Etude de mÃ©thodes de pas de temps local dans un schÃ©ma Galerkin ...

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– pour chaque pas de temps local de 1 à n– évaluer H pour les cellules marquées 1 au temps t loc + ∆t min2– interpoler H pour les cellules marquées 3 et 4 au temps t loc + ∆t min2– évaluer E pour les cellules marquées 1 et 3 au temps t loc + ∆t min– t loc = t loc + ∆t min– évaluer H pour les cellules marquées 1 au temps t m + ∆t c2– évaluer E pour les cellules marquées 2,3 et 4 au temps t m + ∆t c– t loc = t m + ∆t c2– pour chaque pas de temps local de 1 à n– évaluer les champs électriques E pour les cellules marquées 1 au temps t loc + ∆t min2– interpoler E pour les cellules marquées 3 et 4 au temps t loc + ∆t min2– évaluer H pour les cellules marquées 1 et 3 au temps t loc + ∆t min– t loc = t loc + ∆t min– évaluer les champs E sur les cellules marquées 1 au temps t loc + ∆t min2– t m = t m + ∆t cCette méthode est simple à mettre en œuvre et donne de très bons résultats : on retrouve bien lasolution numérique attendue et le gain de temps calcul est significatif. Toutefois, la propriété de stabilitédu schéma leap-frog n’est plus assurée et peut entraîner une explosion du schéma sur de longs temps decalcul : il faut d’ailleurs souvent diminuer la condition CFL pour arriver au terme des longues simulations.Par exemple, dans les résultats numériques données dans la section 4, la contrainte à été durcied’un facteur 0.8 afin d’être stable sur les temps de simulation considérés. Ce phénomène a été étudiédans d’autres stratégies [9], [12], et semble dû à un cumul d’ondes parasites apparaissant à l’interface.Ce problème, que l’on rencontre souvent lors d’utilisation de pas de temps local, peut se comprendreintuitivement : lors d’un leap-frog classique, on a vu que l’énergie associée est conservée ce qui rendle schéma stable. Cette conservation d’énergie est due à une simplification des flux lorsque l’on sommeles énergies sur toutes les cellules. Lors de l’utilisation de pas de temps local, cette simplification n’a engénéral plus lieu. En effet, à l’interface entre les classes de cellules, elle ne peut avoir lieu pour la simpleraison que, de part et d’autre de cette interface, des schémas différents sont appliqués (certains champssont calculés et d’autres non), ce qui empêche la simplification des flux lors de l’écriture de l’énergieglobale du schéma. Ces flux parasites sont alors une source d’énergie superflue qui à long terme peutprovoquer une explosion si ces termes ne sont pas dissipatifs.Une autre approche consiste alors à utiliser les champs inconnus comme degrés de liberté pour forcerune conservation d’énergie et ainsi garantir la stabilité du schéma : c’est ce qui est brièvement expliquédans la section suivante.3.1.2 Méthode avec conditions de raccord à l’interfaceUne autre approche, développée entre autres dans [9] et [10], consiste à créer une séparation entre lesdeux domaines (cellules 1 et 2) et ainsi considérer les deux algorithmes indépendamment, chacun avec unpas de temps associé. Pour ce, on définit des inconnues correspondant aux champs inconnus à l’interface,pour le domaine 1 et pour le domaine 2 (il y a donc redondance des inconnues à la frontière). L’idée estde ne pas imposer une continuité forte entre ces inconnues (égalité) mais de leur permettre d’avoir desvaleurs différentes. On écrit alors la variation d’énergie du système entre deux instants successifs, qui nedépend que de ces inconnues. En effet, comme évoqué précédemment, les énergies de cellules n’ayantque des voisins de même classe (par sur l’interface) se simplifient car le schéma leap-frog est conservatif.On peut donc imposer une condition de raccord entre ces inconnues permettant d’avoir conservation decette énergie, et ainsi assurer la stabilité du schéma global.Cette stratégie a déjà été utilisée et donne de bons résultats. Cependant, ces conditions de raccord nesont autre qu’un système linéaire liant les inconnues qu’il faut résoudre à chaque itération temporelle ;24
si leur exploitation est envisageable en 1D, elle devient lourde lors du passage en dimension supérieure.L’intérêt de la stratégie de pas de temps local en est alors réduit d’autant.3.1.3 ApplicationPour montrer l’intérêt de la stratégie de pas de temps local à deux classes avec interpolation, onl’a appliquée à la diffraction d’une onde plane par un cône plat et l’on observe les champs en un pointA (voir la figure 10 (a)). Dans le maillage de l’exemple étudié, seulement 20% des cellules requièrentl’utilisation du pas de temps minimal (classe 1). On constate sur la figure 10 (c) une coïncidence descourbes obtenues avec et sans pas de temps local, pour un temps de calcul divisé par 1.5 avec utilisationdu pas de temps local.AZZXXYY(a) Maillage avec PML(b) Maillage du cône100Schema classiqueAvec interpolation0Ey (V/m)−100−200−3000 1e−08 2e−08 3e−08temps (s)(c) Champs E y au point AFIG. 10 – Maillage volumique et surfacique de l’objet et solutions obtenuesIl est important de rappeler le fait que cette méthode peut souffrir de problèmes de stabilité à tempslong : il faut alors contraindre plus fortement la condition CFL pour que la simulation arrive à terme.De plus, on n’est pas en mesure pour le moment d’affirmer (ou d’infirmer) que cette méthode est stablesi l’on contraint suffisamment le pas de temps local. D’autres résultats numériques sont donnés dans lasection 4.Des résultats numériques concernant la méthode avec conditions de raccord peuvent être trouvésdans [9], [10].25
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