Etude de méthodes de pas de temps local dans un schéma Galerkin ...

Etude de méthodes de pas de temps localdans un schéma Galerkin Discontinu d’ordreélevé pour résoudre les équations de Maxwell3D dans le domaine temporelEMMANUEL MONTSENYMémoire M2R SAIDSous la responsabilité scientifique deXavier FerrieresONERA - DEMR, ToulouseSeptembre 2006

Table des matièresIntroduction 31 Contexte 41.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Méthodes de résolution classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Méthode basée sur le schéma de Yee (FDTD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Méthode de type volumes finis (FVTD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Méthode hybride FVTD/FDTD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 La formulation Galerkin Discontinu considérée (GD) 102.1 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Description des fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Formulation semi-discrète en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Réécriture de la formulation semi-discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.4 Une discrétisation en temps : le schéma de leap-frog . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Avantages du schéma GD : illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Stratégies de pas de temps local 213.1 Méthodes explicites à 2 classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.1 Méthode à base d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Méthode avec conditions de raccord à l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Méthodes explicites à N classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1 Schéma de type Verlet récursif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2 Schéma de type leap-frog récursif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Méthodes implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Etude et correction énergétiques du leap-frog récursif à deux classes . . . . . . . . . . . 333.4.1 Expression des énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2 Correction énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Résultats numériques - Confrontation 395 Conclusion et perspectives 45Annexes 46A Schémas symplectiques pour les systèmes différentiels Hamiltoniens 46A.1 Systèmes différentiels Hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A.2 Schémas symplectiques à un pas pour les systèmes Hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . 47A.3 Maxwell semi-discrétisé par Galerkin Discontinu sous forme d’un système Hamiltonien . 48A.4 Une méthode symplectique : schéma de Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50B Notations 51Bibliographie 521

IntroductionLa modélisation électromagnétique connaît depuis déjà plusieurs années un essor important dansun grand nombre de domaines tels que la compatibilité électromagnétique ou la détection. Elle apportenotamment des avantages significatifs dans la conception des systèmes sous forme de problèmes decontrôles comme le positionnement des sources ou la caractérisation d’une géométrie (forme, nature)en vue de minimiser ou maximiser des champs électromagnétiques. Parmi ces problèmes, on peut citerpar exemple la conception d’une cavité de four électrique garantissant une répartition optimale de lachaleur, la caractérisation d’une forme d’avion, ou encore le placement optimal d’antennes sur celuiciafin de diminuer sa SER (surface équivalente radar). Dans le domaine civil, l’étude de la positiondes câblages dans une structure ainsi que la position des sources sur ceux-ci en respectant des critèresd’encombrement et de poids en diminuant autant que possible les perturbations induites reste un enjeuimportant en aéronautique.Dans ce contexte, la modélisation de l’état électromagnétique et de son adjoint nécessite des méthodesprenant en compte des aspects physiques complexes tels que de forts contrastes ou des discontinuités dematériaux qui conduisent à des problèmes raides (mal conditionnés, peu robustes). En outre, les aspectsnon linéaires tels que les claquages dans le cas de la foudre ou encore les matériaux intrinsèquementnon linéaires sont également à prendre en compte dans la phase de modélisation. Dans l’état actuel desconnaissances, les méthodes Galerkin Discontinu sont celles qui offrent la plus grande souplesse pourla modélisation des phénomènes physiques complexes. De plus, la possibilité d’utiliser des maillagesnon structurés permet un raffinement spatial naturel lorsque cela est nécessaire (proximité de parois,présence de matériaux à forts contrastes etc). Cependant, la stabilité du schéma numérique ne peut avoirlieu qu’avec un pas de temps d’autant plus petit que le raffinement spatial est important, ce qui peutconduire à une forte perte d’efficacité de la méthode en cas de maillage très hétérogène. Il peut alorsparaître judicieux d’adapter le pas de temps aux cellules en les regroupant dans différentes classes : cesont des méthodes de pas de temps local. Certaines solutions ont été proposées dans la littérature maiselles sont soit peu efficaces (résolution de gros systèmes), soit instables à long terme, et la question d’unchoix de pas de temps local stable et efficace reste d’actualité.Dans ce mémoire, on rappelle dans un premier temps les équations du problème à résoudre et lesdifférentes méthodes classiques de résolution existantes. On s’intéresse plus particulièrement à uneméthode de type Galerkin Discontinu particulière [5] dont le choix des espaces d’approximation nonnaturel conduit à des matrices de masse, rigidité et saut ne nécessitant que très peu de stockage, et ce quelque soit l’ordre d’approximation spatial choisi. L’intérêt des stratégies de pas de temps local en découlenaturellement et on présente certaines méthodes que l’on peut envisager tout en mettant en évidence leursavantages mais aussi leurs limites. On présente tout d’abord des méthodes explicites à 2 classes, puis desméthodes explicites récursives à N classes, pour enfin brièvement parler de méthodes implicites. Uneétude et une proposition de correction énergétique seront proposées pour l’un des schémas. Finalement,certaines méthodes précédemment mises au point sont illustrées (et confrontées) en dernière partie parune série de résultats numériques. Certains résultats techniques non triviaux établis pour les besoins del’étude sont rassemblés en annexe.3

1 Contexte1.1 Equations de MaxwellLes modèles physiques abordés dans ce stage sont décrits par les équations de l’électromagnétisme.Plus précisément, il s’agit d’évaluer l’ambiance électromagnétique d’un système, i.e les champs électriqueset magnétiques qui apparaissent autour ou à l’intérieur du système suite à la perturbation de celui-ci parune source. Parmi les problèmes pouvant être abordés, on peut citer l’étude des perturbations induites parun foudroiement (avion en vol par exemple), les perturbations du fonctionnement d’un système électriquedans une voiture positionnée sous des lignes à très haute tension, ou encore les effets du téléphone portablesur le cerveau. Pour tous ces problèmes, les équations qui régissent les champs produits sont décritespar les équations de Maxwell :{ε(x) ∂t E(x, t) + σ(x) E(x, t) = rot H(x, t) = ∇ × H(x, t),(1)µ(x) ∂ t H(x, t) = −rot E(x, t) = −∇ × E(x, t),où (E, H) désigne le champ électromagnétique, ε, µ et σ désignent respectivement la permittivité électrique,magnétique et la conductivité. La simulation de telles équations impose évidemment la définition deconditions initiales sur les champs et de conditions aux limites. Dans le cas de simulations en espacelibre, des conditions aux limites absorbantes de type PML [7] sont utilisées et une condition de conducteurparfait est posée sur la frontière : n × E = 0, où n désigne la normale sortante.1.2 Méthodes de résolution classiquesDiverses méthodes ont été proposées pour la résolution numérique des équations de Maxwell dansle domaine temporel. On va brièvement en présenter certaines parmi les plus classiques en mentionnantleurs avantages et inconvénients.1.2.1 Méthode basée sur le schéma de Yee (FDTD)Dans le domaine temporel, une des premières et des plus populaires méthode est basée sur uneapproche de type différences finies, connue sous le nom de schéma de Yee [1]. Avec cette approche,la géométrie des objets est représentée sous forme d’un maillage cubique dont les inconnues sont lesvaleurs des champs électrique et magnétique positionnés sur la cellule du maillage, comme indiqué surla figure 1.HyEzHxExHzEyFIG. 1 – Localisation des inconnues sur une cellule du maillage pour le schéma de YeeLe schéma de Yee est un schéma numérique de type Leap-frog (saute-mouton) en espace et en temps.Supposons que les nœuds du maillage soient définis par (i, j, k) ; avec les schéma de Yee, les champs4

sont évalués dans chaque cellule en E x (i + 1 2 , j, k), E y(i, j + 1 2 , k), E z(i, j, k + 1 2 ), H x(i, j + 1 2 , k + 1 2 ),H y (i + 1 2 , j, k + 1 2 ) et H z(i + 1 2 , j + 1 2, k). Les dérivées spatiales présentes dans le rotationnel sont alorsapprochées par des différences finies avec un décalage de position entre le champ E et le champ H. Onobtient par exemple pour les composantes en z :∂H z∂y ≃ H z(i + 1 2 , j + 1 2 , k) − H z(i + 1 2 , j − 1 2 , k) ,∆y∂E z∂y ≃ E z(i, j + 1, k + 1 2 ) − E z(i, j, k + 1 2 ) ,∆yDe même, les dérivées temporelles sont approchées par des différences finies centrées avec un décalageen temps entre E et H : {∂ t H ≃ 1 Hn+ 2 −H n− 21∆t∂ t E ≃ En+1 −E n∆t.Cette méthode est rapide, robuste, simple à mettre en œuvre et conservative (i.e : on peut exhiber unequantité énergétique qui se conserve au cours du temps). Toutefois, l’utilisation de maillages cartésienscrée, près des objets, des diffractions parasites qui rendent ce type de schéma peu précis à proximité desparois courbes, et le caractère centré des approximations spatiales entraîne un phénomène de dispersion(ce qui induit un décalage des solutions numériques au cours du temps).1.2.2 Méthode de type volumes finis (FVTD)Pour pallier les inconvénients du schéma de Yee, plusieurs auteurs ont proposé différentes améliorationsparmi lesquelles la méthode des volumes finis (FVTD) qui permet d’effectuer un maillage conforme àla géométrie du domaine en utilisant des cellules de formes quelconque (tétraèdres, hexaèdres, prismes,etc). La méthode des volumes finis est fondamentale du fait qu’elle constitue la forme la plus simpledes méthodes de type Galerkin Discontinu. Dans cette méthode, les champs sont approchés par desconstantes sur chaque cellule et évalués en utilisant les flux qui traversent leurs surfaces. Le principed’un schéma volumes finis utilisé à l’ONERA est décrit ci-après (pour plus de détails, on pourra seréférer à [2]).Les équations de Maxwell, définies par :{∂t E − ∇ × H ε 0= 0,peuvent être réécrites sous la forme conservative :∂ t H + ∇ × E µ 0= 0,∂ t U + div(F (U)) = 0, (2)avec U = (E x , E y , E z , H x , H y , H z ) T vecteur du champ électromagnétique et F (U) = (F 1 (U), F 2 (U), F 3 (U))défini par :⎛0 − Hz H y⎞ε 0 ε 0H zε 00 − Hxε 0− HyF (U) =ε 0− Hxε 00E 0zµ− Ey.⎜0 µ 0⎝ − EzEµ0z ⎟0 µ 0⎠E yµ− E x0 µ00On suppose le domaine partitionnée en n cellules élémentaires C i de forme quelconque, de volume V i ,délimitée par n i surfaces.5

n kSurface SkVolume VLe principe de la méthode volumes finis consiste alors à intégrer la forme conservative des équationsde Maxwell (2) sur chaque cellule élémentaire. On obtient, sur chaque cellule C i , la relation :∫∫∂ t U dv = − div(F (U)) dv,C i C iqui devient, après application de la formule d’Ostrogradski ( −→ n k étant la normale à la surface S k ) :∫∑n i ∫∂ t U = − F (U) · −→ n k dσ.C i face kEn supposant U (resp. F (U)) constante sur C i (resp. sur les faces), on obtient :k=1n∂UiiV i∂t = − ∑S k F (Uk ∗ ) · −→ n kk=1où U i est la valeur des champs au centre de la cellule C i de volume V i et Uk ∗sur la surface S k .Le flux numérique F (U ∗ ) · −→ n est alors défini par :( )F (U ∗ ) · −→ n×H ∗εn =0.− n×E∗µ 0la valeur des champs priseuLu**u* un RLe choix de l’approximation des valeurs de flux définira une approximation spatiale dite centrée oudécentrée :- un schéma centré (non dissipatif mais dispersif) est défini par : E ∗ ≃ EL +E R2, H ∗ ≃ HL +H R2;- les schémas décentrés (dissipatifs mais peu dispersifs) sont définis par : E ∗ ≃ f 1 (E L,R , H L,R ),H ∗ ≃ f 2 (E L,R , H L,R ).Dans le cas du schéma centré, on utilise généralement comme discrétisation temporelle un leap-frogalors que pour les schémas décentrés on utilise plutôt des méthodes de type Runge-Kutta.6

En exprimant U L et U ∗ en tant qu’onde plane, on détermine entre les champs de part et d’autre d’unesurface et les champs à l’intérieur des volumes, les deux relations :⎧ √⎨ ε0µn × (E ∗ − E L ) − n × n × (H ∗ − H L ) = 0,√ 0⎩ ε0µn × (E ∗∗ − E R ) + n × n × (H ∗∗ − H R ) = 0.0Afin de définir précisément les valeurs U ∗ en fonction des valeurs U, on ajoute aux équations précédentesdes relations provenant de conditions de continuité aux frontières de chaque cellule, données par :→ dans le cas de l’espace libre{ n × E ∗ = n × E ∗∗ ,→ dans le cas d’une frontière métalliquen × H ∗ = n × H ∗∗ .n × E ∗ = n × E ∗∗ = 0.→ dans le cas d’une frontière composée d’un matériau mince de conductivité finie{ n × E ∗ = n × E ∗∗ ,n × (H ∗∗ − H ∗ ) = −σ d n × n × E ∗ ,où Z s = 1σ ddéfinit l’impédance de surface.En ce qui concerne la discrétisation temporelle, on utilisera un schéma de type prédicteur/correcteur(Runge-Kutta d’ordre 2) :U n+ 1 2i− Uin = 1 ∑n iS k F (Uk n ∆t/2 V ) n k,iU n+1i− Uin∆tk=1= 1 ∑n iS k F (U n+ 1 2Vk) n k .ik=1)VLe schéma volume finis est astreint à la condition de stabilité : ∆t ≤ min ∑ iik S .kConcernant la discrétisation spatiale, une approche MUSCL est utilisée pour améliorer la précision duschéma. Cette approche consiste à évaluer numériquement, à l’intérieur de chaque cellule, le gradient∇U de la manière suivante :∫∑n i∇Udx =C ik=1Uk ∫S ∗ ds = ∑n ikk=1U L k + U R k2ceci afin d’améliorer la précision aux limites du domaine du calcul. En effet, on utilisera dans les calculsdes flux non plus les valeurs au centre des cellules adjacentes, mais les valeurs U L et U R telles queU L = U + ∇U · (x s − x c ) (U étant la valeur au centre de la cellule, x s et x c respectivement centres degravité de la surface de la cellule).Par rapport au schéma de Yee, la méthode volumes finis permet de raffiner localement le maillage etdonc de bénéficier dans certains cas d’un gain important en temps CPU et mémoire pour une meilleureprécision, comme illustré sur la figure 2.(1cS k ,7

