Etude de méthodes de pas de temps local dans un schéma Galerkin ...

3 Stratégies de pas de temps localOn a vu dans la précédente section que la méthode de Galerkin Discontinu possède de nombreuxavantages sur les méthodes plus classiques de type différences finies ou volumes finis. Cependant, unproblème commun à toutes les méthodes se pose : la nécessité d’avoir recours à des maillage raffinés(proximité de parois, présence de matériaux à forts contrastes etc.) conduit à de fortes hétérogénéité detailles de cellules, les contraintes de stabilité imposant par conséquent l’utilisation d’un pas de temps globald’autant plus petit que le maillage est déstructuré, entraînant des temps de calcul parfois rédhibitoires.Il peut alors paraître judicieux d’adapter le pas de temps aux cellules en les regroupant dans différentesclasses d’intégration. On pourra ainsi utiliser de petits pas de temps lorsque cela est strictement nécessaire(”petites” cellules) et se permettre l’utilisation d’un pas de temps moins contraignant sur les cellules detaille plus importante, économisant par ce biais de nombreux calculs. C’est là l’essence des schémas àpas de temps local.Partant de la formulation semi-discrétisé en espace, il s’agit alors de développer des discrétisationstemporelles permettant une intégration locale des cellules. Les critères classiques de consistance et deconvergence des schémas de pas de temps local restent une question ouverte et difficile à développer,ce qui explique que souvent les schémas sont proposés sans démonstration mathématique rigoureuse deconsistance. Le critère de stabilité est, lorsque c’est possible, étudié via la conservation d’une énergiediscrète ; c’est même ce critère qui motive la plupart du temps la définition du schéma.De nombreux schémas ont étés proposés pour les problème à N corps [17], [16] comme les systèmesmoléculaires, planétaires etc., mais les méthodes de pas de temps local appliquées aux équations deMaxwell (et aux schémas de Galerkin) relèvent d’un développement plus récent. On va présenter desméthodes explicites à 2 puis à N classes de cellules, intéressantes pour la simplicité de leur mise enœuvre et les performances qu’elles offrent, mais possèdent bien sûr leurs limites. Un court paragraphesera également consacré aux méthodes implicites. Enfin, une étude énergétique du schéma de type leapfrogrécursif à deux classes est faite, et il en découle une stratégie de correction énergétique pour stabiliserle schéma si nécessaire.3.1 Méthodes explicites à 2 classesUne première approche consiste à effectuer plusieurs intégrations (de type leap-frog par exemple)sur les petites cellules (notées 1) pour une intégration sur les grosses cellules (notées 2). Ainsi, les petitescellules sont associées à un petit pas de temps et les grosses cellules sont intégrées avec un pas de tempsplus grand, multiple du premier. Un problème inhérent à cette démarche est que les schémas nécessitentalors les valeurs du champ à certains temps inconnus (car non calculés, par définition même du pas detemps local) ; il faut alors envisager un moyen de pallier ce défaut.3.1.1 Méthode à base d’interpolationUne première idée est d’utiliser une approximation des champs inconnus par interpolation. Commeon l’a vu, la discrétisation temporelle leap-frog est donnée par :{HM + −H −µ δt= −S T E − ,EM + −E −ε δt= SH + .avec S = K − A − B (et −S T = −K + A − B) et + (resp. −) la valeur du champ calculée (resp. lavaleur du champ au temps précédent), en gardant à l’esprit que les champs E et H sont calculés à destemps décalés (n pour E, n + 1 2pour H). La distinction des cellules 1 et 2 entraîne une partition sur les21