Etude de méthodes de pas de temps local dans un schéma Galerkin ...

et :(Mµi Hn+1 i)∣ Hn+1i = (Mµi Hn i | Hi n )(+∆t A ie E n+ 1 2e)∣ Hn i + Hin+1 − ∆t(S iH n i + H n+1i2∣ En i + Ein+1),d’où :()Ei n+1 = Ei n + ∆t A ie E n+ 1 2e ∣ Hn i + Hin+1(− ∆tA ie H n+ 1 2e∣ En i + Ein+1).L’évolution des deux énergies est donc donnée par :Ee n+1 + Ei n+1 = Ee n + Ei n Hi − ∆t(A n + H n+1)iei 2 ∣ En e − 2E n+ 1 2e + Een+1 .Or, en additionnant la seconde et la 5 ième équation de (19), on obtient :d’où :Ee n − 2E n+ 1 2e + Een+1 = ∆t2 M (e ε−1 A ei Hni + Hin+1 ),Ee n+1 + Ei n+1 = Ee n + Ei n + ∆t24(M ε−1= E n e + E n i − E n+1c + E n c ,e Hin+1∣ A ei H n+1i)− ∆t24()Meε−1 Hin ∣ A ei Hince qui termine la preuve.La stabilité du schéma proposé est ainsi assurée. Cette méthode combinant l’implicite et l’expliciteest donc mathématiquement très intéressante. Toutefois, l’utilisation d’un schéma implicite nécessite uneinversion de matrice qui peut s’avérer très lourde voire rédhibitoire sur un problème à trois dimensions.L’utilisation de méthodes d’inversion itératives peut éventuellement être envisagée pour un faible nombrede cellules, mais le coût que cela peut représenter, associé aux problèmes de convergence des méthodesitératives, risquent de fortement diminuer l’intérêt de l’utilisation du pas de temps local.3.4 Etude et correction énergétiques du leap-frog récursif à deux classesUne étude énergétique du leap-frog récursif à deux classes est faite dans cette partie. Comme onva le voir, il est difficile d’établir des résultats quant au caractère dissipatif (et donc stable) du schéma.On propose alors un moyen de forcer une énergie à rester dissipative lorsque cela est nécessaire eneffectuant une correction de certains champs. Les calculs énergétiques étant assez lourds, ils ne serontpas complètement détaillés.33