1.2.4 BilanDans toutes ces approches, les schémas numériques sont d’ordre spatial égal à 1 ou 2 et présententpar conséquent des erreurs de dissipation ou de dispersion qui peuvent être conséquentes. On peutalors chercher à utiliser des méthodes d’ordre plus élevé, plus précises et permettant ainsi de réduireconsidérablement les erreurs liées à la dispersion et à la dissipation numérique.Les schémas de Galerkin discontinu font parti de ces méthodes. Basées sur une approximation polynomialed’ordre supérieur à 1 des champs, elles offrent une plus grande précision et permettent dessimulations plus fiables sur des temps longs ou dans des cavités. Ces méthodes constituent un sujet derecherche actif [4], [5], [6]. Le stockage mémoire et le temps CPU restent d’importants points à optimiser; c’est le but de la méthode Galerkin discontinu présentée dans la section suivante.9

2 La formulation Galerkin Discontinu considérée (GD)La formulation Galerkin Discontinu considérée pour la résolution des équations de Maxwell dans ledomaine temporel est une formulation non dissipative, basée sur une approximation centrée des flux, utilisantune technique de compression des matrices de masse basée sur des intégrations par formule de quadraturede Gauss et des maillages constitués uniquement de cellules hexaédriques. Par un choix judicieuxd’espace d’approximation, elle permet aussi d’éviter le stockage des matrices de rigidité. On présentedans ce chapitre un peu technique les principes de cette méthode. Certains résultats sont démontrés,d’autres non du fait de leur complexité. On pourra se référer à [5] pour plus de détails.2.1 Formulation variationnelleSoit le problème défini sur Ω :⎧ε ∂ t E + σE = ∇ × H dans Ω,⎪⎨µ ∂ t H = −∇×E dans Ω,E(x, 0) = E ⎪⎩0 (x), H(x, 0) = H 0 (x) dans Ω,E × n = 0 sur ∂Ω,(3)avec (E, H) le champ électromagnétique appartenant à [H rot (Ω)] 6 pour que (3) soit bien posé. Poursimuler l’espace libre, on utilise des couches PML autour du domaine.Soit T un maillage hexaédrique de Ω tel que Ω =⋃ K et soit l’espace de fonctions test H(T ) ={v ∈ [L 2 (Ω)] 3 ; ∀K ∈ T , v |K ∈ [H 1 (K)] 3 }. Pour chaque K ∈ T , on considère une formulation faibledes équations de maxwell en additionnant des termes de saut des composantes tangentielles des champsélectrique et magnétique aux surfaces des éléments :∀ K ∈ T , ∀ ψ, φ ∈ H(T ) :⎧ ∫∫∫ε ∂ t E · ψ dx + σE · ψ dx = ∇ × H · ψ dx∫KKK(⎪⎨ + αK∂K[n × (E × n)]] K ∂K + βK ∂K [H × ) n]K ∂K · ψ ds,∫ ∂K∫(4)µ ∂ t H · φ dx = − ∇ × E · φ dx∫KK(⎪⎩ + γK∂K[[E × n]] K ∂K + δK ∂K [[n × (H × ) n)]]K ∂K · φ ds,∂Koù α K ∂K , βK ∂K , γK ∂K , δK ∂Ksont des paramètres constants par faces (et donc définis pour chaque face dechaque K ∈ T ) et [[v]] K ∂Kest le saut d’une fonction vectorielle v à travers la frontière de K, défini par :– Si Γ = K ∩ K ′ (i.e Γ face interne), alors [[v]] K ∂K = (v| )K ′ Γ− (v| K) Γoù v| Kest la restriction dev sur K.– Si Γ = K ∩ ∂Ω (i.e Γ face frontière), alors [[v]] K ∂K = − (v| ) K ΓRemarque 1 Les sauts tangentiels des champs sont naturels dans la mesure où ils apparaissent lorsquel’on écrit les équations de Maxwell au sens des distributions. Les deux autres termes [[n × (E × n)]] K ∂Ket [[n × (H × n)]] K ∂Ksont des termes dissipatifs qui apparaissent lors d’approximations décentrées desflux.Les coefficients α K ∂K , βK ∂K , γK ∂K , δK ∂Ksont alors utilisés pour avoir une équivalence entre les problèmes(3) et (4) (continuité des champs aux interfaces des cellules et conditions aux limites vérifiées) mais aussipour avoir une certaine stabilité (via une conservation d’énergie) au cours du temps.K∈TProposition 2 Il y a équivalence entre les problèmes (3) et (4) si :10

– ∀ Γ = K ∩ K ′ , α K Γ = αK′ Γ , δK Γ = δK′ Γ , βK Γ + βK′ Γ ≠ 0 et γK Γ + γK′ Γ ≠ 0,– ∀ Γ = K ∩ ∂Ω, β K Γ = 0, δK Γ = 0 et γK Γ ≠ 0 (ou αK Γ ≠ 0).Démonstration. On admettra le lemme suivant :Lemme 3 Soient Ω 1 et Ω 2 deux ouverts formant une partition de Ω, avec Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 . Soit de plus unefonction v telle que v |Ω1 ∈ [H rot (Ω 1 )] 3 et v |Ω2 ∈ [H rot (Ω 2 )] 3 . Alors v ∈ H(rot, Ω) si et seulement si[v × n]] Γ = 0.• On montre tout d’abord que (3)⇒(4)Soit (E, H) solution de (3). Les hypothèses de régularité des champs E et H (appartenance à H rot (Ω))permettent d’affirmer, d’après le lemme 3, que :∀ Γ ⊂ ∂K face interne,[[H × n]] K ∂K = 0,[[E × n]] K ∂K = 0,ce qui, injecté dans (4), après décomposition de ∫ ∂Ken faces internes et externes et en utilisant lesconditions aux limites, donne :⎧ ∫∫∫⎪⎨ε ∂ t E · ψ dx + σE · ψ dx = ∇ × H · ψ dx +∑β K ∂K [[H × n]]K ∂K · ψ ds,KKK∫∫Γ=K∩∂Ω⎪⎩µ ∂ t H · φ dx = − ∇ × E · φ dx +∑δ K ∂K [n × (H × n)]]K ∂K · φ ds.KKΓ=K∩∂ΩOn voit sans difficulté que, sous l’hypothèse β K Γ = 0 = δK Γ ∀ Γ ⊂ ∂Ω, cette expression est exactement(3) que l’on a multiplié par (ψ, φ) et intégré sur K, ce qui démontre l’implication.• On s’intéresse maintenant à la réciproque (3)⇐(4)Soit (E, H) solution de (4). On considère dans un premier temps ψ, φ ∈ [D(K)] 3 (fonctions infinimentdifférentiables à support compact dans K), les termes de bord ∫ ∂Kseront par conséquent nuls. Lesystème (4) s’écrit alors :∀ K ∈ T , ∀ ψ, φ ∈ [D(K)] 3 ,c’est-à-dire :{ 〈ε ∂t E, ψ〉 D ′ ,D + 〈σE, ψ〉 D ′ ,D = 〈∇ × H, ψ〉 D ′ ,D〈µ ∂ t H, φ〉 D ′ ,D = − 〈∇ × E, φ〉 D ′ ,D{ ε ∂t E + σE = ∇ × H dans D ′ (K),µ ∂ t H = −∇ × E dans D ′ (K),qui entraîne, du fait de la régularité de E et H (appartenance à L 2 (Ω) et à rotationnel dans L 2 (Ω)), lesrelations :∀ K ∈ T , { ε ∂t E + σE = ∇ × H presque partout dans K,(5)µ ∂ t H = −∇ × E pp dans K.On retrouve donc les équations de maxwell (3) dans Ω.Pour démontrer qu’il y a continuité tangentielle aux interfaces Γ = K ∩ K ′ , on considère cette foisψ, φ ∈ [D(K ∪K ′ )] 3 , ce qui aura pour effet d’annuler tous les termes de bords autre que celui sur Γ dans(4). Sachant que [[v]] K Γ = −[[v]]K′ Γet que la normale nK′Γ= −nK Γ, et en utilisant (5), le système (4) écritsur K et sur K ′ donne alors les quatre équations :11

ψ, φ ∈ [D(K ∪ K ′ )] 3 ,⎧ ∫∫α K Γ [[n × (E × n)]]K Γ∫· ψ ds + Γ∫⎪⎨ δ K Γ [[n × (H × n)]K Γ∫· φ ds + Γ∫− α K′Γ [[n × (E × n)]]K Γ∫· ψ ds + Γ∫⎪⎩ − δ K Γ [[n × (H × n)]]K Γ · φ ds +Γβ K Γ [[H × n]]K ΓΓγ K Γ [[E × n]]K ΓΓβ K′Γ [[H × n]]K ΓΓγ KjΓ [E × n]]K ΓΓ· ψ ds = 0,· φ ds = 0,· ψ ds = 0,· φ ds = 0,où on a noté n la normale n K′Γpour alléger l’écriture. La régularité L2 des traces des champs sur lesbords permet alors d’écrire :⎧α K Γ⎪⎨[[n × (E × n)]]K Γ + βK Γ [[H × n]]K Γ= 0 pp sur Γ,δ K Γ [n × (H × n)]]K Γ + γK Γ [[E × n]]K Γ= 0 pp sur Γ,−α K′Γ⎪⎩[[n × (E × n)]]K Γ + βK′ Γ [[H × (6)n]]K Γ= 0 pp sur Γ,−δ K Γ [n × (H × n)]]K Γ + γKj Γ [[E × n]]K Γ = 0 pp sur Γ.Pour retrouver la continuité tangentielle de E et H, on choisit α K Γ = αK′ Γ , δK Γ = δK′ Γ et on additionne(6a) avec (6c) et (6b) avec (6d), ce qui donne :⎧ ( )⎨ β K Γ + βK′ Γ [[H × n]] K Γ( )= 0,⎩ γ K Γ + γK′ Γ[[E × n]] K Γ = 0.La continuité est donc assurée si β K Γ + βK′ Γ≠ 0 et γK Γ + γK′ Γ ≠ 0.Enfin, les conditions aux limites sur les faces Γ = K ∩ ∂Ω s’obtiennent en considérant des fonctionstest ψ, φ ∈ [D(K ∪ Γ)] 3 dans (4). On obtient alors :{−αKΓ(n × (E × n))−β K Γ (H × n) = 0 pp sur Γ,−δ K Γ (n × (H × n))−γK Γ(E × n) = 0 pp sur Γ.La nécessité d’avoir β K Γ = 0, δK Γ = 0 et γK Γ ≠ 0 (ou αK Γalors immédiate, ce qui termine la preuve.≠ 0) sur Γ ⊂ ∂Ω pour retrouver E × n = 0 estL’énergie de (4) est donnée par ∫ Ω εE · E dx + ∫ ΩµH · H dx. L’étude de cette énergie pour σ = 0est donnée dans le théorème suivant.Théorème 4 Il y a conservation d’énergie au cours du temps si :• ∀ Γ = K ∩ K ′ , α K Γ = αK′ Γ= 0, δK Γ = δK′ Γ = 0, βK Γ = −γK′• ∀ Γ = K ∩ ∂Ω, β K Γ = 0, δK Γ = 0 et γK Γ = 0, αK Γ ≥ 0.Γ , βK′ Γ= −γK Γ , γK Γ + γK′ Γ = 1,Par la suite, il a été choisi :• ∀ Γ = K ∩ K ′ , α K Γ = αK′ Γ= 0, δK Γ = δK′ Γ = 0, βK Γ = βK′ Γ = − 1 2 , γK Γ = γK′ Γ = 1 2• ∀ Γ = K ∩ ∂Ω, β K Γ = 0 = δK Γ = αK Γ , γK Γ = 1,ce qui correspond à la formulation variationnelle :⎧ ∫∫∫⎪⎨ (ε ∂ t E + σE) · ψ dx = ∇ × H · ψ dx + β K ∂K [[H × n]]K ∂K∫ K∫· ψ ds,K ∫ ∂K(7)⎪⎩ µ ∂ t H · φ dx = − ∇ × E · φ dx + γ K ∂K [E × n]]K ∂K · φ ds.KK∂K12

Remarque 5 On pourrait tout aussi bien déterminer le jeu de coefficients à utiliser lorsque l’on impose,par exemple, des conditions aux limites absorbantes de type Silver-Müller, c’est là la richesse de cetteformulation variationnelle.Remarque 6 Le jeu de coefficients choisi correspond à une approximation centrée des flux (i.e : lesvaleurs des champs aux frontières des cellules sont approchées par la demi-somme des traces des champsde part et d’autre de la frontière). On considère ainsi dans ce mémoire une formulation Galerkin centrée,et les méthodes de pas de temps local présentées par la suite ne sont valables que pour ce type deschéma. Il est bien sûr possible d’utiliser des formulations décentrées mais les discrétisations temporellestraditionnellement utilisées sont plutôt de type Runge-Kutta dans ce cas (et non leap-frog).2.2 ApproximationOn cherche maintenant à discrétiser en espace, puis en temps, cette formulation variationnelle. Ondoit pour cela définir une espace d’approximation des champs et une base de celui-ci.2.2.1 Description des fonctions de baseLa définition des fonctions de base adaptées se fait moyennant un cadre de référence : on considèrele cube unité ˆK = [0, 1] 3 et on met en correspondance chaque cellule hexahédrique K avec ce cube unitéau moyen d’une transformation géométrique notée F K , i.e : F K ( ˆK) = K, ceci du fait que tout hexaèdrepeut être vu comme la déformation d’un cube. Ainsi, on peut définir un ensemble de fonctions de basepolynomiales de ˆK et se ramener, via F K , à l’ensemble des fonctions de base sur les éléments K ∈ T .On définit alors l’espace d’approximation auquel appartiendrons les solutions numériques :V r = {v ∈ [L 2 (Ω)] 3 tel que ∀ K ∈ T , DF ∗ K v| K◦ F K ∈ [Q r ( ˆK)] 3 }, (8)où Q r ( ˆK) est l’ensemble des polynômes d’ordre inférieur ou égal à r sur chaque variable et DF K lamatrice jacobienne de F K , dont le déterminant sera noté J i . Dans la suite du rapport, on parlera d’uneapproximation Q r pour la méthode Galerkin Discontinu lorsque l’approximation spatiale sera basée surV r .Remarque 7 En général, dans les méthodes de type Galerkin discontinu, on choisit comme espace d’approximationun espace polynomial, ie les champs sont approchées par des polynômes sur chaque K. Ici,c’est un espace un peu particulier que l’on utilise, ceci afin de permettre l’obtention de matrices demasse condensées et des matrices de sauts indépendantes de l’élément K.Remarque 8 On peut bien sûr prendre un ordre d’approximation r i dépendant de la cellule ; ici, on apris r pour simplifier les notations.Pour définir les fonctions de bases de V r , on commence par définir des fonctions de bases sur ˆK.On construit (r + 1) points de quadrature de Gauss sur chaque intervalle [0, 1] qui serviront au calculnumérique des intégrales, et on a ainsi un ensemble de (r + 1) 3 nœuds de ˆK = [0, 1] 3 , qui seront notésξ i,j,k . On définit ensuite (r +1) 3 polynômes de Lagrange θ i,j,k ∈ Q r tels que θ i,j,k (ξ l,m,n ) = δ il δ jm δ kn ,avec δ symbole de Kronecker (en d’autres termes, la fonction θ i,j,k vaut 1 sur le nœud i, j, k et vaut 0 surles autres nœuds). Par commodité, on utilisera désormais une notation multi-indice l ∈ {1... (r + 1)} 3pour représenter les nœuds (i, j, k).L’ensemble des 3(r+1) 3 fonctions θ (1,2,3)lde la base ̂B sur ˆK sera alors défini par : θ 1 l = (θ l, 0, 0) T =θ−→l e1 , θ 2 l = θ−→l e2 , θ 3 l = θ−→l e3 . Par exemple, la figure 4 montre la position des degrés de liberté sur ˆKpour une approximation Q 3 . Il sera utile par la suite de remarquer que θ i l (ξ n) = δ−→l,n ei .13

