Etude de méthodes de pas de temps local dans un schéma Galerkin ...

On s’intéresse tout d’abord à la classe de petites cellules. On a :() ()E n+ 2 61 = M1 ε E n+ 2 62 1 ∣ En+ 61 + M µ 1 1 Hn+ 21 1 ∣ Hn+ 61()= M1 ε E1n 2 ∣ En+ 61 − 2∆t () (S 12 H n+ 1 22 26∣ En+ 61 + M µ 1 1 Hn+ 6 ∣1 1= (M1 ε E1 n |E1 n ) − 2∆t ()S 12 H n+ 1 22 26∣ En+ 61 − 2∆t ()S 12 H n+ 1 22 |E1n 6()+ M µ 1 1 Hn+ 61 1 ∣ Hn− 61 + 2∆t ()S 12 E2n 16 ∣ Hn+ 61 + 2∆t (S 12 E2n ∣6= E1 n − 2∆t ()S 12 H n+ 1 226∣ En 1 + E n+ 2 61 + 2∆t ()S 21 H n+ 1 616∣ 2En 2 .Des calculs similaires donnent :(E n+ 4 61 = M1E ε n+ 4 6 ∣1 1= E n+ 2 61 − 2∆t6∣ En+ 4 6() (+S 12 H n+ 1 22M µ 1 Hn+ 5 21∣∣ En+ 2 6∣1 ∣ Hn+ 211 + E n+ 4 61))+ 2∆t (6∣ Hn+ 1 6S 21 H n+ 1 21)+ 2∆t (S 12 E2n 61∣ Hn+ 61)∣ En 2 + E2n+1).∣(21)1 ∣ Hn+ 61)(20)et enfin :1 = ( (M1 ε E1n+1∣ E1n+1 )+= E n+ 4 61 − 2∆t (S 12 H n+ 1 226E n+1M µ 1 Hn+ 7 61∣∣ En+1∣5 ∣ Hn+ 611 + E n+ 4 61))+ 2∆t (6S 21 H n+ 5 61∣∣ 2En+1 2Sur les cellules de la classe 2, on peut écrire :E2 n+1 = ( ()M2E ε 2n+1∣ E2n+1 )+ M µ 1 2 Hn+ 21 2 ∣ Hn− 22() ()= E2 n − ∆t S 21 H n+ 1 21 ∣ En 2 + E2n+1 + ∆t S 12 H n+ 1 22 ∣ En 1 + E1n+1 .).(22)(23)En utilisant (20), (21), (22) et (23), on a donc l’expression de l’énergie totale :E n+1 = E1 n+1 + E2n+1= E1 n + E2 n − 2∆t6(− 2∆t6− 2∆t (6(−∆tS 12 H n+ 1 22S 12 H n+ 1 22S 21 H n+ 1 21()S 12 H n+ 1 22 ∣ En+1 1 + E n+ 4 61 + 2∆t (S 21 H n+ 5 6 ∣1 26)2 ∣ En+ 61 + E n+ 4 61 + 2∆t ()S 21 H n+ 1 216∣ En 2 + E2n+1)∣ En 1 + E n+ 2 61 + 2∆t ()S 21 H n+ 1 616∣ 2En 2) ()∣ En 2 + E2n+1 + ∆t S 12 H n+ 1 22 ∣ En 1 + E1n+1∣ 2En+1)qui devient, après simplifications :E n+1 = E n + 2∆t (3(S 12 E2n+ 2∆t3S 12 H n+ 1 22∣∣)∣ En 1 − E n+ 2 61 − E n+ 4 61 + E1n+1)1 − H n+ 1 21 + 2∆t (S 12 E2n+153∣ Hn+ 61 − H n+ 1 21∣ Hn+ 1 6).(24)35