arbres aléatoires, conditionnement et cartes planaires - DMA - Ens

CHAPITRE 1
Introduction
Ce travail de thèse est consacré à l’étude d’arbres aléatoires. Dans l’introduction à ce travail,
nous présenterons dans la partie 1.1 les arbres généalogiques aléatoires, c’est-à-dire les arbres
décrivant la généalogie d’une population aléatoire. Puis dans la partie 1.3, nous enrichirons la
structure d’arbres généalogiques pour en faire des arbres spatiaux. Un arbre spatial sera alors
un arbre généalogique pour lequel on a attribué à chacun de ses sommets une position spatiale.
Enfin dans la partie 1.5, nous présenterons les liens entre certains arbres spatiaux et les cartes
planaires biparties.
Les parties 1.2, 1.4 et 1.6 présentent les contributions originales de ce travail de thèse.
1.1. Arbres généalogiques aléatoires
1.1.1. Arbres de Galton-Watson. Un arbre de Galton-Watson est un arbre discret
aléatoire qui décrit la généalogie d’une population gouvernée par un processus de Galton-Watson
(ou processus de branchement discret). Ce modèle d’arbres généalogiques a été introduit par Neveu
[48].
Commençons par présenter le formalisme des arbres discrets. On note U l’ensemble des mots
d’entiers défini par
U = ⋃ n≥0
N n ,
où par convention N = {1,2,...} et N 0 = {∅}. Un élément de U est une suite u = u 1 ...u n
et l’on pose |u| = n de sorte que |u| représente la génération de u. En particulier, |∅| = 0. De
plus, si u = u 1 ...u n ∈ U \ {∅} = U ∗ alors on note ǔ le père de u c’est-à-dire ǔ = u 1 ... u n−1 .
Enfin si u = u 1 ...u n ∈ U et v = v 1 ...v m ∈ U, on définit la concaténation de u et v par
uv = u 1 ...u n v 1 ...v m . En particulier u∅ = ∅u = u.
Un arbre planaire est un sous-ensemble fini A de U vérifiant les propriétés suivantes :
• ∅ ∈ A,
• si u ∈ A \ {∅} alors ǔ ∈ A,
• pour tout u ∈ A, il existe un nombre k u (A) ≥ 0 tel que uj ∈ A si et seulement si
1 ≤ j ≤ k u (A).
On note A l’ensemble des arbres planaires. Si A ∈ A, on note H(A) la hauteur de A c’est-à-dire
H(A) = max{|u| : u ∈ A}.
Tout arbre planaire est codé par un processus appelé processus de contour. Pour définir le
processus de contour d’un arbre planaire A, imaginons une particule se déplaçant tout autour
de A dans le sens des aiguilles d’une montre à vitesse 1. Chaque arête est visitée deux fois par la
particule si bien qu’il lui faut un temps 2(#A − 1) pour parcourir entièrement A. Pour chaque
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