FIG. 4 – Degrés de liberté pour une approximation Q 3 sur le cube unitéEnfin, on définit la base B de V r par :Ψ ∈ B ⇔ ∃ K tel que supp(Ψ) = K, ∃ l ∈ {1, ..., (r + 1)} 3 , ∃ i ∈ [[1; 3]] tels que :Ψ ◦ F K = DF ∗−1Kθi l(9)La décomposition du champ E (idem pour H) sur la base B se fait alors après changement de variablespour se ramener sur ˆK, auquel cas on peut écrire :∀ K ∈ T , E ◦ F K =3∑∑EK,l ii=1 l∈{1,...,(r+1)} 3DF∗−1K θi l . (10)Les approximations d’intégrales seront faites par la formule de quadrature :∫∑f(̂x)d̂x ≃ω l f(ξ l )ˆKl∈{1,...,(r+1)} 3où ω l sont les poids de quadrature de Gauss associés aux points ξ l .2.2.2 Formulation semi-discrète en espaceIl s’agit maintenant de décomposer les champs dans la base B et de parcourir l’ensemble des fonctionsde la base B avec les fonctions test dans la formulation variationnelle (7) pour obtenir un systèmediscret que l’on met sous forme matricielle. Chaque terme de la formulation (7) est isolé et discrétisé.Certains calculs, dont l’absence n’altère pas la compréhension globale de la démarche, ne seront pasdétaillés car trop lourds.∫Calcul des matrices de masse Il s’agit des matrices issues des termes ∂ t K ε E · ψ dx + ∫ ∫ KσE · ψ dxet ∂ t K µ H · φ dx dans (7). Seul le terme ∫ Kε E · ψ dx sera explicité, les autres étant similaires. Soitψ 0 ∈ B, supp(ψ 0 ) = K ∈ T . Après changement de variables on obtient :∫∫ε E · ψ 0 dx = |J K | (ε ◦ F K E ◦ F K ) · (ψ 0 ◦ F K ) d̂x.KˆKOr, d’après (9), ∃ l 0 , i 0 tels que ψ 0 ◦ F K = DF ∗−1K θi 0l0, d’où :∫∫ε E · ψ 0 dx = |J K | (ε ◦ F K E ◦ F K ) · DF ∗−1K θi 0l0d̂xKˆK14

===3∑∑EK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 33∑∑EK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 33∑∑EK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 3∫∫ˆKˆK|J K | ( ε ◦ F K DF ∗−1 )Kθi l · DF∗−1K θi 0l0d̂x d’après (10)|J K | ( DF −1K ε ◦ F K DF ∗−1 )Kθi l · θi 0l0d̂x∑ω n |J K (ξ n )| ( DF −1K ε ◦ F K DF ∗−1Kn∈{1,...,(r+1)} 3)(ξn ) θ i l (ξ n) · θ i 0l0(ξ n ).Comme θ i l (ξ n) = δ l,n−→ ei et θ i 0l0(ξ n ) = δ l0 ,n −→ e i0 , cette expression est non nulle lorsque l = n = l 0 , d’où :∫Kε E · ψ dx =3∑EK,l i 0ω l0i=1∣ ∣ J K (ξ l0) ∣ ∣ ( DF −1K ε ◦ F K DF ∗−1K (ξ l 0) −→ e i)· −→ ei0 .En écrivant cette expression pour i 0 = 1, 2, 3 on obtient, en regroupant les trois scalaires {EK,l i 0} i0 =1,2,3dans un vecteur E K,l0 , un produit matrice-vecteur M K,l 0ε {EK,l i 0} i0 =1,2,3 de taille 3 × 3. En faisant demême avec tous les l 0 ∈ {1, ..., (r + 1)} 3 (i.e : ψ 0 parcourt toutes les fonctions de base de K), on obtientun produit matrice-vecteur Mε K E K dont la matrice Mε K =diag(M K,l 0ε ) l0 ∈{1,...,(r+1)} 3 est bloc-diagonaleet dont les inconnues sont regroupées dans un vecteur E K contenant tous les {E K,l0 } l0 ∈{1,...,(r+1)} 3.Enfin, en faisant ainsi pour toutes les cellules K ∈ T , on obtient une matrice globale bloc-diagonaleM ε =diag(Mε K ) K∈T dont chaque bloc (correspondant à chaque cellule) est lui-même bloc-diagonal(blocs 3 × 3), cette dernière propriété étant due au choix des espaces d’approximation particuliers.Les∫inconnues sont dans un vecteur E qui contient tous les vecteurs {E K } K∈T . Au final, le terme∂ t K ε E · ψ dx est donc discrétisé en M ε ∂ t E. On peut également remarquer que M ε est symétrique :en effet, il est facile de voir que chaque bloc M K,l 0ε est symétrique.La démarche est similaire pour ∫ K σE · ψ dx (resp. ∂ ∫t K µ H · φ dx) et on obtient M σE (resp.M µ ∂ t H). Par la suite, les calculs se déroulant plus ou moins de la même manière, ils seront un peumoins détaillés, et les notations utilisées seront les mêmes.Calcul des matrices de rigidité Elles sont obtenues en discrétisant ∫ K ∇ × E · φ dx et ∫ K ∇ × H · ψ dxdans la formulation (7). Soit φ 0 ∈ B, supp(φ 0 ) = K ∈ T , alors ∃ l 0 , i 0 tels que φ 0 ◦ F K = DF ∗−1K θi 0l0.On admettra que :∫K∇ × E · φ dx = signe(J K)= signe(J K)= signe(J K)3∑∑EK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 33∑∑EK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 33∑i=1∑∫ˆKl∈{1,...,(r+1)} 3 E i K,l ω n̂∇ × θ i l · θi 0l0d̂x∑ ( )ω n ̂∇ × θiln∈{1,...,(r+1)} 3(̂∇ × θil)(ξ l0) · −→ e i0(ξ n ) · θ i 0l0(ξ n )En faisant de même pour i 0 = 1, 2, 3 et l 0 ∈ {1, ..., (r + 1)} 3 (i.e ψ 0 parcourt toutes les fonctions debase de K), on obtient une formulation de la forme R K E K . Enfin, la même démarche pour toutes lescellules K ∈ T donne une discrétisation de la forme RE où R =diag(R K ) K∈T est bloc diagonale. Onpeut remarquer que le calcul de la matrice de rigidité sur les cellules K ∈ T ne dépend que du signe dujacobien J K , ce qui implique un très faible stockage par rapport aux méthodes de Galerkin discontinuclassiques.Il en est de même pour la discrétisation du terme ∫ K∇ × H · ψ dx qui donne RH.15

Calcul des matrices de saut On s’intéresse tout d’abord au terme ∫ ∂K βK ∂K [[H × n]]K ∂K · ψ ds quel’on décompose en flux venant des faces internes ∂K ∩ ∂K ′ et de la face frontière ∂K ∩ ∂Ω. Commeβ K ∂K = − 1 2sur les faces internes et 0 sur les faces frontière, on a :∫β K ∂K [[H × n]]K ∂K · ψ ds = −∑ ∫1∂K∂K∩∂K ′ 2 [[H × n]]K ∂K · ψ ds + 0,K ′ ∈V(K)où V(K) l’ensemble cellules voisines à K. Par une démarche globalement similaire (mais plus technique)à celles employée pour les autres matrices, l’intégrale ∫ 1 ∂K∩∂K ′ 2 [H × n]]K ∂K ·ψ ds conduit à une matriceSK i de flux entre les cellules K ′ et K : S i ∑′KH. La somme devient donc une somme de flux′K ′ ∈V(K)∑provenant des cellules voisines à la cellule K considérée : SK i H. Au final, en faisant de même′K ′ ∈V(K)pour chaque cellule K, on obtient une matrice de flux globale S i dont les blocks (i, j) correspond auflux de K ′ vers K. On a donc −S i H.Remarque 9 Lorsque l’on a dit que ∫ ∂K∩∂K− 1 ′ 2 [[H × n]]K ∂K · ψ ds conduit à une matrice S K ′ de fluxentre les cellules K ′ et K, il eut été plus rigoureux de dire que cela conduit à une matrice dont une partieest due aux flux provenant de K ′ . En effet, [[H × n]] K ∂K = (H| × n)K ′ Γ− (H| K× n) Γ; c’est la partie(H| K ′ × n) Γqui correspond au flux provenant des cellules voisines K ′ , l’autre partie étant un terme derotationnel propre à la cellule K.Concernant le terme ∫ ∂K γK ∂K [[E × n]]K ∂K · ψ ds, comme γK ∂K prend la valeur 1 2sur les faces interneset 1 sur les faces frontière, on a :∫γ K ∂K [[E × n]]K ∂K · ψ ds =∑ ∫1∂K∂K∩∂K ′ 2 [[E × n]]K ∂K∫∂K∩∂Ω· ψ ds + [E × n]] · ψ ds.K ′ ∈V(K)Le premier terme donne, comme précédemment, S i E. Concernant le second terme : soit ψ 0 ∈ B (i.e∃ l 0 , i 0 tels que ψ 0 ◦ F K = DF ∗−1K θi 0l0). On admettra alors que :∫3∑ ∑∫[[E × n]] · ψ ds = −signe(J K )(θ i l × ̂n) · θi 0∂K∩∂ΩEK,lii=1 l∈{1,...,(r+1)} 3où ̂Γ est la face du cube unité correspondante à ∂K ∩ ∂Ω. En faisant de même pour i 0 = 1....3 etl 0 ∈ {1....(r + 1)} 3 , on obtient une formulation S b K E K. Il est évident que si K ne possède pas de facefrontière, ce terme n’existe pas. Ainsi, cette démarche pour tout K conduit à une matrice bloc-diagonaleS b =diag({S b K , O}) suivant si K possède une face frontière ou pas ; l’approximation est donc : Sb E. Onpeut noter qu’ici encore, seul le signe du jacobien J K a besoin d’être stocké pour chaque cellule.Système semi-discrétisé Au final, on obtient le système semi-discrétisé en espace :{Mε ∂ t E + M σ E = RH − S i H,M µ ∂ t H = −RE + S i E + S b E,avec, du fait du choix de l’espace d’approximation :– les matrices de masse M ε , M σ , M µ sont symétriques bloc-diagonales (comme dans toutes lesméthodes de Galerkin), mais dont chaque bloc est également 3 × 3 bloc-diagonal.– les matrices de rigidité et de sauts sont très creuses et ne nécessitent que le stockage du signe dujacobien de F K .On obtient ainsi une méthode rapide et ne nécessitant qu’un faible stockage et ce quel que soit l’ordred’approximation spatial choisi. Les avantages de cette méthode sont liés à l’utilisation de maillageshexaédriques qui peuvent être obtenues facilement à partir de cellules tétraédriques comme le montre lafigure 5.̂Γl0,(11)16

0000000011111111000000000000111111111111000000001111111100000000000011111111111100000000111111110000000000001111111111110000000011111111000000000000111111111111000000001111111100000000000011111111111100000000111111110000000000001111111111110000000011111111000000000000111111111111000000001111111100000000000000000000111111110000000000000000000011111111000000000000000000001111111100000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111110 0 1 100000000000000000000111111110000000000000000000011111111000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111100000000000011111111111100000000111111110000000000001111111111110 1 000000001111111100000000000011111111111100000000000000000000000000000000000000000 1 1 0000 11110111111111111111111110110000 111111111111111111111111010000000000000000000011111111111111111111010000000000000000000011111111111111111111000000000000000000001111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111010101010000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000111111111111111111110000000000000000000011111111111111111111000000001111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000111111110000000000000111111110000000000000111111110000000000000111111110000000000000111111110000000000000111111110000000000000000000001111111111111111000000001111111100000centre de la celluleFIG. 5 – Découpage d’une cellule tétraédrique en 4 cellules hexaédriques2.2.3 Réécriture de la formulation semi-discrèteOn va par la suite manipuler, par commodité, une autre écriture du schéma semi-discrétisé (11), quipeut se décomposer d’une autre manière :{Mε ∂ t E + M σ E = KH − AH − BH = SH,M µ ∂ t H = −KE + AE − BE = −S T E,où les matrices de masse ne changent pas, la matrice de rigidité K est bloc-diagonale symétrique, Aest symétrique et B est bloc-diagonale anti-symétrique. Sans trop entrer dans les détails (car c’est unraisonnement classique en Galerkin Discontinu mais assez technique à développer), on va brièvementexpliquer pourquoi cette décomposition est toujours possible. On considère la première équation de (7)(le principe est exactement le même pour la seconde équation) :∫∫∫(ε ∂ t E + σE) · ψ dx = ∇ × H · ψ dx + β K ∂K [[H × n]]K ∂K · ψ ds. (12)KKLe membre de gauche a aboutit aux deux matrices de masse M ε et M σ . Le premier terme du membre dedroite donne la matrice de rigidité, dont on peut ”symboliquement” dire que chaque bloc K est constitué{ ∫ }de termes ˆK̂∇ × θil · θ i l,l0 ∈{1,...,(r+1)} 30l0et le second conduisait aux matrices de saut. On va chercherà répartir ces termes différemment pour obtenir la formulation voulue. On notera (E K , H K ) lei,i 0 =1,2,3champ sur la cellule K. Après application d’une formule de Green, (12) devient :∫∫∫∫(ε ∂ t E K +σE K ) · ψ = ∇ × ψ · H K − (H K × n) · ψ + β K ∂K [[H × n]]K ∂K · ψKK∂K∫∫∫= ∇ × ψ · H K − (H K × n) · ψ + β K ∂K [[H × n]]K ∂K · ψ∫K∂K∂K= ∇ × ψ · H K − 1 ∫K × n) · ψ −K 2 ∂K(H 1 ∫∫(H K × n) · ψ + β K ∂K2[[H × n]]K ∂K · ψ.∂K∂KAprès application de la formule de Green : 1 ∫2 ∂K (H K × n) · ψ = 1 ∫2 K ∇ × ψ · H K − ∇ × H K · ψ, celadonne :∫(ε ∂ t E K +σE K )·ψ = 1 ∫(∇ × ψ · H K + ∇ × H K · ψ)+ 1 ∫∫β K ∂KK2 K2[[H×n]]K ∂K·ψ−1 (H K ×n)·ψ.∂K 2 ∂K∩∂Ω17∂K∂K

