Etude de mÃ©thodes de pas de temps local dans un schÃ©ma Galerkin ...

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Sachant que β K ∂K est nul sur ∂Ω et vaut − 1 2sur les faces internes, et en décomposant l’intégrale sur ∂K,on obtient :∫K∫∑∫(ε ∂ t E K +σE K ) · ψ = 1 2(∇ × ψ · H K + ∇ × H K · ψ) + 1 2[H × n] K ∂K · ψKK ′ ∈V(K)∂K∩∂K ′∑∫∫− 1 2(H K × n) · ψ − 1K ′ ∈V(K)∂K∩∂K ′ 2(H K × n) · ψ∂K∩∂Ω= 1 ∫(∇ × ψ · H K + ∇ × H K · ψ) + 1 ∑∫(H K ′ × n − H K × n) · ψ2 K2K ′ ∈V(K) ∂K∩∂K ′− 1 ∑∫(H K × n) · ψ − 1 ∫(H K × n) · ψ22K ′ ∈V(K)∂K∩∂Ω∂K∩∂K ′= 1 ∫(∇ × ψ · H K + ∇ × H K · ψ) − 1 ∑∫22K− 1 2∫∂K∩∂Ω(H K × n) · ψ.K ′ ∈V(K)∂K∩∂K ′ (H K ′ × n) · ψCette écriture de la formulation variationnelle aboutit, après discrétisation, au système (13) annoncé.En effet, le terme 1 ∫2 K (∇ × ψ · H K + ∇ × H K · ψ) conduit à une matrice de rigidité K symétrique{ ∫dont les blocs sont constitués de termes ˆK̂∇ × θil · θ i 0l0+ ̂∇}× θ i 0l0 · θ i l,l0 ∈{1,...,(r+1)} 3l. Le terme∫i,i 0 =1,2,312 ∂K∩∂Ω (H K × n) · ψ conduit à une matrice anti-symétrique car construite à partir de termes de la{ ∫ } i,lforme ̂Γ(θ i K,l × n′ K ) · θi 0K,l0, sur lesquels on voit bien que changer le rôle de i, l et de i 0 , l 0 (i.ei 0 ,l 0permuter les indices de lignes avec les indices colonnes) fait apparaître un changement de signe dansl’expression. Cela donne une matrice de bord anti-symétrique et bloc diagonale (car ne faisant pas intervenirde fonctions de bases des cellules voisines) notée B. Enfin, à chaque terme ∫ ∂K∩∂K(H ′ K ′ × n) · ψest associée une matrice de flux entre K et K ′ , et on obtient donc une matrice de flux symétrique carla matrice A KK ′ de flux sur K pour la cellule voisine K ′ est la même (à une transposition près) que lamatrice A K ′ K de flux sur K ′ pour la cellule voisine K. En effet, du fait que n K ′ = −n K , on aura des{ ∫ } i,l{termes génériques ̂Γ(θ i K ′ ,l × n K) · θ i 0∫ } i,lK,l0dans le premier cas, et ̂Γ(θ i K,l × i 0 ,l n′ K ) · θi 0K ′ ,l 0 0 i 0 ,l{ 0∫ i,l{équivalent à −(θ ̂Γ i 0∫ i,lK,l0× −n K ) · θ i K ,l} ′ soit encore ̂Γ(θ i 0K,l0× n K ) · θ i K ,l} ′ dans le secondcas. On obtient donc une matrice de flux A symétrique.Le même raisonnement appliqué à la seconde équation permet d’écrire :{Mε ∂ t E + M σ E = KH − AH − BH,M µ ∂ t H = −KE + AE − BE.i 0 ,l 0De plus, du fait des propriétés de symétrie et d’anti-symétrie de ces matrices, et en notant S = K−A−B,on a : −K + A − B = −K T + A T + B T = −S T . On a alors le système :{Mε ∂ t E + M σ E = SH,M µ ∂ t H = −S T (13)E.Remarque 10 Il est important de rappeler que ce qui a été fait dans ce paragraphe n’est pas parfaitementrigoureux. Ce qui a été appelé terme générique de la matrice n’est qu’une représentation simplifiéepermettant de bien saisir l’essentiel : les interactions entre les fonctions de base, qui sont à l’origine despropriétés de symétrie (ou d’anti-symétrie) et de structure bloc (bloc-diagonale ou pas) des différentesi 0 ,l 018
matrices. L’écriture rigoureuse de ces termes demanderait des calculs plus techniques comme ceux effectuésdans le paragraphe (2.2.2).On a alors la propriété suivante de conservation d’énergie du schéma semi-discret lorsque σ = 0 :Proposition 11 Le schéma semi-discret (13) conserve l’énergie :E = 1 2 (M εE |E ) + (M µ H |H )au cours du temps, où (·|·) désigne le produit scalaire euclidien usuel.Démonstration. On a :∂ t E = 1 2 ∂ E(M ε E |E ) · ∂ t E + 1 2 ∂ H(M µ H |H ) · ∂ t H= (M ε E |∂ t E ) + (M µ H |∂ t H ) = (E |M ε ∂ t E ) + (H |M µ ∂ t H )= (E |SH ) + (H ∣ ∣−S T E ) = (E |SH ) − (E |SH ) = 0.L’énergie E est donc conservée au cours du temps.2.2.4 Une discrétisation en temps : le schéma de leap-frogLa méthode de discrétisation temporelle la plus utilisée en électromagnétisme pour résoudre leséquations de Maxwell est incontestablement le schéma de leap-frog. Explicite, d’ordre deux, facile àmettre en œuvre, elle permet de plus de respecter le caractère conservatif du schéma semi-discrétisé, etassure ainsi sa stabilité. Le schéma (11) discrétisé en temps par le schéma de leap-frog de pas ∆t s’écrit :⎧⎨ HM n+ 1 2 −H n− 1 2µ ∆t= −S T E n ,(14)⎩ EM n+1 −E nε ∆t+ M σ E = SH n+ 1 2 .Afin d’alléger les formules, on considère désormais dans toute la suite du rapport, sans que cela soit unerestriction, qu’il n’y a pas de terme de dissipation, i.e : σ = 0 (le terme en M σ disparaît). On a alors lapropriété de conservation du leap-frog qui suit.Proposition 12 Le schéma (14) conserve l’énergie discrète E n = (M ε E n |E n ) + (M µ H n+ 1 ∣2 ∣H n− 1 2 ) ;il est, par conséquent, stable.Démonstration. En utilisant les équations du schéma (14), on a :E n+1 = ( M ε E n+1 ∣ ∣E n+1 ) ()+ M µ H n+ 3 ∣2 ∣H n+ 1 2= ( M ε E n ∣ En+1 ) (+ ∆t SH n+ 1 2 ∣ E n+1) (+ M µ H n+ 1 2= ( M ε E n ∣ ∣E n+1 ) ()+ M µ H n+ 1 ∣2 ∣H n+ 1 2()= (M ε E n |E n ) + M µ H n+ 1 ∣2 ∣H n− 1 2 + ∆t= E n .) ( ∣ )∣∣H n+ 1 2 − ∆t S T E n+1 ∣∣H n+ 1 2( ∣ ) (E n ∣∣SH n+ 1 2 − ∆tH n+ 1 2∣ S T E n)De plus, E n est une forme quadratique des inconnues numériques (E n ∣ ∣∣H n− 1 2 ) (il suffit d’exprimerH n+ 1 2 en fonction de H n− 1 2 et de E n ). On peut alors montrer que la conservation de E n entraîne unestabilité au sens L 2 du schéma numérique, en faisant jouer le rôle d’une fonction de Lyapunov à E n [21].19
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