Etude de méthodes de pas de temps local dans un schéma Galerkin ...

Comme cela a été mentionné, un tel schéma nécessite parfois les champs à des temps inconnus (surles cellules 2), notés ˜ dans le schéma (15). Ces inconnues sont alors approchées au moyen d’interpolationsdes champs entre les temps calculés. En effet, on remarque par exemple que ˜H n+ 1 62 pourra êtreobtenu par interpolation entre H n− 1 22 et H n+ 1 22 dont on dispose. Les interpolations en H 2 permettronsalors le calcul des champs E 2 inconnus, à condition d’avoir effectué cette interpolation sur deux couchesde cellules à l’interface (notées 3 et 4).Remarque 13 La notation par bloc du schéma 15 masque un point qui mérite d’être souligné. En fait,seules les cellules à l’interface entre les domaines 1 et 2 posent problème. En effet, pour les cellulesinternes à la classe (i.e : sans voisin appartenant à l’autre classe), les blocs de A 12 et A 21 mis en jeusont nuls et le schéma se résume à un leap-frog classique. Les interpolations ne sont donc nécessaire quesur les cellules frontières, là où les flux entre les cellules 1 et 2 sont non nuls (des temps non disponiblesétant alors requis).Dans le schéma proposé, on effectue 3 étapes sur les cellules 1 pour une étape sur les cellules 2. Ceraisonnement peut se généraliser à 2n + 1 étapes sur les cellules 1 pour une étape sur les cellules 2. Pourcela, on définit un pas de temps ∆t min pour les cellules 1, et un pas de temps ∆t c = (2n+1)∆t min pourles cellules 2, ∆t min étant choisi pour assurer la stabilité globale : ∆t min = minK∈T ∆t K (avec n 1).La stratégie permettant d’obtenir coïncidence de temps sur le schéma leap-frog est la suivante (onpourra s’aider de la figure 8 pour saisir le principe avec n = 1) :– marquer 1 les ”petites” cellules– marquer 2 les ”grosses” cellules– marquer 3 les cellules 2 qui sont voisines des cellules marquées 1– marquer 4 les cellules 2 qui sont voisines des cellules marquées 3. On a alors la configuration decellules comme décrite sur la figure 9.222222222222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222222244444442 2 2222222223 3 3 3 3 3 3 33433334441 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 111 1 1 1 1 13 3 3 3 3 32222 2 2 2 2 2 2 2 2 2222211114 4 4 4 4 4 4 4 4 4444242333332444444422222222222FIG. 9 – Exemple de marquage des cellules de pas de temps localSupposons le champs électrique (resp. magnétique) connu au temps t m = m ∆t c (resp. ( m − 1 2)∆tc ).L’avancement du schéma d’un pas ∆t c se fait alors comme suit :– t m = m ∆t c– évaluer H pour les cellules marqués 2,3 et 4 au temps t m + ∆t c2– t loc = t m23