arbres aléatoires, conditionnement et cartes planaires - DMA - Ens

De plus, il existe une mesure N 0 sur l’espace T sp telle que
lim
ε↓0
N 0 (dT dY | X T ,Y ⊂ (−ε, ∞)) = N 0 (dT dY ),
au sens de la convergence étroite des mesures sur T sp .
Le deuxième théorème principal de ce travail donne une représentation explicite de l’arbre réel
spatial de loi N 0 au moyen d’une transformation de l’arbre brownien analogue à la transformation
de Vervaat du pont brownien.
Rappelons brièvement en quoi consiste la transformation de Vervaat du pont brownien. Soit
(B t ,t ∈ [0,1]) un pont brownien sur [0,1]. Il est connu que presque sûrement, il existe un unique
instant t ∗ ∈ [0,1] tel que
B t∗ = min
t∈[0,1] B t.
On définit un processus B ∗ = (B ∗ t ,t ∈ [0,1]) par la transformation
B ∗ t = B {t∗+t} − B t∗ ,
où {t ∗ + t} est la partie fractionnaire de t ∗ + t. Vervaat [52] a montré que la loi du processus B ∗
est alors la loi n de l’excursion brownienne normalisée.
La transformation que nous effectuons sur les arbres réels spatiaux est une opération de
“réenracinement au minimum”. Présentons tout d’abord en quoi consiste le réenracinement d’un
arbre réel spatial en l’un de ses sommets. Si (T ,Y ) ∈ T sp et σ ∈ T , on définit l’arbre réenraciné
(T [σ] ,Y [σ] ) de la façon suivante. L’arbre T [σ] est l’arbre T , mais sa racine est le sommet σ et
non plus ρ. Puis on translate les positions spatiales en posant pour tout σ ′ ∈ T ,
Y [σ]
σ ′ = Y σ ′ − Y σ .
Par ailleurs, on montre (voir la proposition 3.2.5) que sous la mesure N 0 , il existe presque
sûrement un unique sommet σ ∗ ∈ T tel que
Y σ∗ = min {Y σ : σ ∈ T }.
On est alors en mesure d’énoncer le deuxième théorème principal de ce travail.
Théorème 1.4.2. La mesure N 0 est la loi sous N 0 de l’arbre réenraciné (T [σ∗] ,Y [σ∗] ).
Le point de départ de la preuve de ce théorème est une propriété d’invariance de l’opération
de réenracinement sous N 0 . Marckert & Mokkadem [45] (voir aussi le théorème 3.2.3) ont montré
que pour toute fonction mesurable positive sur T sp et pour tout s ∈ [0,1], on a
(
N 0
(F T [ṡ] ,Y [ṡ])) = N 0 (F(T ,Y )) .
Les théorèmes 1.4.1 et 1.4.2 peuvent être exprimés en termes du serpent brownien. Tout
d’abord, notons que la proposition 3.2.5 nous assure que N 0 presque sûrement, il existe un
unique s ∗ ∈ [0,1] tel que
}
Ŵ s∗ = min{Ŵs : s ∈ [0,1] = min {W s (t) : t ∈ [0,ζ s ], s ∈ [0,1]} .
De plus, pour tout s ∈ [0,1], on pose
ζ [s]
r = ζ s + ζ {s+r} − 2 inf
[s,{s+r}] ζ,
Ŵ [s]
r
= Ŵ{s+r} − Ŵs.
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