Etude de méthodes de pas de temps local dans un schéma Galerkin ...

1 Contexte1.1 Equations de MaxwellLes modèles physiques abordés dans ce stage sont décrits par les équations de l’électromagnétisme.Plus précisément, il s’agit d’évaluer l’ambiance électromagnétique d’un système, i.e les champs électriqueset magnétiques qui apparaissent autour ou à l’intérieur du système suite à la perturbation de celui-ci parune source. Parmi les problèmes pouvant être abordés, on peut citer l’étude des perturbations induites parun foudroiement (avion en vol par exemple), les perturbations du fonctionnement d’un système électriquedans une voiture positionnée sous des lignes à très haute tension, ou encore les effets du téléphone portablesur le cerveau. Pour tous ces problèmes, les équations qui régissent les champs produits sont décritespar les équations de Maxwell :{ε(x) ∂t E(x, t) + σ(x) E(x, t) = rot H(x, t) = ∇ × H(x, t),(1)µ(x) ∂ t H(x, t) = −rot E(x, t) = −∇ × E(x, t),où (E, H) désigne le champ électromagnétique, ε, µ et σ désignent respectivement la permittivité électrique,magnétique et la conductivité. La simulation de telles équations impose évidemment la définition deconditions initiales sur les champs et de conditions aux limites. Dans le cas de simulations en espacelibre, des conditions aux limites absorbantes de type PML [7] sont utilisées et une condition de conducteurparfait est posée sur la frontière : n × E = 0, où n désigne la normale sortante.1.2 Méthodes de résolution classiquesDiverses méthodes ont été proposées pour la résolution numérique des équations de Maxwell dansle domaine temporel. On va brièvement en présenter certaines parmi les plus classiques en mentionnantleurs avantages et inconvénients.1.2.1 Méthode basée sur le schéma de Yee (FDTD)Dans le domaine temporel, une des premières et des plus populaires méthode est basée sur uneapproche de type différences finies, connue sous le nom de schéma de Yee [1]. Avec cette approche,la géométrie des objets est représentée sous forme d’un maillage cubique dont les inconnues sont lesvaleurs des champs électrique et magnétique positionnés sur la cellule du maillage, comme indiqué surla figure 1.HyEzHxExHzEyFIG. 1 – Localisation des inconnues sur une cellule du maillage pour le schéma de YeeLe schéma de Yee est un schéma numérique de type Leap-frog (saute-mouton) en espace et en temps.Supposons que les nœuds du maillage soient définis par (i, j, k) ; avec les schéma de Yee, les champs4