Etude de méthodes de pas de temps local dans un schéma Galerkin ...

Un autre moyen de traduire la conservation de la forme ω est de passer par le flot Hamiltonien desystème. On définit pour cela le flot Hamiltonien du système (29) comme étant l’application :Ψ :R + × R d × R d −→ R d × R d(t, p 0 , q 0 ) ↦−→ (p(t), q(t))avec Ψ(t, ·) qui peut encore être vue comme une fonctions à t fixé Ψ t définie par :∀ t 0, Ψ t :[R d ×]R d −→[R d × R dp0 Ψp↦−→t (p 0, q 0 )q 0 Ψ q t (p 0, q 0 )]=[ p(t)q(t)c’est-à-dire l’application qui passe de l’état initial (p 0 , q 0 ) à l’état (p(t), q(t)).Dire que la forme symplectique ω est conservée revient à vérifier l’invariance de cette forme par Ψ t :Ψ ∗ t ω(p, q) = ω, (30)où Ψ ∗ t ω désigne la forme différentielle transposée de α par l’application Ψ t . On peut alors montrer quecela revient à vérifier la relation :[ ∂Ψpt∂p∂Ψ tq∂p∂Ψ p t∂q∂Ψ q t∂q] TJ[ ∂Ψpt∂p∂Ψ tq∂p∂Ψ p t∂q∂Ψ q t∂q]= J, avec J =][ ]0d I d, (31)−I d 0 dformulation dans laquelle on reconnaît la différentielle de l’application Ψ t . De manière générale, unefonction f sera une transformation symplectique si :f ′T J f ′ = J. (32)Un[ cas]particulier (qui nous servira en discret) est le cas où f est une fonction linéaire de la formepA (et donc de dérivée A), auquel cas la condition (32) devient une condition sur la matrice A quiqdevra vérifier A T JA = J. Une telle matrice est elle aussi qualifiée de symplectique.A.2 Schémas symplectiques à un pas pour les systèmes HamiltoniensL’idée de base des schémas symplectiques est qu’ils doivent eux aussi conserver cette forme symplectiqueà chaque pas de temps, conférant ainsi aux méthodes symplectiques un bon comportement mêmesur des temps longs [14], du fait d’une propriété de conservation d’énergie assurée lorsqu’un schéma estsymplectique : ce sont donc des schémas très intéressants.La construction de tels schémas peut-être différentes suivant les manières d’aborder la théorie desstructures symplectiques. Un moyen consiste à imposer au flot Hamiltonien discret de vérifier lui aussila condition de symplecticité (31). Ainsi, si l’on considère un schéma numérique linéaire pour (29) de laforme : [ ] [ ]pn+1pnq n+1 = Ψ ∆tq n ,le flot Hamiltonien discret n’est autre que l’application linéaire Ψ ∆t (car passant de l’état discret à l’instantn à l’état à l’instant n+1). Imposer à cette application d’être symplectique revient, comme cela a étédit précédemment, à vérifier que la matrice Ψ ∆t est symplectique. Un schéma numérique de cette formesera donc qualifié de symplectique si et seulement si la matrice de transition Ψ ∆t est symplectique.Remarque 23 Il est important de noter que la composition de deux transformations symplectiques estsymplectique. Cela se voit facilement en utilisant la relation (32). Soient A et B deux matrices symplectiques,alors :(AB) T J(AB) = B T A T JAB = B T JB = J,donc (AB) est symplectique.47