Sachant que β K ∂K est nul sur ∂Ω et vaut − 1 2sur les faces internes, et en décomposant l’intégrale sur ∂K,on obtient :∫K∫∑∫(ε ∂ t E K +σE K ) · ψ = 1 2(∇ × ψ · H K + ∇ × H K · ψ) + 1 2[H × n] K ∂K · ψKK ′ ∈V(K)∂K∩∂K ′∑∫∫− 1 2(H K × n) · ψ − 1K ′ ∈V(K)∂K∩∂K ′ 2(H K × n) · ψ∂K∩∂Ω= 1 ∫(∇ × ψ · H K + ∇ × H K · ψ) + 1 ∑∫(H K ′ × n − H K × n) · ψ2 K2K ′ ∈V(K) ∂K∩∂K ′− 1 ∑∫(H K × n) · ψ − 1 ∫(H K × n) · ψ22K ′ ∈V(K)∂K∩∂Ω∂K∩∂K ′= 1 ∫(∇ × ψ · H K + ∇ × H K · ψ) − 1 ∑∫22K− 1 2∫∂K∩∂Ω(H K × n) · ψ.K ′ ∈V(K)∂K∩∂K ′ (H K ′ × n) · ψCette écriture de la formulation variationnelle aboutit, après discrétisation, au système (13) annoncé.En effet, le terme 1 ∫2 K (∇ × ψ · H K + ∇ × H K · ψ) conduit à une matrice de rigidité K symétrique{ ∫dont les blocs sont constitués de termes ˆK̂∇ × θil · θ i 0l0+ ̂∇}× θ i 0l0 · θ i l,l0 ∈{1,...,(r+1)} 3l. Le terme∫i,i 0 =1,2,312 ∂K∩∂Ω (H K × n) · ψ conduit à une matrice anti-symétrique car construite à partir de termes de la{ ∫ } i,lforme ̂Γ(θ i K,l × n′ K ) · θi 0K,l0, sur lesquels on voit bien que changer le rôle de i, l et de i 0 , l 0 (i.ei 0 ,l 0permuter les indices de lignes avec les indices colonnes) fait apparaître un changement de signe dansl’expression. Cela donne une matrice de bord anti-symétrique et bloc diagonale (car ne faisant pas intervenirde fonctions de bases des cellules voisines) notée B. Enfin, à chaque terme ∫ ∂K∩∂K(H ′ K ′ × n) · ψest associée une matrice de flux entre K et K ′ , et on obtient donc une matrice de flux symétrique carla matrice A KK ′ de flux sur K pour la cellule voisine K ′ est la même (à une transposition près) que lamatrice A K ′ K de flux sur K ′ pour la cellule voisine K. En effet, du fait que n K ′ = −n K , on aura des{ ∫ } i,l{termes génériques ̂Γ(θ i K ′ ,l × n K) · θ i 0∫ } i,lK,l0dans le premier cas, et ̂Γ(θ i K,l × i 0 ,l n′ K ) · θi 0K ′ ,l 0 0 i 0 ,l{ 0∫ i,l{équivalent à −(θ ̂Γ i 0∫ i,lK,l0× −n K ) · θ i K ,l} ′ soit encore ̂Γ(θ i 0K,l0× n K ) · θ i K ,l} ′ dans le secondcas. On obtient donc une matrice de flux A symétrique.Le même raisonnement appliqué à la seconde équation permet d’écrire :{Mε ∂ t E + M σ E = KH − AH − BH,M µ ∂ t H = −KE + AE − BE.i 0 ,l 0De plus, du fait des propriétés de symétrie et d’anti-symétrie de ces matrices, et en notant S = K−A−B,on a : −K + A − B = −K T + A T + B T = −S T . On a alors le système :{Mε ∂ t E + M σ E = SH,M µ ∂ t H = −S T (13)E.Remarque 10 Il est important de rappeler que ce qui a été fait dans ce paragraphe n’est pas parfaitementrigoureux. Ce qui a été appelé terme générique de la matrice n’est qu’une représentation simplifiéepermettant de bien saisir l’essentiel : les interactions entre les fonctions de base, qui sont à l’origine despropriétés de symétrie (ou d’anti-symétrie) et de structure bloc (bloc-diagonale ou pas) des différentesi 0 ,l 018

matrices. L’écriture rigoureuse de ces termes demanderait des calculs plus techniques comme ceux effectuésdans le paragraphe (2.2.2).On a alors la propriété suivante de conservation d’énergie du schéma semi-discret lorsque σ = 0 :Proposition 11 Le schéma semi-discret (13) conserve l’énergie :E = 1 2 (M εE |E ) + (M µ H |H )au cours du temps, où (·|·) désigne le produit scalaire euclidien usuel.Démonstration. On a :∂ t E = 1 2 ∂ E(M ε E |E ) · ∂ t E + 1 2 ∂ H(M µ H |H ) · ∂ t H= (M ε E |∂ t E ) + (M µ H |∂ t H ) = (E |M ε ∂ t E ) + (H |M µ ∂ t H )= (E |SH ) + (H ∣ ∣−S T E ) = (E |SH ) − (E |SH ) = 0.L’énergie E est donc conservée au cours du temps.2.2.4 Une discrétisation en temps : le schéma de leap-frogLa méthode de discrétisation temporelle la plus utilisée en électromagnétisme pour résoudre leséquations de Maxwell est incontestablement le schéma de leap-frog. Explicite, d’ordre deux, facile àmettre en œuvre, elle permet de plus de respecter le caractère conservatif du schéma semi-discrétisé, etassure ainsi sa stabilité. Le schéma (11) discrétisé en temps par le schéma de leap-frog de pas ∆t s’écrit :⎧⎨ HM n+ 1 2 −H n− 1 2µ ∆t= −S T E n ,(14)⎩ EM n+1 −E nε ∆t+ M σ E = SH n+ 1 2 .Afin d’alléger les formules, on considère désormais dans toute la suite du rapport, sans que cela soit unerestriction, qu’il n’y a pas de terme de dissipation, i.e : σ = 0 (le terme en M σ disparaît). On a alors lapropriété de conservation du leap-frog qui suit.Proposition 12 Le schéma (14) conserve l’énergie discrète E n = (M ε E n |E n ) + (M µ H n+ 1 ∣2 ∣H n− 1 2 ) ;il est, par conséquent, stable.Démonstration. En utilisant les équations du schéma (14), on a :E n+1 = ( M ε E n+1 ∣ ∣E n+1 ) ()+ M µ H n+ 3 ∣2 ∣H n+ 1 2= ( M ε E n ∣ En+1 ) (+ ∆t SH n+ 1 2 ∣ E n+1) (+ M µ H n+ 1 2= ( M ε E n ∣ ∣E n+1 ) ()+ M µ H n+ 1 ∣2 ∣H n+ 1 2()= (M ε E n |E n ) + M µ H n+ 1 ∣2 ∣H n− 1 2 + ∆t= E n .) ( ∣ )∣∣H n+ 1 2 − ∆t S T E n+1 ∣∣H n+ 1 2( ∣ ) (E n ∣∣SH n+ 1 2 − ∆tH n+ 1 2∣ S T E n)De plus, E n est une forme quadratique des inconnues numériques (E n ∣ ∣∣H n− 1 2 ) (il suffit d’exprimerH n+ 1 2 en fonction de H n− 1 2 et de E n ). On peut alors montrer que la conservation de E n entraîne unestabilité au sens L 2 du schéma numérique, en faisant jouer le rôle d’une fonction de Lyapunov à E n [21].19

2.3 Avantages du schéma GD : illustrationPour montrer l’intérêt de cette méthode Galerkin discontinu, on la compare à un schéma de Yeeclassique. La simulation consiste à calculer le champs en un point A, situé à proximité d’une sphèremétallique recouverte d’une couche diélectrique comme indiqué sur la figure 6, cette sphère étant illuminéepar une onde plane. Sur la figure 7, on observe clairement la dispersion du schéma de Yee (qui setraduit par un déphasage flagrant des deux courbes obtenues par FDTD), alors que les méthodes Galerkindiscontinu (d’ordre 3 et 5) se comportent bien. Dans cet exemple, les solutions FDTD et Galerkin Discontinusont obtenues pour un temps CPU équivalent, mais avec un gain mémoire de 10 pour la méthodeGalerkin discontinu.A(-0.76,0.,0.)O(0,0,0)r=0.75mr=0.5mFIG. 6 – Configuration de l’expériencepoint : (−0.76,0,0)point (−0.76,0,0)200100100500Ey(V/m)−100−200DG Q3DG Q5FDTD : Lambda/10FDTD : Lambda/20Ey(V/m)0−50DG Q3DG Q5FDTD : Lambda/10FDTD : Lambda/20−3000 1e−08 2e−08 3e−08 4e−08 5e−08t(s)(a)−1001e−07 1.2e−07 1.4e−07 1.6e−07 1.8e−07 2e−07t(s)(b)FIG. 7 – Champs évalués au point A à différentes plages d’observation pour les méthodes différencesfinies et Galerkin discontinu.20

3 Stratégies de pas de temps localOn a vu dans la précédente section que la méthode de Galerkin Discontinu possède de nombreuxavantages sur les méthodes plus classiques de type différences finies ou volumes finis. Cependant, unproblème commun à toutes les méthodes se pose : la nécessité d’avoir recours à des maillage raffinés(proximité de parois, présence de matériaux à forts contrastes etc.) conduit à de fortes hétérogénéité detailles de cellules, les contraintes de stabilité imposant par conséquent l’utilisation d’un pas de temps globald’autant plus petit que le maillage est déstructuré, entraînant des temps de calcul parfois rédhibitoires.Il peut alors paraître judicieux d’adapter le pas de temps aux cellules en les regroupant dans différentesclasses d’intégration. On pourra ainsi utiliser de petits pas de temps lorsque cela est strictement nécessaire(”petites” cellules) et se permettre l’utilisation d’un pas de temps moins contraignant sur les cellules detaille plus importante, économisant par ce biais de nombreux calculs. C’est là l’essence des schémas àpas de temps local.Partant de la formulation semi-discrétisé en espace, il s’agit alors de développer des discrétisationstemporelles permettant une intégration locale des cellules. Les critères classiques de consistance et deconvergence des schémas de pas de temps local restent une question ouverte et difficile à développer,ce qui explique que souvent les schémas sont proposés sans démonstration mathématique rigoureuse deconsistance. Le critère de stabilité est, lorsque c’est possible, étudié via la conservation d’une énergiediscrète ; c’est même ce critère qui motive la plupart du temps la définition du schéma.De nombreux schémas ont étés proposés pour les problème à N corps [17], [16] comme les systèmesmoléculaires, planétaires etc., mais les méthodes de pas de temps local appliquées aux équations deMaxwell (et aux schémas de Galerkin) relèvent d’un développement plus récent. On va présenter desméthodes explicites à 2 puis à N classes de cellules, intéressantes pour la simplicité de leur mise enœuvre et les performances qu’elles offrent, mais possèdent bien sûr leurs limites. Un court paragraphesera également consacré aux méthodes implicites. Enfin, une étude énergétique du schéma de type leapfrogrécursif à deux classes est faite, et il en découle une stratégie de correction énergétique pour stabiliserle schéma si nécessaire.3.1 Méthodes explicites à 2 classesUne première approche consiste à effectuer plusieurs intégrations (de type leap-frog par exemple)sur les petites cellules (notées 1) pour une intégration sur les grosses cellules (notées 2). Ainsi, les petitescellules sont associées à un petit pas de temps et les grosses cellules sont intégrées avec un pas de tempsplus grand, multiple du premier. Un problème inhérent à cette démarche est que les schémas nécessitentalors les valeurs du champ à certains temps inconnus (car non calculés, par définition même du pas detemps local) ; il faut alors envisager un moyen de pallier ce défaut.3.1.1 Méthode à base d’interpolationUne première idée est d’utiliser une approximation des champs inconnus par interpolation. Commeon l’a vu, la discrétisation temporelle leap-frog est donnée par :{HM + −H −µ δt= −S T E − ,EM + −E −ε δt= SH + .avec S = K − A − B (et −S T = −K + A − B) et + (resp. −) la valeur du champ calculée (resp. lavaleur du champ au temps précédent), en gardant à l’esprit que les champs E et H sont calculés à destemps décalés (n pour E, n + 1 2pour H). La distinction des cellules 1 et 2 entraîne une partition sur les21

cellules et une réorganisation des vecteurs et des matrices :( ) ( ) (E1 H1MεE = , H = , M ε = 1 0E 2 H 2 0 M2ε ( )K1 0K =, A =0 K 2( )A11 A 12, B =A 21 A 22) ( Mµ, M µ =1 00 M µ 2( )B1 0.0 B 2)On pose enfin S 1 = K 1 − A 11 − B 1 et S 2 = K 2 − A 22 − B 2 , qui correspondent aux calculs internes auxcellules, par opposition aux flux venant des autres cellules représentés par A 12 et A 21 (avec A 12 = A T 21 ,propriété qui sera largement utilisée lors de manipulations énergétiques) 1 . On peut alors proposer leschéma à pas de temps local (dont les étapes peuvent être symbolisées sur la figure 8), adapté à lastructure leap-frog :⎧M µ 2M µ 1H n+ 212 −H n− 1 22∆t= −S T 2 En 2 + A 21E n 1 ,H n+ 1 61 −H n− 1 61∆t/3= −S T 1 En 1 + A 12E n 2 ,M ε 1E n+ 2 61 −E n 1∆t/3= S 1 H n+ 1 61 − A 12 ˜Hn+ 1 62 ,⎪⎨M µ 1M2εH n+ 1 21 −H n+ 1 61∆t/3= −S1 T 2 En+ 61 + A 12 Ẽ n+ 2 6E n+12 −E n 2∆t= S 2 H n+ 1 22 − A 21 H n+ 1 21 ,2 ,(15)M ε 1E n+ 4 61 −E n+ 2 61∆t/3= S 1 H n+ 1 21 − A 12 H n+ 1 22 ,M µ 1H n+ 5 61 −H n− 1 21∆t/3= −S1 T 4 En+ 61 + A 12 Ẽ n+ 4 62 ,⎪⎩M ε 1E n+11 −E n+ 4 61∆t/3= S 1 H n+ 5 61 − A ˜Hn+ 5 6 122 ,EE 2Cellules 2 Cellules 1nn2H n+1/22n+121346578EHEHE1n+1/61n+2/61n+1/21n+4/61H n+5/61En+11FIG. 8 – Pas de temps local à base de leap-frog1 Ces notations seront systématiquement utilisées par la suite. Elle restent valables dans le cas des schémas à N classes decellules, avec les mêmes conventions et propriétés.22

