, n 1/2−ε ≤ #S σ 0,τ M ≤ 2n1/2−ε) = 1. Remarquons que si M est une 2κ-angulation à n faces alors d’après la formule d’Euler #V M = n(κ − 1) + 2. On déduit alors du théorème 1.6.4 le résultat suivant. Théorème 1.6.5. Pour tout ε > 0, lim n→∞ U n κ ( ∃ σ 0 ∈ D M : ∃ σ ∈ V M \ {σ 0 }, n 1/2−ε ≤ #S σ 0,σ M ≤ 2n1/2−ε) = 1. 25
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Proof of Theorems 3.1.1 and 3.1.2 :
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For every h > 0, we set N h 0 = N 0
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Now note that the range of the Brow
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and conditionally given W α , the
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for every i ∈ I and s ≥ 0. For
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and then, for every u ∈ T \{∅},
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Q θ ε As a consequence of Lemma 3
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From (3.5.3) and Lemma 3.5.3, it th
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ipartite planar maps are in one-to-
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Let us turn to the special case of
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Write P for the probability measure
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From [43], we know that µ 1 has sm
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(ii) The law of the random measure
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which means that k is the time of t
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Proof : The proof of this lemma is
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Recall that p ≥ 1 is such that µ
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such that each pair (T n ,U n ) is
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Then, under the probability measure
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Let us now define on the event E n
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which implies together with (4.3.29
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measure I n defined by 〈I n ,g〉
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Lemma 4.4.3. Let (T ,U) ∈ T mob 1
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where the last bound follows from a
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However we can find β > 0, γ > 0
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[25] Evans, S.N., Winter, A. Subtre
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