arbres aléatoires, conditionnement et cartes planaires - DMA - Ens

Nous pouvons maintenant définir l’arbre brownien. Si T ∈ T et x ∈ R, on note Q x (T ,dY ) la
loi du processus gaussien (Y σ ,σ ∈ T ) caractérisé par
• E(Y σ ) = x,
• Cov(Y σ ,Y σ ′) = d(ρ,σ ∧ σ ′ ),
où σ ∧ σ ′ est le plus proche ancêtre commun à σ et σ ′ , c’est-à-dire le sommet de T vérifiant
la relation [[ρ,σ ∧ σ ′ ]] = [[ρ,σ]] ∩ [[ρ,σ ′ ]] (sous une hypothèse faible sur T toujours réalisée dans
la suite, (Y σ ,σ ∈ T ) a une modification continue). Notons n la loi de l’excursion brownienne
normalisée. On définit une mesure de probabilité N x (dT dY ) sur T sp en posant
∫
∫ ∫
N x (dT dY )F(T ,Y ) = n(de) Q x (T e ,dY )F(T e ,Y ).
La mesure N x est la loi de l’arbre brownien issu de x 1 .
Le serpent brownien, introduit par Le Gall, est un objet intimement lié à l’arbre brownien.
Nous renvoyons le lecteur à [37] pour une présentation détaillée du serpent brownien et de
certaines de ses applications. Le serpent brownien est un processus de Markov à valeurs dans
l’espace des trajectoires arrêtées
W = ⋃
C([0,t], R).
t∈R +
Pour tout w ∈ W, on pose ζ w = t si w ∈ C([0,t], R). Autrement dit, ζ w représente le temps
de vie de la trajectoire w. De plus, on note ŵ = w(ζ w ) le point terminal de w. On définit une
distance d W sur W de la façon suivante :
d W (w,w ′ ) = sup
t≥0
∣
∣w(t ∧ ζ w ) − w ′ (t ∧ ζ w ′) ∣ + |ζ w − ζ w ′|.
On peut alors montrer que l’espace W muni de la distance d W est un espace polonais.
Construisons à présent le serpent brownien “conditionnellement à son temps de vie”. Pour
cela, on se donne une fonction continue f : [0,1] −→ [0,+∞) telle que f(0) = 0, et l’on pose
pour tous 0 ≤ s ≤ s ′ ≤ 1,
m(s,s ′ ) = inf
u∈[s,s ′ ] f(u).
Soit x ∈ R. Il existe alors un processus de Markov inhomogène (W s ,0 ≤ s ≤ 1) à valeurs dans W
tel que W 0 = x presque sûrement, et dont le noyau de transition est caractérisé par la description
suivante : pour tous 0 ≤ s ≤ s ′ ≤ 1,
• W s ′(t) = W s (t) pour tout t ≤ m(s,s ′ ), presque sûrement,
• (W s ′(m(s,s ′ ) + t) − W s (m(s,s ′ )),0 ≤ t ≤ f(s ′ ) − m(s,s ′ )) est indépendant de W s et
suit la loi d’un mouvement brownien partant de 0.
On note θ f x la loi du processus (W s ,s ≥ 0) et l’on pose,
N x (dζ dW) = n(dζ)θ ζ x(dW).
Le serpent brownien est alors le processus canonique ((ζ s ,0 ≤ s ≤ 1),(W s ,0 ≤ s ≤ 1)) de
l’espace C([0,1], R + ) × C([0,1], W) muni de la mesure de probabilité N x .
Remarquons que l’on peut définir sous N x un processus Y = (Y σ ,σ ∈ T ζ ) en posant pour
tout s ∈ [0,1] tel que σ = ṡ,
Y σ = Ŵs.
1 Les notations n et Nx introduites ici n’ont pas les mêmes significations que dans le chapitre 3.
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