Comme cela a été mentionné, un tel schéma nécessite parfois les champs à des temps inconnus (surles cellules 2), notés ˜ dans le schéma (15). Ces inconnues sont alors approchées au moyen d’interpolationsdes champs entre les temps calculés. En effet, on remarque par exemple que ˜H n+ 1 62 pourra êtreobtenu par interpolation entre H n− 1 22 et H n+ 1 22 dont on dispose. Les interpolations en H 2 permettronsalors le calcul des champs E 2 inconnus, à condition d’avoir effectué cette interpolation sur deux couchesde cellules à l’interface (notées 3 et 4).Remarque 13 La notation par bloc du schéma 15 masque un point qui mérite d’être souligné. En fait,seules les cellules à l’interface entre les domaines 1 et 2 posent problème. En effet, pour les cellulesinternes à la classe (i.e : sans voisin appartenant à l’autre classe), les blocs de A 12 et A 21 mis en jeusont nuls et le schéma se résume à un leap-frog classique. Les interpolations ne sont donc nécessaire quesur les cellules frontières, là où les flux entre les cellules 1 et 2 sont non nuls (des temps non disponiblesétant alors requis).Dans le schéma proposé, on effectue 3 étapes sur les cellules 1 pour une étape sur les cellules 2. Ceraisonnement peut se généraliser à 2n + 1 étapes sur les cellules 1 pour une étape sur les cellules 2. Pourcela, on définit un pas de temps ∆t min pour les cellules 1, et un pas de temps ∆t c = (2n+1)∆t min pourles cellules 2, ∆t min étant choisi pour assurer la stabilité globale : ∆t min = minK∈T ∆t K (avec n 1).La stratégie permettant d’obtenir coïncidence de temps sur le schéma leap-frog est la suivante (onpourra s’aider de la figure 8 pour saisir le principe avec n = 1) :– marquer 1 les ”petites” cellules– marquer 2 les ”grosses” cellules– marquer 3 les cellules 2 qui sont voisines des cellules marquées 1– marquer 4 les cellules 2 qui sont voisines des cellules marquées 3. On a alors la configuration decellules comme décrite sur la figure 9.222222222222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222222244444442 2 2222222223 3 3 3 3 3 3 33433334441 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 111 1 1 1 1 13 3 3 3 3 32222 2 2 2 2 2 2 2 2 2222211114 4 4 4 4 4 4 4 4 4444242333332444444422222222222FIG. 9 – Exemple de marquage des cellules de pas de temps localSupposons le champs électrique (resp. magnétique) connu au temps t m = m ∆t c (resp. ( m − 1 2)∆tc ).L’avancement du schéma d’un pas ∆t c se fait alors comme suit :– t m = m ∆t c– évaluer H pour les cellules marqués 2,3 et 4 au temps t m + ∆t c2– t loc = t m23

– pour chaque pas de temps local de 1 à n– évaluer H pour les cellules marquées 1 au temps t loc + ∆t min2– interpoler H pour les cellules marquées 3 et 4 au temps t loc + ∆t min2– évaluer E pour les cellules marquées 1 et 3 au temps t loc + ∆t min– t loc = t loc + ∆t min– évaluer H pour les cellules marquées 1 au temps t m + ∆t c2– évaluer E pour les cellules marquées 2,3 et 4 au temps t m + ∆t c– t loc = t m + ∆t c2– pour chaque pas de temps local de 1 à n– évaluer les champs électriques E pour les cellules marquées 1 au temps t loc + ∆t min2– interpoler E pour les cellules marquées 3 et 4 au temps t loc + ∆t min2– évaluer H pour les cellules marquées 1 et 3 au temps t loc + ∆t min– t loc = t loc + ∆t min– évaluer les champs E sur les cellules marquées 1 au temps t loc + ∆t min2– t m = t m + ∆t cCette méthode est simple à mettre en œuvre et donne de très bons résultats : on retrouve bien lasolution numérique attendue et le gain de temps calcul est significatif. Toutefois, la propriété de stabilitédu schéma leap-frog n’est plus assurée et peut entraîner une explosion du schéma sur de longs temps decalcul : il faut d’ailleurs souvent diminuer la condition CFL pour arriver au terme des longues simulations.Par exemple, dans les résultats numériques données dans la section 4, la contrainte à été durcied’un facteur 0.8 afin d’être stable sur les temps de simulation considérés. Ce phénomène a été étudiédans d’autres stratégies [9], [12], et semble dû à un cumul d’ondes parasites apparaissant à l’interface.Ce problème, que l’on rencontre souvent lors d’utilisation de pas de temps local, peut se comprendreintuitivement : lors d’un leap-frog classique, on a vu que l’énergie associée est conservée ce qui rendle schéma stable. Cette conservation d’énergie est due à une simplification des flux lorsque l’on sommeles énergies sur toutes les cellules. Lors de l’utilisation de pas de temps local, cette simplification n’a engénéral plus lieu. En effet, à l’interface entre les classes de cellules, elle ne peut avoir lieu pour la simpleraison que, de part et d’autre de cette interface, des schémas différents sont appliqués (certains champssont calculés et d’autres non), ce qui empêche la simplification des flux lors de l’écriture de l’énergieglobale du schéma. Ces flux parasites sont alors une source d’énergie superflue qui à long terme peutprovoquer une explosion si ces termes ne sont pas dissipatifs.Une autre approche consiste alors à utiliser les champs inconnus comme degrés de liberté pour forcerune conservation d’énergie et ainsi garantir la stabilité du schéma : c’est ce qui est brièvement expliquédans la section suivante.3.1.2 Méthode avec conditions de raccord à l’interfaceUne autre approche, développée entre autres dans [9] et [10], consiste à créer une séparation entre lesdeux domaines (cellules 1 et 2) et ainsi considérer les deux algorithmes indépendamment, chacun avec unpas de temps associé. Pour ce, on définit des inconnues correspondant aux champs inconnus à l’interface,pour le domaine 1 et pour le domaine 2 (il y a donc redondance des inconnues à la frontière). L’idée estde ne pas imposer une continuité forte entre ces inconnues (égalité) mais de leur permettre d’avoir desvaleurs différentes. On écrit alors la variation d’énergie du système entre deux instants successifs, qui nedépend que de ces inconnues. En effet, comme évoqué précédemment, les énergies de cellules n’ayantque des voisins de même classe (par sur l’interface) se simplifient car le schéma leap-frog est conservatif.On peut donc imposer une condition de raccord entre ces inconnues permettant d’avoir conservation decette énergie, et ainsi assurer la stabilité du schéma global.Cette stratégie a déjà été utilisée et donne de bons résultats. Cependant, ces conditions de raccord nesont autre qu’un système linéaire liant les inconnues qu’il faut résoudre à chaque itération temporelle ;24

si leur exploitation est envisageable en 1D, elle devient lourde lors du passage en dimension supérieure.L’intérêt de la stratégie de pas de temps local en est alors réduit d’autant.3.1.3 ApplicationPour montrer l’intérêt de la stratégie de pas de temps local à deux classes avec interpolation, onl’a appliquée à la diffraction d’une onde plane par un cône plat et l’on observe les champs en un pointA (voir la figure 10 (a)). Dans le maillage de l’exemple étudié, seulement 20% des cellules requièrentl’utilisation du pas de temps minimal (classe 1). On constate sur la figure 10 (c) une coïncidence descourbes obtenues avec et sans pas de temps local, pour un temps de calcul divisé par 1.5 avec utilisationdu pas de temps local.AZZXXYY(a) Maillage avec PML(b) Maillage du cône100Schema classiqueAvec interpolation0Ey (V/m)−100−200−3000 1e−08 2e−08 3e−08temps (s)(c) Champs E y au point AFIG. 10 – Maillage volumique et surfacique de l’objet et solutions obtenuesIl est important de rappeler le fait que cette méthode peut souffrir de problèmes de stabilité à tempslong : il faut alors contraindre plus fortement la condition CFL pour que la simulation arrive à terme.De plus, on n’est pas en mesure pour le moment d’affirmer (ou d’infirmer) que cette méthode est stablesi l’on contraint suffisamment le pas de temps local. D’autres résultats numériques sont donnés dans lasection 4.Des résultats numériques concernant la méthode avec conditions de raccord peuvent être trouvésdans [9], [10].25

3.2 Méthodes explicites à N classesL’efficacité des méthodes de pas de temps local à 2 classes ne peut que conduire à la recherche deméthodes implémentables pour N classes de cellules, dont la nécessité se révèle lorsque l’on travailleavec des maillages fortement hétérogènes. On comprend aisément qu’une telle méthode se doit d’êtrerécursive de manière à être utilisable dans un cadre général. On présente dans la suite deux méthodesrécursives explicites, une basée sur un schéma de Verlet et l’autre sur un schéma de type leap-frog.NB : L’approfondissement de certaines notions comme les schémas symplectiques pour les systèmesHamiltoniens a été nécessaire pour étudier le schéma de type Verlet récursif proposé. Les résultats correspondantsétablis durant ce stage, essentiels mais relativement techniques, ont été regroupés en annexe.3.2.1 Schéma de type Verlet récursifOn peut tout d’abord citer une méthode proposée par S. Piperno [8] , annoncée comme symplectique,et ainsi supposée conserver une énergie discrète, basée sur un schéma symplectique développé pourles problèmes à N-corps. Ce schéma, développé par Hardy [16], est basé sur une intégration de typeVerlet, et utilise une décomposition du potentiel en ”tranches” de forces d’interactions, induisant alorsune décomposition de l’Hamiltonien. Lors des intégrations, certaines tranches sont prises en compteplus souvent que d’autres, permettant ainsi d’alléger le nombre d’évaluations du potentiel. Le caractèresymplectique du schéma de Verlet est conservé par ces décompositions et la méthode de pas de tempslocal obtenue est donc elle aussi symplectique.S. Piperno s’est inspiré de ce papier pour proposer un schéma à pas de temps local pour les équationsde Maxwell, lui aussi basé sur le schéma de Verlet et utilisant une répartition des cellules en différentesclasses. On répartit les cellules selon leur taille dans N classes d’intégration 1, 2, ..., N − 1, N, de pas de∆t ∆ttemps respectifs , , ..., ∆t2 N−1 2 N−2 2, ∆t. Les plus petites cellules (avec les plus petits pas de temps) sontdonc dans la classe 1, les plus grosses dans la classe N 2 . Cette structure conduit à une réorganisationdes matrices et des vecteurs (comme dans la section 3.1). On note alors R N (∆t) le schéma numériqued’intégration des classes 1 : N de pas ∆t, récursivement défini par :⎧t = t n⎪⎨⎪⎩1. Intégrer les cellules 1...N − 1 avec le schéma R N−1 ( ∆t22. Intégrer les cellules N d’un pas ∆t avec le schéma de Verlet noté V N (∆t) (16)3. Intégrer les cellules 1...N − 1 avec le schéma R N−1 ( )∆t2t = t n+1avec comme convention que l’étape R 0 (∆t) est ignorée. On remarque que toutes les intégrations numériquesde ce schéma sont faites avec la méthode de Verlet, appelée récursivement sur les différentes classes avecdes pas d’intégration successivement divisé par deux. La caractère symplectique de ce schéma semblealors basé sur le fait que la composition d’applications symplectiques est symplectique ; le schéma deVerlet étant symplectique, il en serait alors de même pour tout schéma n’utilisant que des intégrations deVerlet.Cependant, on peut remarquer que le schéma ainsi définit est irréalisable. En effet, l’application duschéma de Verlet sur une cellule de classe n fait intervenir les champs des cellules voisines qui peuventêtre de classe différente et donc, si la classe est plus grande que n, intégrées moins souvent, rendant certainschamps indisponibles au temps souhaité, par définition même d’une stratégie de pas de temps local.Il s’agit exactement du même problème que celui rencontré dans la section 3.1, concernant les champs2 En pratique, la détermination du nombre de classes et la répartition des cellules se font de manière automatique : les cellulesdont le pas de temps est compris entre ∆t min et 2∆t min sont dans la classe 1, entre 2∆t min et 4∆t min dans la classe 2, entre4∆t min et 8∆t min dans la classe 3 et ainsi de suite jusqu’à ce que toute les cellules soient dans une classe.)26

notés ˜ dans (15) que l’on avait approchés par des interpolations. L’auteur remplace alors ces champsinconnus par les derniers champs connus. De ce fait, la méthode d’intégration appelée récursivementn’est pas exactement la méthode de Verlet et le schéma global peut ainsi perdre le caractère symplectiqueinitialement annoncé basé sur ce fait (ce qui semble confirmé numériquement) ; la stabilité et/ou lecaractère symplectique de ce schéma à N classes reste donc un problème ouvert.Remarque 14 La terminologie Verlet récursif sera employée pour désigner ce schéma, bien qu’il s’agissed’un abus de langage pour les raisons évoquées ci-dessus.Cette stratégie n’en reste pas moins très intéressante, à plusieurs points de vue. Elle est totalementexplicite, ne nécessite aucun stockage supplémentaire, et est, du fait de sa nature récursive, très simple àmettre en œuvre quel que soit le nombre de classes N. Les résultats obtenus sont de plus très satisfaisant :les solutions calculées sont identiques à celles obtenues avec un schéma classique pour un volume decalcul significativement réduit.Afin de mieux appréhender la manière dont fonctionne la méthode, les figures 11 et 12 montrent lesétapes des schémas obtenus avec deux et trois classes. L’algorithme du cas N = 2 est également donnéci-dessous, les champs notés avec une ∗ représentant les champs dont les temps étaient indisponibles etqui ont été remplacés par la dernière valeur connue :⎧M µ 1H n+ 1 41 −H n 1∆t/4= −S T 1 En 1 + A 12E n 2 ,⎪⎨M1εM µ 1M µ 2M2εM µ 2E n+ 1 21 −E n 1∆t/2= S 1 H n+ 1 41 − A 12 H n∗2 ,H n+ 1 21 −H n+ 1 412 ,∆t/4= −S1 T 1 En+ 21 + A 12 E n∗H n+ 1 22 −H n 2∗1 ,∆t/2= −S T 2 En 2 + A 21E n+ 1 2E n+12 −E n 2∆t= S 2 H n+ 1 22 − A 21 H n+ 1 21 ,H n+12 −H n+ 1 22∆t/2= −S2 T En+1 2 + A 21 E n+ 1 ∗21 ,⎪⎩M µ 1M ε 1M µ 1H n+ 431 −H n+ 1 21∆t/4= −S1 T 1 En+ 21 + A 12 E n+1∗E n+11 −E n+ 1 21∆t/2= S 1 H n+ 3 41 − A 12 H n+1∗H n+11 −H n+ 431∆t/42 ,2 ,= −S T 1 En+1 1 + A 12 E n+12 ,27

