arbres aléatoires, conditionnement et cartes planaires - DMA - Ens

de sommets de A 0 de telle sorte que pour tout k ∈ {0,1,... ,ξ}, le sommet w k est le sommet
visité par le contour de A au temps 2k. De plus on définit un mobile bien étiqueté (A,U + ) par
la relation pour v ∈ A
U + v = U v − min{U w : w ∈ A} + 1.
Notons que
min { U + w : w ∈ A} = 1.
Supposons maintenant que l’arbre planaire A est dessiné dans le plan et ajoutons un sommet
∂. On associe au mobile (A,U) une carte planaire dont l’ensemble des sommets est
A 0 ∪ {∂},
et dont les arêtes sont obtenues par le procédé suivant :
• si U + w k
= 1, on trace une arête entre w k et ∂,
• si U + w k
≥ 2, on trace une arête entre w k et le premier sommet parmi w k+1 ,...,w ξ−1 ,
w 0 ,...,w k−1 dont l’étiquette est U + w k
− 1.
La condition (b) de la définition d’un mobile garantit que si U + w k
≥ 2, alors il existe un sommet
parmi w k+1 ,...,w ξ−1 ,w 0 ,...,w k−1 dont l’étiquette est U + w k
− 1. La carte planaire ainsi obtenue
est une carte bipartie que l’on pointe en ∂ et que l’on enracine en l’arête obtenue pour k = 0
dans la construction précédente.
Bouttier, di Francesco & Guitter [11] ont montré que la construction précédente fournit une
bijection Ψ r,p entre l’ensemble des mobiles (A,U) tels que U ∅ = 1 et l’ensemble des cartes
biparties enracinées et pointées.
On remarque que si (A,U) est un mobile bien étiqueté tel que U ∅ = 1 alors U + v = U v pour
tout v ∈ A. En particulier U + ∅ = 1. On en déduit que l’arête distinguée de la carte Ψ r,p((A,U))
contient le point ∂. On peut ainsi indentifier Ψ r,p ((A,U)) à une carte enracinée. Cela implique
que la bijection Ψ r,p induit une bijection Ψ r entre l’ensemble des mobiles bien étiquetés (A,U)
tels que U ∅ = 1 et l’ensemble M r (voir la figure 2).
La bijection Ψ r vérifie les deux propriétés suivantes : soit (A,U) un mobile tel que U ∅ = 1
et soit M = Ψ((A,U)),
• pour tout k ≥ 1, l’ensemble {f ∈ F M : deg(f) = 2k} est en bijection avec l’ensemble
{v ∈ A 1 : k v (A) = k},
• pour tout l ≥ 1, l’ensemble {a ∈ V M : d(∂,a) = l} est en bijection avec l’ensemble
{v ∈ A 0 : U v = l}.
Enfin signalons la propriété suivante (voir la proposition 10 dans [43]). La distribution de
Boltzmann conditionnée B r,p
q (· | #F M = n) est l’image de la mesure P µ q ,ν,1(· | #A 1 = n) par
l’application Ψ r,p . De plus, pour tout mobile (A,U) on définit
U = min { U v : v ∈ A 0 \ {∅} } .
La distribution de Boltzmann conditionnée B r q (· | #F M = n) est alors l’image de la mesure
P µ q ,ν,1(· | #A 1 = n, U ≥ 1) par l’application Ψ r .
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