Etude de méthodes de pas de temps local dans un schéma Galerkin ...

===3∑∑EK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 33∑∑EK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 33∑∑EK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 3∫∫ˆKˆK|J K | ( ε ◦ F K DF ∗−1 )Kθi l · DF∗−1K θi 0l0d̂x d’après (10)|J K | ( DF −1K ε ◦ F K DF ∗−1 )Kθi l · θi 0l0d̂x∑ω n |J K (ξ n )| ( DF −1K ε ◦ F K DF ∗−1Kn∈{1,...,(r+1)} 3)(ξn ) θ i l (ξ n) · θ i 0l0(ξ n ).Comme θ i l (ξ n) = δ l,n−→ ei et θ i 0l0(ξ n ) = δ l0 ,n −→ e i0 , cette expression est non nulle lorsque l = n = l 0 , d’où :∫Kε E · ψ dx =3∑EK,l i 0ω l0i=1∣ ∣ J K (ξ l0) ∣ ∣ ( DF −1K ε ◦ F K DF ∗−1K (ξ l 0) −→ e i)· −→ ei0 .En écrivant cette expression pour i 0 = 1, 2, 3 on obtient, en regroupant les trois scalaires {EK,l i 0} i0 =1,2,3dans un vecteur E K,l0 , un produit matrice-vecteur M K,l 0ε {EK,l i 0} i0 =1,2,3 de taille 3 × 3. En faisant demême avec tous les l 0 ∈ {1, ..., (r + 1)} 3 (i.e : ψ 0 parcourt toutes les fonctions de base de K), on obtientun produit matrice-vecteur Mε K E K dont la matrice Mε K =diag(M K,l 0ε ) l0 ∈{1,...,(r+1)} 3 est bloc-diagonaleet dont les inconnues sont regroupées dans un vecteur E K contenant tous les {E K,l0 } l0 ∈{1,...,(r+1)} 3.Enfin, en faisant ainsi pour toutes les cellules K ∈ T , on obtient une matrice globale bloc-diagonaleM ε =diag(Mε K ) K∈T dont chaque bloc (correspondant à chaque cellule) est lui-même bloc-diagonal(blocs 3 × 3), cette dernière propriété étant due au choix des espaces d’approximation particuliers.Les∫inconnues sont dans un vecteur E qui contient tous les vecteurs {E K } K∈T . Au final, le terme∂ t K ε E · ψ dx est donc discrétisé en M ε ∂ t E. On peut également remarquer que M ε est symétrique :en effet, il est facile de voir que chaque bloc M K,l 0ε est symétrique.La démarche est similaire pour ∫ K σE · ψ dx (resp. ∂ ∫t K µ H · φ dx) et on obtient M σE (resp.M µ ∂ t H). Par la suite, les calculs se déroulant plus ou moins de la même manière, ils seront un peumoins détaillés, et les notations utilisées seront les mêmes.Calcul des matrices de rigidité Elles sont obtenues en discrétisant ∫ K ∇ × E · φ dx et ∫ K ∇ × H · ψ dxdans la formulation (7). Soit φ 0 ∈ B, supp(φ 0 ) = K ∈ T , alors ∃ l 0 , i 0 tels que φ 0 ◦ F K = DF ∗−1K θi 0l0.On admettra que :∫K∇ × E · φ dx = signe(J K)= signe(J K)= signe(J K)3∑∑EK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 33∑∑EK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 33∑i=1∑∫ˆKl∈{1,...,(r+1)} 3 E i K,l ω n̂∇ × θ i l · θi 0l0d̂x∑ ( )ω n ̂∇ × θiln∈{1,...,(r+1)} 3(̂∇ × θil)(ξ l0) · −→ e i0(ξ n ) · θ i 0l0(ξ n )En faisant de même pour i 0 = 1, 2, 3 et l 0 ∈ {1, ..., (r + 1)} 3 (i.e ψ 0 parcourt toutes les fonctions debase de K), on obtient une formulation de la forme R K E K . Enfin, la même démarche pour toutes lescellules K ∈ T donne une discrétisation de la forme RE où R =diag(R K ) K∈T est bloc diagonale. Onpeut remarquer que le calcul de la matrice de rigidité sur les cellules K ∈ T ne dépend que du signe dujacobien J K , ce qui implique un très faible stockage par rapport aux méthodes de Galerkin discontinuclassiques.Il en est de même pour la discrétisation du terme ∫ K∇ × H · ψ dx qui donne RH.15