HEH1 1 2E2n+1t94826274531442242ntFIG. 11 – Etapes du schéma Verlet récursif à 2 classesH 1 E 1 H 221191513973188882014184 4416417E 2884 64852 10282 4 448n212H2E3 311n+1ttFIG. 12 – Etape du schéma Verlet récursif à 3 classesL’évolution de l’énergie du système n’a pas encore été quantifiée, sauf pour N = 2 où une démonstrationde stabilité a été faite sous une certaine majoration du pas de temps. Pour N > 2, l’argument invoquédans [8] (caractère symplectique du schéma) n’est a priori pas valable. De ce fait, on constate que,numériquement, on rencontre les mêmes problèmes d’instabilité à temps long qu’avec le schéma avecinterpolation : une restriction de la contrainte CFL sur le pas de temps est nécessaire pour ”stabiliser” leschéma sur les simulations à temps long. Bien sûr, plus la contrainte CFL est durcie, moins le schéma àpas de temps local sera efficace (jusqu’à ne plus l’être si on doit trop diminuer le pas de temps). On peutdéjà remarquer que plus le temps de simulation sera long, plus il faudra contraindre le pas de temps etplus faible sera le gain offert par les méthodes de pas de temps local proposées3.2.2 Schéma de type leap-frog récursifLe coté pratique et les résultats obtenus avec cette formulation récursive ont conduit à essayer demettre le schéma à deux classes avec interpolation (15) sous la même forme que (16), c’est-à-dire lerendre utilisable pour N classes via une formulation récursive. Cette méthode de pas de temps local sera28

alors basée sur le schéma de leap-frog (et non Verlet) dont on rappelle l’expression :{HM + −H −µ δt= −S T E − ,EM + −E −ε δt= SH + .On note LeapF rogH(δt, n) (resp. LeapF rogE(δt, n)) la première étape (resp. la seconde étape)du schéma ci-dessus appliquée aux cellules de la classe n avec un pas δt. Pour aboutir à une formulationrécursive à partir de (15), on n’effectue plus les interpolations des champs aux temps inconnus (ce quifinalement semble ne rien apporter), et on utilise simplement les champs aux derniers temps disponiblescomme dans la méthode (16). On aboutit alors sur un schéma récursif généralisable à N classes decellules, qui s’écrit :⎧On dispose des champs (H n− 1 2 , E n ) sur tout le domaine⎪⎨ 1. avanceH(∆t, N)(17)2. avanceE(∆t, N)⎪⎩Les champs (H n+ 1 2 , E n+1 ) ont été calculés sur tout le domaine,les routines récursives avanceH(∆t, N) et avanceE(∆t, N) étant respectivement définies par :⎧⎧− LeapF rogH (∆t, N)⎪⎨− avanceH ( − LeapF rogE (∆t, N)∆t3 , N − 1)⎪⎨− avanceE ( − avanceE ( ∆t∆t⎪⎩3 , N − 1) et3 , N − 1)− avanceH ( − avanceH ( ∆t∆t3 , N − 1) ⎪⎩3 , N − 1)− avanceE ( ∆t3 , N − 1)avec pour convention avanceH (δt, 1) = LeapF rogH (δt, 1) et avanceE (δt, 1) = LeapF rogE (δt, 1) .Les étapes du schéma obtenu pour deux et trois classes sont visibles sur les figures 8 et 13. On peutremarquer que le schéma de type leap-frog récursif étant basé sur l’utilisation récursive du ”leap-frog”(cf remarque 15), il sera 33% plus rapide que la méthode de type Verlet récursif ; on se rappelle en effetque le schéma de Verlet est composé de trois étapes alors que le leap-frog n’en comporte que deux.Ici encore, on rencontre les mêmes problèmes d’instabilité à temps long et une restriction de lacontrainte CFL sur le pas de temps est parfois nécessaire lors de simulations à temps long. Une étudeénergétique du schéma à deux classes est faite dans le paragraphe 3.4, suivie d’une méthode de correctionénergétique.Remarque 15 De même que l’expression ”Verlet récursif” précédemment utilisée, l’expression ”leapfrogrécursif” est abusive, pour des raisons similaires : il ne s’agit pas réellement d’un leap-frog puisquecertains champs à des temps indisponibles sont remplacés par le dernier champs connus.Remarque 16 Un sujet de confusion potentiel mérite d’être souligné : si l’on compte le nombre d’étapesdu schéma de Verlet à 3 classes (par exemple) et qu’on le compare au nombre d’étapes du leap-frogrécursif à 3 classes, on trouve 21 étapes pour le Verlet et 26 pour le leap-frog, et on peut ainsi être tentéde remettre en cause ce qui a été dit concernant le fait que le leap-frog récursif est plus performantque le Verlet récursif. Si le leap-frog récursif effectue 26 étapes, il faut aussi remarquer qu’après ces 26itérations, il sera allé plus loin en temps que le Verlet au terme de ses 21 étapes.Pour préciser cela, il faut comprendre comment fonctionnent les schémas et leurs différences (on pourras’aider des figures 12 et 13). Pour le Verlet comme pour le leap-frog, le pas de temps minimal imposépar la CFL, noté ∆t min , est affecté comme pas d’intégration de la classe des plus petites cellules, notée1. Au terme des 21 itérations, le Verlet récursif à trois classes aura intégré toutes les cellules d’un pasglobal ∆t = 4∆t min , alors que le leap-frog les aura intégrées de ∆t = 9∆t min . Ceci est dû à lastructure même des schémas de base utilisés, le leap-frog imposant, du fait de l’alternance temporelledes champs, d’effectuer trois leap-frog sur une classe pour un leap-frog sur la classe supérieure, alorsque la coïncidence des champs du Verlet permet de faire deux verlet sur une classe pour un verlet sur laclasse supérieure.29

HECellules 3 Cellules 2Cellules 1nnE 2E n 133 H24 En+1/65n+1/23n+1E 31146EE2n+2/621110H n+1/2121321615 17n+4/6181923HE2H n+5/62n+12789202122242526H n+1/61EHE n+2/61HEH n+1/21EHE n+4/61HEH n+5/61EHE n+11FIG. 13 – Etapes du schéma leap-frog récursif à 3 classes3.2.3 ApplicationOn présente les résultats obtenus sur le cône 2D dans les même conditions que celles du paragraphe3.1.3, en utilisant les schémas de type leap-frog et Verlet récursifs, respectivement à trois et quatreclasses 3 . Les solutions numériques obtenues avec et sans pas de temps local sont identiques et le tempsde calcul est significativement réduit : celui-ci est divisé par 1.4 avec le Verlet récursif et par 2 avec leleap-frog récursif.200100Schéma classiqueVerlet recursifLeap−frog recursif0−100−2000 1e−08 2e−08 3e−08 4e−08FIG. 14 – Champs E y obtenue sans pas de temps local et avec les schémas de type leap-frog et VerletrécursifsIl est intéressant de noter que, pour cet exemple, la méthode à deux classes avec interpolation et3 Il est normal que, pour un même maillage, le nombre de classes diffère entre les deux schémas, la définition des classes sefaisant différemment : d’une classe à l’autre, le pas de temps est multiplié par 2 pour le Verlet et par 3 pour le leap-frog.30

le leap-frog récursif sont tous deux plus performants que la méthode de Verlet à cause du nombred’opérations mises en jeu. Le schéma de type leap-frog récursif sera toujours plus performant que leVerlet récursif pour les raisons déjà évoquées. En revanche, lorsque les maillages sont très déstructuréset nécessitent un grand nombre de classes, la méthode à deux classes avec interpolation pourra devenirmoins performante que la méthode de type Verlet récursif (voir par exemple les résultats numériquesdonnés dans la section 4).3.3 Méthodes implicitesLorsqu’on considère deux classes de cellules, on sait que le pas de temps global devra être celuides plus petites cellules. L’idée [8] est alors d’utiliser un schéma implicite sur ces petites cellules : lapropriété de stabilité inconditionnelle inhérente à ce type de schéma autorise alors l’emploi du même pasde temps que sur les grosses cellules. On partitionne donc le domaine en cellules explicites (indicées pare) et implicites (indicées par i), et on réordonne les vecteurs et les matrices selon cette partition :E =K =(EeE i), H =(He( )Ke 0, A =0 K iH i), M ε =( Mεe 00 Miε ( )Aee A ei, B =A ie A ii), M µ =( Mµe 0( )Be 0.0 B i0 M µ iEn posant de plus S e = K e − A ee − B e et S i = K i − A ii − B i , le système (13) devient :),(e)(i){ Mεe ∂ t E e = S e H e − A ei H i ,{M e µ ∂ t H e = −Se T E e + A ei E i ,Mεi ∂ t E i = S i H i − A ie H e ,M µ i ∂ tH i = −Si T E i + A ie E e .(18)Une méthode proposée consiste alors à utiliser un schéma implicite du point milieu sur les cellules (i) :⎧⎨ M ε E n+1i −Ein Hi ∆t= S n+1i +Hin i 2− A ie H n+ 1 2e ,⎩M µ H n+1i −Hini ∆t= −SiT E n+1i +Ein2+ A ie E n+ 1 2e ,qui nécessite les valeurs H n+ 1 2e et E n+ 1 2e .On peut utiliser deux schémas d’Euler explicites de pas ∆t2 surles cellules (e) pour obtenir ces valeurs. On a finalement le schéma numérique suivant :⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩M e µ 1 Hn+ 2e −Hen∆t/2= −Se T Ee n + A ei Ei n,M ε eM ε iM µ iE n+ 1 2e −Een∆t/2= S e H n+ 1 2e − A ei Hi n,−Ein H∆t= S n+1i +Hin i 2− A ie H n+ 1 2E n+1iH n+1i −Hin∆tMe ε En+1 e −E n+ 1 2e= −S T iE n+1i +Eine ,e ,2+ A ie E n+ 1 2∆t/2= S e H n+ 1 2e − A ei H n+1M e µ Hn+1 e −H n+ 1 2ei,∆t/2= −Se T Ee n+1 + A ei E n+1Remarque 17 On peut constater que si les deux domaines sont disjoints (pas de flux entre eux, i.e :A ie = 0), ce schéma revient à faire un schéma de Verlet sur les grosses cellules et un schéma implicitedu point milieu sur les petites.i.(19)31

Remarque 18 Soit l’EDO :ẋ(t) = f(x, t).Le schéma implicite du point milieu, basée sur la méthode d’intégration qui porte le même nom, estdonné par :x n+1 = x n + ∆t f(x n+1 , t2 n+1 )2avec x n+12= xn+x N+12.Remarque 19 Les deux schémas utilisés ne sont pas tout à fait des schémas d’Euler : les temps utiliséssont les derniers temps disponibles, ceci afin d’éviter tout stockage supplémentaire.On a alors la propriété de stabilité du schéma suivante :Proposition 20 Le schéma (19) conserve la forme quadratique suivante :⎧⎪⎨ EE n = Ee n + Ein + Ec n e n = (Me ε Ee n |Ee n ) + (M e µ H n+ 1 2 ∣e, avecEi n = (Mi εEn i |En i ) + (M µ i Hn i |Hn i )=⎪⎩E n c = − ∆t24(Mε−1e A ei H n i |A eiH n i ).1 ∣ Hn− 2e )Démonstration. On calcule tout d’abord Ee n+1 . On a :)(Mεe Een+1 ∣∣Een+1 )=(M e ε Een+1∆t∣ 2 M e ε−1 (S e H n+ 1 2e − A ei Hi n+1 ) + E n+ 1 2e(M ε e E n+1e(= ∆t S e H n+ 1 2(= ∆t S e H n+ 1 2∆t∣ 2 M e ε−1 (S e H n+ 1 2e − A ei Hin+1 ) + ∆t)2 M e ε−1 (S e H n+ 1 2e − A ei Hi n ) + EenHi n + H n+1)ie − A ei 2 ∣ En+1 e + ( Me ε Een+1 , Een )Hi n + H n+1)(ie − A ei 2 ∣ En+1 e + (Me ε Ee n , Ee n ) + ∆t S e H n+ 1 H2i n + H n+1ie − A ei∣2Hi n + H n+1)ie − A ei 2 ∣ En e + Een+1 .(= (Me ε Ee n | Ee n ) + ∆t S e H n+ 1 2∣ En e)Des calculs similaires donnent :()M e µ H n+ 3 2 ∣e e =∣ Hn+ 1 2(M e µ H n+ 1 2 ∣e e(+∆t A ie H n+ 1 2e∣ Hn− 1 2))∣ En i + Ein+1(− ∆tS e H n+ 1 2e)∣ En e + Een+1 .On a donc :E n+1e(= Ee n + ∆t A ie H n+ 1 2e∣ En i + Ein+1)− ∆t(A eiH n i + H n+1i2De même, pour le calcul de l’énergie implicite :(Mεi Ein+1)∣ En+1i =(M i ε Ein+1Hε−1 i n + Hin+1∣∆t Mi (S i2= (Mi ε Ei n |Ei n Hi ) + ∆t(S n + Hin+1i232)∣ En e + Een+1 .− A ie H n+ 1 2e ) + Ein∣− A ie H n+ 1 2e))∣ En i + Ein+1 ,

et :(Mµi Hn+1 i)∣ Hn+1i = (Mµi Hn i | Hi n )(+∆t A ie E n+ 1 2e)∣ Hn i + Hin+1 − ∆t(S iH n i + H n+1i2∣ En i + Ein+1),d’où :()Ei n+1 = Ei n + ∆t A ie E n+ 1 2e ∣ Hn i + Hin+1(− ∆tA ie H n+ 1 2e∣ En i + Ein+1).L’évolution des deux énergies est donc donnée par :Ee n+1 + Ei n+1 = Ee n + Ei n Hi − ∆t(A n + H n+1)iei 2 ∣ En e − 2E n+ 1 2e + Een+1 .Or, en additionnant la seconde et la 5 ième équation de (19), on obtient :d’où :Ee n − 2E n+ 1 2e + Een+1 = ∆t2 M (e ε−1 A ei Hni + Hin+1 ),Ee n+1 + Ei n+1 = Ee n + Ei n + ∆t24(M ε−1= E n e + E n i − E n+1c + E n c ,e Hin+1∣ A ei H n+1i)− ∆t24()Meε−1 Hin ∣ A ei Hince qui termine la preuve.La stabilité du schéma proposé est ainsi assurée. Cette méthode combinant l’implicite et l’expliciteest donc mathématiquement très intéressante. Toutefois, l’utilisation d’un schéma implicite nécessite uneinversion de matrice qui peut s’avérer très lourde voire rédhibitoire sur un problème à trois dimensions.L’utilisation de méthodes d’inversion itératives peut éventuellement être envisagée pour un faible nombrede cellules, mais le coût que cela peut représenter, associé aux problèmes de convergence des méthodesitératives, risquent de fortement diminuer l’intérêt de l’utilisation du pas de temps local.3.4 Etude et correction énergétiques du leap-frog récursif à deux classesUne étude énergétique du leap-frog récursif à deux classes est faite dans cette partie. Comme onva le voir, il est difficile d’établir des résultats quant au caractère dissipatif (et donc stable) du schéma.On propose alors un moyen de forcer une énergie à rester dissipative lorsque cela est nécessaire eneffectuant une correction de certains champs. Les calculs énergétiques étant assez lourds, ils ne serontpas complètement détaillés.33

