Etude de méthodes de pas de temps local dans un schéma Galerkin ...

Table des matièresIntroduction 31 Contexte 41.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Méthodes de résolution classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Méthode basée sur le schéma de Yee (FDTD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Méthode de type volumes finis (FVTD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Méthode hybride FVTD/FDTD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 La formulation Galerkin Discontinu considérée (GD) 102.1 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Description des fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Formulation semi-discrète en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Réécriture de la formulation semi-discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.4 Une discrétisation en temps : le schéma de leap-frog . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Avantages du schéma GD : illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Stratégies de pas de temps local 213.1 Méthodes explicites à 2 classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.1 Méthode à base d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Méthode avec conditions de raccord à l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Méthodes explicites à N classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1 Schéma de type Verlet récursif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2 Schéma de type leap-frog récursif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Méthodes implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Etude et correction énergétiques du leap-frog récursif à deux classes . . . . . . . . . . . 333.4.1 Expression des énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2 Correction énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Résultats numériques - Confrontation 395 Conclusion et perspectives 45Annexes 46A Schémas symplectiques pour les systèmes différentiels Hamiltoniens 46A.1 Systèmes différentiels Hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A.2 Schémas symplectiques à un pas pour les systèmes Hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . 47A.3 Maxwell semi-discrétisé par Galerkin Discontinu sous forme d’un système Hamiltonien . 48A.4 Une méthode symplectique : schéma de Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50B Notations 51Bibliographie 521