arbres aléatoires, conditionnement et cartes planaires - DMA - Ens

Décrivons l’arbre réel spatial de loi N h 0 . Tout d’abord, on peut montrer que Nh 0 presque
sûrement, il existe un unique sommet σ ∈ T tel que
d(ρ,σ) = h.
Pour tout t ∈ [0,h], soit σ t l’unique point de l’arc [[ρ,σ]] tel que d(ρ,σ t ) = t. On définit alors un
processus (R h t ,0 ≤ t ≤ h) par la relation,
R h t = Y σ t
, t ∈ [0,h].
On montre que la loi du processus (Rt h ,0 ≤ t ≤ h) est absolument continue par rapport à la loi
de (β t ,0 ≤ t ≤ h) où β est un processus de Bessel de dimension 9. Nous renvoyons à la partie
3.4 pour l’expression explicite de la densité de la loi de (Rt h ,0 ≤ t ≤ h) par rapport à la loi du
processus de Bessel (β t ,0 ≤ t ≤ h). De plus, on montre que le processus (Rt∧h h ,t ≥ 0) converge
en loi vers (β t ,t ≥ 0) quand h → ∞.
Par ailleurs, notons (T i ,i ∈ I) la famille des sous-arbres de T issus de l’arc [[ρ,σ]]. Soit σ i le
point de [[ρ,σ]] dont est issu le sous-arbre T i . On pose
On définit alors une mesure ponctuelle M par
d i = d(ρ,σ i ).
M = ∑ i∈I
δ (di ,T i ).
Puis, si l > 0, on note n