3.4.1 Expression des énergiesLe schéma du type leap-frog récursif à deux classes est donné par :⎧⎪⎨M µ 2M µ 1M ε 1M µ 1M ε 2H n+ 1 22 −H n− 1 22∆t= −S T 2 En 2 + A 21E n 1 ,H n+ 1 61 −H n− 1 61∆t/3= −S T 1 En 1 + A 12E n 2 ,E n+ 2 61 −E n 1∆t/3= S 1 H n+ 1 61 − A 12 H n+ 1 22 ,H n+ 1 21 −H n+ 1 61∆t/3= −S1 T 2 En+ 61 + A 12 E2 n,E n+12 −E n 2∆t= S 2 H n+ 1 22 − A 21 H n+ 1 21 ,M1ε E n+ 4 61 −E n+ 2 61∆t/3= S 1 H n+ 1 21 − A 12 H n+ 1 22 ,⎪⎩M µ 1M ε 1H n+ 5 61 −H n− 1 21∆t/3= −S1 T 4 En+ 61 + A 12 E n+1E n+11 −E n+ 4 61∆t/3= S 1 H n+ 5 61 − A 12 H n+ 1 22 .2 ,dont on rappelle les étapes schématiquement sur la figure 15 :EE 2Cellules 2 Cellules 1nn2H n+1/22n+121346578EHEHE1n+1/61n+2/61n+1/21n+4/61H n+5/61En+11FIG. 15 – Etapes du schéma leap-frog récursif à 2 classesComme évoqué précédemment, il n’est pas possible de déduire facilement les propriétés de stabilitédes schémas récursifs. On va pour y parvenir expliciter les énergies mises en jeu au cours desdifférentes étapes et exhiber les termes énergétiques parasites qui apparaissent du fait de l’utilisationd’un pas de temps local. L’énergie E que l’on considère est celle utilisée pour le schéma de leap-frog (cfparagraphe 2.2.4), que l’on exprime comme étant la somme des énergies successives des petites celluleset de l’énergie des grosse cellules, respectivement notées E 1 et E 2 .34

On s’intéresse tout d’abord à la classe de petites cellules. On a :() ()E n+ 2 61 = M1 ε E n+ 2 62 1 ∣ En+ 61 + M µ 1 1 Hn+ 21 1 ∣ Hn+ 61()= M1 ε E1n 2 ∣ En+ 61 − 2∆t () (S 12 H n+ 1 22 26∣ En+ 61 + M µ 1 1 Hn+ 6 ∣1 1= (M1 ε E1 n |E1 n ) − 2∆t ()S 12 H n+ 1 22 26∣ En+ 61 − 2∆t ()S 12 H n+ 1 22 |E1n 6()+ M µ 1 1 Hn+ 61 1 ∣ Hn− 61 + 2∆t ()S 12 E2n 16 ∣ Hn+ 61 + 2∆t (S 12 E2n ∣6= E1 n − 2∆t ()S 12 H n+ 1 226∣ En 1 + E n+ 2 61 + 2∆t ()S 21 H n+ 1 616∣ 2En 2 .Des calculs similaires donnent :(E n+ 4 61 = M1E ε n+ 4 6 ∣1 1= E n+ 2 61 − 2∆t6∣ En+ 4 6() (+S 12 H n+ 1 22M µ 1 Hn+ 5 21∣∣ En+ 2 6∣1 ∣ Hn+ 211 + E n+ 4 61))+ 2∆t (6∣ Hn+ 1 6S 21 H n+ 1 21)+ 2∆t (S 12 E2n 61∣ Hn+ 61)∣ En 2 + E2n+1).∣(21)1 ∣ Hn+ 61)(20)et enfin :1 = ( (M1 ε E1n+1∣ E1n+1 )+= E n+ 4 61 − 2∆t (S 12 H n+ 1 226E n+1M µ 1 Hn+ 7 61∣∣ En+1∣5 ∣ Hn+ 611 + E n+ 4 61))+ 2∆t (6S 21 H n+ 5 61∣∣ 2En+1 2Sur les cellules de la classe 2, on peut écrire :E2 n+1 = ( ()M2E ε 2n+1∣ E2n+1 )+ M µ 1 2 Hn+ 21 2 ∣ Hn− 22() ()= E2 n − ∆t S 21 H n+ 1 21 ∣ En 2 + E2n+1 + ∆t S 12 H n+ 1 22 ∣ En 1 + E1n+1 .).(22)(23)En utilisant (20), (21), (22) et (23), on a donc l’expression de l’énergie totale :E n+1 = E1 n+1 + E2n+1= E1 n + E2 n − 2∆t6(− 2∆t6− 2∆t (6(−∆tS 12 H n+ 1 22S 12 H n+ 1 22S 21 H n+ 1 21()S 12 H n+ 1 22 ∣ En+1 1 + E n+ 4 61 + 2∆t (S 21 H n+ 5 6 ∣1 26)2 ∣ En+ 61 + E n+ 4 61 + 2∆t ()S 21 H n+ 1 216∣ En 2 + E2n+1)∣ En 1 + E n+ 2 61 + 2∆t ()S 21 H n+ 1 616∣ 2En 2) ()∣ En 2 + E2n+1 + ∆t S 12 H n+ 1 22 ∣ En 1 + E1n+1∣ 2En+1)qui devient, après simplifications :E n+1 = E n + 2∆t (3(S 12 E2n+ 2∆t3S 12 H n+ 1 22∣∣)∣ En 1 − E n+ 2 61 − E n+ 4 61 + E1n+1)1 − H n+ 1 21 + 2∆t (S 12 E2n+153∣ Hn+ 61 − H n+ 1 21∣ Hn+ 1 6).(24)35

On voit clairement sur l’expression (24) les termes de flux parasites qui ne s’annulent pas entre cellulesde classe différente. Dans le cas d’une méthode sans pas de temps local, ces termes n’apparaissentpas et l’énergie est conservée. Si ces termes de flux étaient dissipatifs, sous d’éventuelles majorations dupas de temps, le schéma serait stable, car on aurait alors une énergie dissipative. Il n’a pas été pour lemoment possible d’établir une telle propriété. Ces flux sont donc susceptibles de faire accroître l’énergieet de faire exploser le schéma numérique à long terme. Une idée envisageable serait alors d’introduiredes facteurs correctifs dans le schéma afin d’annuler ces termes 4 .3.4.2 Correction énergétiquePour forcer le schéma à être dissipatif, on peut envisager l’introduction de facteurs correctifs sur leschamps. Cependant, on ne peut les introduire de n’importe quelle manière. Pour des raisons évidentesd’efficacité de la méthode, on ne peut se permettre de corriger tous les champs intermédiaires des petitescellules ; on cherche donc plutôt à corriger uniquement les champs sur les grosses cellules, soit unecorrection pour E2 n+1 et une pour H n+ 1 22 . Mais une autre raison, plus subtile, a guidé notre choix. Eneffet, il ne sera raisonnablement possible de corriger les champs qu’après avoir effectué toutes les étapesdu schéma, car sinon les calculs énergétiques effectuée dans le précédent paragraphe, sur lesquels serontbasés les calculs des corrections, ne seraient plus valables puisque les champs sont modifiés par cettemême correction ; on aurait alors à déterminer des facteurs par un problème implicite.Le meilleur moyen semble donc d’effectuer les huit étapes du schéma normalement (ainsi les résultatsétablis dans le paragraphe précédent sont utilisables) et, une fois que tous les champs sont calculés,d’apporter une correction sur les champs calculés sur les grosses cellules de manière à annuler les termesde flux dans (24). Au final, les champs sur les grosses cellules auront été calculés par les expressionssuivantes 5 :⎧⎨M µ H n+ 1 22 −H n− 1 222 ∆t= −S2 T En 2 + A 21E1 n + α,(25)⎩M2ε E n+12 −E2n∆t= S 2 H n+ 1 22 − A 21 H n+ 1 21 + β,avec α, β vecteurs de correction de taille le nombre d’inconnues des cellules de la classe 2. On refaitalors le calcul de l’énergie des grosses cellules de la même manière que (23), et on obtient :(2 = E2 n − ∆t S 21 H n+ 1 21( ∣ )E n+1+2∆tα ∣1 ∣ Hn+ 22)∣ En 2 + E2n+1(+ ∆t+ ∆t ( β ∣ ∣E 2 n + E2n+1 ).S 12 H n+ 1 22)∣ En 1 + E1n+1L’énergie totale du schéma (24) devient alors, tous calculs faits :E n+1 = E n + 2∆t ()H n+ 1 223 ∣ S 21(E1 n − E n+ 2 61 − E n+ 4 61 + E1 n+1 ) + α+ 2∆t (E2n 3 ∣ S 21(H n+ 1 61 − H n+ 1 21 ) + 3 )2 β + 2∆t (E2n+13 ∣ S 21(H n+ 5 61 − H n+ 1 21 ) + 3 )2 β .On peut constater que le paramètre α peut servir à annuler toute la première partie des flux parasites ;il suffit pour cela que :α = − 1 3 S 21(E n 1 − E n+ 2 61 − E n+ 4 61 + E n+11 ). (26)4 Bien sûr, rien ne dit que ce schéma n’est pas lui aussi, de la même manière que le Verlet récursif à deux classes, stable souscondition sur le pas de temps. Il n’a pas été possible d’aboutir à une telle conclusion pour le moment.5 En gardant à l’esprit qu’en pratique, la phase de correction se fera à la fin.36

En revanche, le même raisonnement ne peut s’appliquer sur β, celui-ci étant présent dans les deuxautres flux et ne pouvant les annuler en même temps ; on ne peut donc pas lui attribuer une valeurdépendant des champs de manière évidente comme ce fut le cas pour α. On peut cependant le cherchertel que la somme des flux restant soit nulle, c’est-à-dire tel que :2∆t3(E n 2∣ S 21(H n+ 1 61 − H n+ 1 21 ) + 3 )2 β+ 2∆t3(E n+12∣ S 21(H n+ 5 61 − H n+ 1 21 ) + 3 )2 β = 0,soit encore, en regroupant les termes en β et en posant a = E2 n + En+1 2 et b = (E2 n| S 21(H n+ 1 6H n+ 1 21 )) + (E2n+1∣ S21 (H n+ 5 61 − H n+ 1 21 )), chercher β tel que :( ∣ 3 ∣∣∣a)2 β + b = 0.1 −Le problème de la détermination de β est donc largement surdéterminé. On peut donc chercher la correctionβ qui minimise l’écart entre les champs E2 n+1 avant et après correction, afin de conserver unesolution numérique la plus fidèle possible. En pratique, on corrigera le champ E2 n+1 en ajoutant M2 ε−1 β(d’après la définition de β dans (25)). On définit ainsi le problème d’optimisation :Trouver β solution du problème :⎧ ∥ ⎨ ∥∥Mminε −12 β∥ 2β⎩s.c : ( 32 β∣ ∣ a ) + b 0Remarque 21 Plutôt que considérer la contrainte ( 32 β∣ ) (∣ a + b = 0, on choisit 32 β∣ )∣ a + b 0 quitraduit le fait que la correction doit annuler les flux restants ou les rendre dissipatifs, ce qui est suffisant∥pour stabiliser le schéma. La fonction coût ∥M2 ε−1 β∥ 2 traduit quant à elle l’écart entre les champsavant et après correction. Ce problème admet une unique solution, la contrainte étant linéaire et lecritère quadratique.On définit le Lagrangien du problème :(L(β, µ) = M ε−1∣ M ε−12 β2 β) (( ∣ ) )3 ∣∣∣+ µ2 β a + b ,µ ∈ R étant le paramètre KKT associé à la contrainte. Les conditions d’optimalité du 1 er ordre donnentle système d’équations :⎧⎪⎨⎪⎩∂ β L = 0( 32 β∣ ∣ a)+ b 0µ (( 32 β∣ ∣ a ) + b ) = 0⎧⎪⎨⇐⇒⎪⎩2M ε−22 β + µa = 0 (1)( 32 β∣ ∣ a)+ b 0 (2)µ (( 32 β∣ ∣ a ) + b ) = 0 (3)– Si b 0 (i.e : les flux sont dissipatifs) : alors la contrainte est relaxée pour la solution globaleβ = 0 ; pas de correction. C’est un résultat logique puisque si les flux sont dissipatifs il n’y a pasde correction à faire.– Si b > 0 : Alors la contrainte est saturée, car si µ = 0, alors β = 0 par (1) et la contrainte (2) n’estplus vérifiée. On a donc µ ≠ 0 (et donc ( 32 β∣ )∣ a + b = 0). En multipliant à gauche (1) par Mε 22 eten multipliant scalairement par a, on obtient :( ∣ )2 (β| a) + 3 ∣∣2 µ M2 ε2aa = 0( ∣ )⇐⇒ − 4 3 b + 3 ∣∣2 µ M2 ε2aa = 08⇒ µ =9( M2 εa|M 2 εa)b⇒ β = − 2 b3 ( M2 εa|M 2 εa)Mε22 a.37(27)

On a donc l’expression du correcteur M ε−12 β optimal :2 β = − 2 b3 (M2 εa| M 2 εa)Mε 2 a.M ε−1On peut finalement écrire le schéma à deux classes avec correction énergétique :⎧M µ 2M µ 1M ε 1H n+ 1 22 −H n− 1 22∆t= −S T 2 En 2 + A 21E n 1 ,H n+ 1 61 −H n− 1 61∆t/3= −S T 1 En 1 + A 12E n 2 ,E n+ 2 61 −E n 1∆t/3= S 1 H n+ 1 61 − A 12 H n+ 1 22 ,⎪⎨M µ 1M ε 2M ε 1H n+ 1 21 −H n+ 1 61∆t/3= −S1 T 2 En+ 61 + A 12 E2 n,E n+12 −E n 2∆t= S 2 H n+ 1 22 − A 21 H n+ 1 21 ,E n+ 4 61 −E n+ 2 61∆t/3= S 1 H n+ 1 21 − A 12 H n+ 1 22 ,avec :⎪⎩M µ 1H n+ 5 61 −H n− 1 21M1ε E n+11 −E n+ 4 61(a = E2 n + E2 n+1 , b = E2n∆t/3= −S1 T 4 En+ 61 + A 12 E n+1∆t/3= S 1 H n+ 5 61 − A 12 H n+ 1 2H n+ 1 22 = H n+ 1 22 + M µ−12 α,E2 n+1 = E2 n+1 + M2 ε−1 β.∣ S 21(H n+ 1 61 − H n+ 1 2)1 )(+2 ,2 ,E n+12M µ−12 α = − 1 3 M µ−12 S 21 (E1 n − E n+ 2 61 − E n+ 4 61 + E1 n+1 ) et M2 ε−1 β = − 2 3∣ S 21(H n+ 5 61 − H n+ 1 2)1 )(28)b(M2 εa |M 2 ε 2a.a)MεCe schéma n’a pas encore été implémenté. Techniquement, la correction devra être faite lorsque lesflux parasites seront positifs (non dissipatifs) ou supérieurs à un nombre positif. Bien sûr, ces correctionsont un coût : l’évaluation des corrections M µ−12 α et M2 ε−1 β correspondants aux expressions (28).Cependant, cela reste raisonnable et beaucoup moins couteux que la résolution de systèmes linéaires.Si les résultats sont probants, il peut être envisagé d’étendre ce procédé aux schémas récursifs : ilfaudra pour cela que la répartition des classes soit faite de manière à ce qu’il n’y ai pas de saut de classeentre cellules voisines. Autrement dit, chaque cellule ne devra avoir que des voisins appartenant à desclasses immédiatement supérieures ou inférieures. Ainsi, pour chaque cellule on pourra se ramener aucas élémentaire N = 2 et appliquer ce type de correction.38

