Etude de mÃ©thodes de pas de temps local dans un schÃ©ma Galerkin ...

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On a donc l’expression du correcteur M ε−12 β optimal :2 β = − 2 b3 (M2 εa| M 2 εa)Mε 2 a.M ε−1On peut finalement écrire le schéma à deux classes avec correction énergétique :⎧M µ 2M µ 1M ε 1H n+ 1 22 −H n− 1 22∆t= −S T 2 En 2 + A 21E n 1 ,H n+ 1 61 −H n− 1 61∆t/3= −S T 1 En 1 + A 12E n 2 ,E n+ 2 61 −E n 1∆t/3= S 1 H n+ 1 61 − A 12 H n+ 1 22 ,⎪⎨M µ 1M ε 2M ε 1H n+ 1 21 −H n+ 1 61∆t/3= −S1 T 2 En+ 61 + A 12 E2 n,E n+12 −E n 2∆t= S 2 H n+ 1 22 − A 21 H n+ 1 21 ,E n+ 4 61 −E n+ 2 61∆t/3= S 1 H n+ 1 21 − A 12 H n+ 1 22 ,avec :⎪⎩M µ 1H n+ 5 61 −H n− 1 21M1ε E n+11 −E n+ 4 61(a = E2 n + E2 n+1 , b = E2n∆t/3= −S1 T 4 En+ 61 + A 12 E n+1∆t/3= S 1 H n+ 5 61 − A 12 H n+ 1 2H n+ 1 22 = H n+ 1 22 + M µ−12 α,E2 n+1 = E2 n+1 + M2 ε−1 β.∣ S 21(H n+ 1 61 − H n+ 1 2)1 )(+2 ,2 ,E n+12M µ−12 α = − 1 3 M µ−12 S 21 (E1 n − E n+ 2 61 − E n+ 4 61 + E1 n+1 ) et M2 ε−1 β = − 2 3∣ S 21(H n+ 5 61 − H n+ 1 2)1 )(28)b(M2 εa |M 2 ε 2a.a)MεCe schéma n’a pas encore été implémenté. Techniquement, la correction devra être faite lorsque lesflux parasites seront positifs (non dissipatifs) ou supérieurs à un nombre positif. Bien sûr, ces correctionsont un coût : l’évaluation des corrections M µ−12 α et M2 ε−1 β correspondants aux expressions (28).Cependant, cela reste raisonnable et beaucoup moins couteux que la résolution de systèmes linéaires.Si les résultats sont probants, il peut être envisagé d’étendre ce procédé aux schémas récursifs : ilfaudra pour cela que la répartition des classes soit faite de manière à ce qu’il n’y ai pas de saut de classeentre cellules voisines. Autrement dit, chaque cellule ne devra avoir que des voisins appartenant à desclasses immédiatement supérieures ou inférieures. Ainsi, pour chaque cellule on pourra se ramener aucas élémentaire N = 2 et appliquer ce type de correction.38
4 Résultats numériques - ConfrontationOn présente dans cette section plusieurs résultats numériques obtenus avec les méthodes de pas detemps local à deux classes avec interpolation et récursives à N classes. On donne pour chaque simulationla définition de la géométrie et les solutions obtenues par les différents schémas. On compare ensuite dansun tableau les gains en temps CPU que l’on obtient par rapport au schéma de leap-frog sans pas de tempslocal et enfin la répartition du nombre de cellules dans les différentes classes pour chaque méthode.Les schémas développés ont initialement été testés sur un cas test de cône plat. On les a ensuite misen œuvre sur des objets de plus en plus complexes, dont les maillages sont de plus en plus déstructurésafin de mettre en évidence l’apport des stratégies multi-classses. Il est important de préciser que pourtoutes les méthodes de pas de temps local utilisées dans ces simulations, la contrainte CFL sur le pas detemps à été multipliée par un facteur 0.8 afin de permettre les simulations sur des temps suffisammentlongs.On peut noter d’une part que, conformément à une remarque précédente, le schéma de type leapfrogrécursif est toujours plus performant que le Verlet récursif, d’autre part qu’avec des maillages peudéstructurés, le schéma à deux classes avec interpolation est plus performant que le Verlet récursif. Enrevanche, plus les maillages sont déstructurés, plus le besoin d’un nombre de classes élevé se fait sentir,et l’écart entre les méthodes récursives et la méthode à deux classe avec interpolation se creuse, et l’onobtient des gains de temps plus que conséquents 6 . Pour la dernière simulation par exemple, il est importantde souligner le fait que la durée d’une simulation ”typique” sans pas de temps local est de deux joursminimum sur un ordinateur de bureau. Avec les méthodes présentées, ce temps de calcul tombe à moinsde quatre heures ; des simulations dont le temps CPU était rédhibitoire (ou du moins très contraignant)deviennent ainsi réalisables avec l’utilisation du pas de temps local.Concernant les solutions numériques obtenues, on note qu’il y a coïncidence des différentes courbespour toutes les simulations, ce qui confirme la pertinence des schémas.6 Il est important de noter que les gains de temps de calcul dépendent du maillage utilisé. Il peut être nul si le maillage estparfaitement homogène (pas de classe de cellules) comme très important si le maillage est fortement déstructuré. On peut ainsiobtenir des gains encore plus grands que 14 (plus gros gain obtenu au cours de cette étude).39
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