Etude de méthodes de pas de temps local dans un schéma Galerkin ...

– ∀ Γ = K ∩ K ′ , α K Γ = αK′ Γ , δK Γ = δK′ Γ , βK Γ + βK′ Γ ≠ 0 et γK Γ + γK′ Γ ≠ 0,– ∀ Γ = K ∩ ∂Ω, β K Γ = 0, δK Γ = 0 et γK Γ ≠ 0 (ou αK Γ ≠ 0).Démonstration. On admettra le lemme suivant :Lemme 3 Soient Ω 1 et Ω 2 deux ouverts formant une partition de Ω, avec Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 . Soit de plus unefonction v telle que v |Ω1 ∈ [H rot (Ω 1 )] 3 et v |Ω2 ∈ [H rot (Ω 2 )] 3 . Alors v ∈ H(rot, Ω) si et seulement si[v × n]] Γ = 0.• On montre tout d’abord que (3)⇒(4)Soit (E, H) solution de (3). Les hypothèses de régularité des champs E et H (appartenance à H rot (Ω))permettent d’affirmer, d’après le lemme 3, que :∀ Γ ⊂ ∂K face interne,[[H × n]] K ∂K = 0,[[E × n]] K ∂K = 0,ce qui, injecté dans (4), après décomposition de ∫ ∂Ken faces internes et externes et en utilisant lesconditions aux limites, donne :⎧ ∫∫∫⎪⎨ε ∂ t E · ψ dx + σE · ψ dx = ∇ × H · ψ dx +∑β K ∂K [[H × n]]K ∂K · ψ ds,KKK∫∫Γ=K∩∂Ω⎪⎩µ ∂ t H · φ dx = − ∇ × E · φ dx +∑δ K ∂K [n × (H × n)]]K ∂K · φ ds.KKΓ=K∩∂ΩOn voit sans difficulté que, sous l’hypothèse β K Γ = 0 = δK Γ ∀ Γ ⊂ ∂Ω, cette expression est exactement(3) que l’on a multiplié par (ψ, φ) et intégré sur K, ce qui démontre l’implication.• On s’intéresse maintenant à la réciproque (3)⇐(4)Soit (E, H) solution de (4). On considère dans un premier temps ψ, φ ∈ [D(K)] 3 (fonctions infinimentdifférentiables à support compact dans K), les termes de bord ∫ ∂Kseront par conséquent nuls. Lesystème (4) s’écrit alors :∀ K ∈ T , ∀ ψ, φ ∈ [D(K)] 3 ,c’est-à-dire :{ 〈ε ∂t E, ψ〉 D ′ ,D + 〈σE, ψ〉 D ′ ,D = 〈∇ × H, ψ〉 D ′ ,D〈µ ∂ t H, φ〉 D ′ ,D = − 〈∇ × E, φ〉 D ′ ,D{ ε ∂t E + σE = ∇ × H dans D ′ (K),µ ∂ t H = −∇ × E dans D ′ (K),qui entraîne, du fait de la régularité de E et H (appartenance à L 2 (Ω) et à rotationnel dans L 2 (Ω)), lesrelations :∀ K ∈ T , { ε ∂t E + σE = ∇ × H presque partout dans K,(5)µ ∂ t H = −∇ × E pp dans K.On retrouve donc les équations de maxwell (3) dans Ω.Pour démontrer qu’il y a continuité tangentielle aux interfaces Γ = K ∩ K ′ , on considère cette foisψ, φ ∈ [D(K ∪K ′ )] 3 , ce qui aura pour effet d’annuler tous les termes de bords autre que celui sur Γ dans(4). Sachant que [[v]] K Γ = −[[v]]K′ Γet que la normale nK′Γ= −nK Γ, et en utilisant (5), le système (4) écritsur K et sur K ′ donne alors les quatre équations :11