4 Résultats numériques - ConfrontationOn présente dans cette section plusieurs résultats numériques obtenus avec les méthodes de pas detemps local à deux classes avec interpolation et récursives à N classes. On donne pour chaque simulationla définition de la géométrie et les solutions obtenues par les différents schémas. On compare ensuite dansun tableau les gains en temps CPU que l’on obtient par rapport au schéma de leap-frog sans pas de tempslocal et enfin la répartition du nombre de cellules dans les différentes classes pour chaque méthode.Les schémas développés ont initialement été testés sur un cas test de cône plat. On les a ensuite misen œuvre sur des objets de plus en plus complexes, dont les maillages sont de plus en plus déstructurésafin de mettre en évidence l’apport des stratégies multi-classses. Il est important de préciser que pourtoutes les méthodes de pas de temps local utilisées dans ces simulations, la contrainte CFL sur le pas detemps à été multipliée par un facteur 0.8 afin de permettre les simulations sur des temps suffisammentlongs.On peut noter d’une part que, conformément à une remarque précédente, le schéma de type leapfrogrécursif est toujours plus performant que le Verlet récursif, d’autre part qu’avec des maillages peudéstructurés, le schéma à deux classes avec interpolation est plus performant que le Verlet récursif. Enrevanche, plus les maillages sont déstructurés, plus le besoin d’un nombre de classes élevé se fait sentir,et l’écart entre les méthodes récursives et la méthode à deux classe avec interpolation se creuse, et l’onobtient des gains de temps plus que conséquents 6 . Pour la dernière simulation par exemple, il est importantde souligner le fait que la durée d’une simulation ”typique” sans pas de temps local est de deux joursminimum sur un ordinateur de bureau. Avec les méthodes présentées, ce temps de calcul tombe à moinsde quatre heures ; des simulations dont le temps CPU était rédhibitoire (ou du moins très contraignant)deviennent ainsi réalisables avec l’utilisation du pas de temps local.Concernant les solutions numériques obtenues, on note qu’il y a coïncidence des différentes courbespour toutes les simulations, ce qui confirme la pertinence des schémas.6 Il est important de noter que les gains de temps de calcul dépendent du maillage utilisé. Il peut être nul si le maillage estparfaitement homogène (pas de classe de cellules) comme très important si le maillage est fortement déstructuré. On peut ainsiobtenir des gains encore plus grands que 14 (plus gros gain obtenu au cours de cette étude).39

Diffraction d’une onde plane par un cône métalliqueOn s’intéresse à la diffraction d’une onde plane de fréquence 300 MHz, de direction de propagation−→ x et d’amplitude 377 en Ey , par un cône plat et l’on observe le champ E y diffracté en un point A.Comme le montre le tableau 1, le maillage est légèrement déstructuré et le nombre de classes est faible 7 ,et par conséquent la méthode à base d’interpolation est plus rapide que la méthode de type Verlet récursif.200AZ100Schema classiqueVerlet recursifLeap−frog recursifAvec interpolationXYEy (V/m)0−100−200−3000 1e−08 2e−08 3e−08temps t (s)(a) Maillage du cône(b) Champs EyFIG. 16 – Maillage et solutions obtenuesSchéma\Classe 1 2 3 4schéma avec interpolation 1900 6200 X Xleap-frog récursif (N = 3) 1900 6000 200 XVerlet récursif (N = 4) 300 3200 4000 600TAB. 1 – répartition des cellules dans les classesSchéma Schéma classique Interpolation Verlet récursif N = 4 leap-frog récursif (N = 3)Gain 1 1.5 1.4 2TAB. 2 – Gain en temps CPU par rapport au schéma classique (leap-frog)7 On rappelle que le schéma à base d’interpolation est un schéma à deux classes.40

Diffraction d’une onde plane par un avion métalliqueOn simule ici le champ diffracté par un avion parfaitement métallique agressé par une onde planede fréquence 300 MHz, de direction de propagation −→ x et d’amplitude 377 en E y . On remarque, outrele grand nombre de cellules composant le maillage, un faible pourcentage de ”petites” cellules et unplus grand nombre de classes que dans la simulation précédente. Ceci explique l’efficacité des méthodesmulti-classes en comparaison avec le schéma à deux classes avec interpolation, ainsi que le gain en tempsCPU important.YXZ50Schema classiqueVerlet recursifLeap−frog recursifAvec interpolationEy (V/m)0−50−1000 2e−08 4e−08temps (s)(a) Maillage de l’avion(b) Champs EyFIG. 17 – Maillage et solutions obtenuesSchéma\Classe 1 2 3 4 5 6 7schéma avec interpolation 1000 179000 X X X X Xleap-frog récursif (N = 4) 1000 16600 110400 42200 8900 X XVerlet récursif (N = 5) 300 2300 10800 56200 67700 34000 8700TAB. 3 – répartition des cellules dans les classesSchéma Schéma classique Interpolation Verlet récursif N = 7 leap-frog récursif N = 5Gain 1 2.5 4.5 5.5TAB. 4 – Gain en temps CPU par rapport au schéma classique (leap-frog)41

Diffraction d’une onde plane par la navette HermèsOn s’intéresse dans cette simulation à la diffraction d’une onde plane de fréquence 300 MHz, dedirection de propagation −→ x et d’amplitude 377 en E y par la navette spatiale Hermès. Ici encore, le faitque le maillage soit très hétérogène rend les méthodes récursives très efficaces.2XZY1Schema classiqueVerlet recursifLeap−frog recursifAvec interpolationEy (V/m)0−1−20 2e−08 4e−08 6e−08 8e−08 1e−07temps (s)(a) Maillage de la navette(b) Champs EyFIG. 18 – Maillage et solutions obtenuesSchéma\Classe 1 2 3 4 5 6schéma avec interpolation 200 105200 X X X Xleap-frog récursif (N = 4) 100 6600 91000 7700 X XVerlet récursif (N = 6) 70 500 4000 38100 57300 5500TAB. 5 – répartition des cellules dans les classesSchéma Schéma classique Interpolation Verlet récursif N = 4 leap-frog récursif N = 6Gain 1 3, 6 4 6TAB. 6 – Gain en temps CPU par rapport au schéma classique (leap-frog)42

Diffraction d’une onde plane par une structure de missile génériqueLe but de cette dernière simulation est d’étudier le comportement d’une structure de missile génériquelorsqu’elle est soumise à une onde plane de fréquence 4 GHz, de direction de propagation − −→ x et d’amplitude377 en E z . Le maillage présente une forte déstructuration comme en témoigne le tableau 7, avecun très faible pourcentage de cellules 1 ; cela explique le très fort gain que l’on obtient avec les méthodesmulti-classe qui sont parfaitement adaptées à ce genre de maillage.Schema classiqueVerlet recursifLeap−frog recursifAvec interpolationEz (V/m)15YZX−450 5e−09temps (s)(a) Maillage du satellite(b) Champs EzFIG. 19 – Maillage et solutions obtenuesSchéma\Classe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10schéma avec interpolation 12 91000 X X X X X X X Xleap-frog récursif (N = 6) 10 200 1400 14300 71600 3500 X X X XVerlet récursif (N = 10) 8 16 160 550 1500 5800 46000 33500 3300 200TAB. 7 – répartition des cellules dans les classesSchéma Schéma classique Interpolation Verlet récursif N = 10 leap-frog récursif N = 6Gain 1 2.7 11 15TAB. 8 – Gain en temps CPU par rapport au schéma classique (leap-frog)43

Courbes énergétiques des schémas de type Verlet et leap-frog récursif à deux classeA défaut de pouvoir quantifier les évolutions énergétiques mathématiquement, on donne une courbeexpérimentale représentant l’évolution de l’énergie E n = (M ε E n |E n ) + (M µ H n+ 1 ∣2 ∣H n− 1 2 ) obtenuedans une cavité métallique, sur un temps de simulation très long (plusieurs semaines de calcul). Onconstate que l’énergie est quasiment conservée dans les deux cas, et l’évolution énergétique au cours dutemps est faible. Avec le schéma de type Verlet récursif à deux classes 8 , l’amplitude des oscillations estplus petite et l’évolution plus lente qu’avec le leap-frog récursif. Il serait cependant dangereux de tirer unequelconque conclusion de ce résultat : toutes les simulations que l’on a pu faire avec ces deux schémasont présentées les même comportements, tant concernant les défauts de stabilité que la restriction de lacondition CFL pour éviter l’explosion sur le temps de simulation considéré.FIG. 20 – Energies des leap-frog et Verlet récursifs à deux classe8 dont il a été montré qu’il est stable sous condition sur le pas de temps44

5 Conclusion et perspectivesLorsqu’on manipule des maillages de structures complexes, le nombre de cellules et la grande disparitéentre les pas de temps propres à celles-ci peuvent rapidement conduire à des temps de simulationsrédhibitoires. La nécessité des méthodes à pas de temps local se fait alors ressentir.Les solutions numériques obtenues avec les méthodes de pas de temps local étudiées dans ce mémoiresont semblables à celles que l’on obtient sans pas de temps local, avec un gain en temps de calcul pouvantêtre très important : on a vu un cas où la méthode avec pas de temps local peut être plus de quinze foisplus rapide qu’un leap-frog classique. Cependant, l’étude énergétique induite par ces stratégies est unproblème difficile qui fait de la stabilité à long terme de ces schémas une question ouverte qu’il estimportant d’étudier. La recherche de schémas symplectique pour les systèmes Hamiltoniens peut êtrede ce point de vue une voie intéressante mais qui reste une tâche assez difficile, nécessitant souvent undéveloppement approfondi spécifique aux équations considérées.Plusieurs points pourraient (et devraient) faire l’objet de travaux ultérieurs. Parmi les plus immédiats,on peut citer :– Poursuivre l’étude énergétique des schémas récursifs de type Verlet et Leap-frog, afin de pouvoiraffirmer (ou infirmer) si ceux-ci sont dissipatif, sous d’éventuelles majoration du pas de temps.Ces schémas originaux sont en effet très intéressants tant par leur simplicité que par la qualitédes résultats obtenus et sont actuellement les stratégies les plus performantes que l’on a mises enœuvre, malgré la nécessité de durcir la contrainte CFL pour éviter l’instabilité.– Approfondir et mettre en œuvre le concept de correction énergétique développée dans le paragraphe3.4, qui pourrait s’avérer bénéfique tout en ne nécessitant que des modifications mineuresdu schéma à pas de temps local de type leap-frog récursif. Si cela aboutit dans le cas N = 2, laméthode pourra s’étendre sans trop de difficultés au cas général et donner des schémas stables. Laconsistance de tels schémas sera également à étudier.– Une autre voie, nécessitant des modifications plus importantes, serait de décentrer les flux auxinterfaces. En effet, on a considéré dans ce mémoire une méthode de Galerkin basée sur uneapproximation centrée des flux. En décentrant les flux, on pourrait utiliser des méthodes de typeRunge-Kutta. Ces méthodes utilisent comme on le sait des temps intermédiaires qui pourraient pallierles problèmes de champs indisponibles dont souffrent les méthodes explicites utilisées jusquelà (et que l’on remplaçait alors par des interpolations ou par les derniers champs disponibles). Deplus, des méthodes de Runge-Kutta symplectiques sont développées pour les schémas avec fluxdécentrés [20], [19] et peuvent servir de point de départ.Signalons enfin que, concernant le pas de temps local, notamment pour les schémas symplectiquesdédiés aux systèmes Hamiltoniens, certains domaines font l’objet d’un développement très actif : problèmesà N-corps, dynamique moléculaire, etc. S’inspirer de ces travaux ou chercher à les adapter constitueraune étape importante pour le développement d’autres méthodes de pas de temps local.45

Annexe AASchémas symplectiques pour les systèmes différentiels HamiltoniensOn présente dans cette annexe les définitions et propriétés des systèmes Hamiltoniens ainsi quequelques notions sur les schémas symplectiques développés pour ces systèmes. Pour étudier le schéma deS. Piperno, annoncé comme symplectique, il a fallu justifier l’assimilation des équations semi-discrétiséesà un système Hamiltonien et comprendre ce que sont ces schémas. Ces concepts sont brièvement résumésdans cette première annexe.A.1 Systèmes différentiels HamiltoniensDe nombreux systèmes physiques peuvent être mis sous la forme d’un système différentiel Hamiltonien.Parmi les plus classiques, on peut citer l’oscillateur harmonique simple ou encore le problèmed’une particule (non relativiste) soumise à un champ de force dérivant d’un potentiel (typiquement : lamécanique céleste). Un système est dit Hamiltonien lorsque sa dynamique est décrite par des équationsdifférentielles de la forme :⎧⎨⎩˙q = ∇ p H(p, q),ṗ = − ∇ q H(p, q),(p(0), q(0)) = (p 0 , q 0 ),où (p(t), q(t)) ∈ R d × R d sont les inconnues du problème et H(p, q) l’Hamiltonien du système, unefonctionnelle à valeurs réelles supposée régulière. Les systèmes Hamiltoniens possèdent structurellementdes propriétés remarquables. Par exemple, l’Hamiltonien du système est conservé au cours du temps :H(p, q) = H(p 0 , q 0 ), ∀ t 0;en effet, il est évident que d dtH(p, q) = 0. Mais une des propriété essentielle est la conservation de la2-forme différentielle canonique sur R d × R d , dite forme symplectique ω :(29)ω = dp ∧ dq =d∑dp i ∧ dq i ,i=1avec {dp i , dq i } i=1:dla base duale de la base canonique sur R d × R d , cette conservation se traduisant pardωdt = 0.Remarque 22 Plus précisément, on a :ω :R d × R d −→ Λ 2 (R d × R d )∑(p, q) ↦−→ d (dp i ∧ dq i ) (p, q)i=1avec Λ 2 l’espace des formes bilinéaires alternées sur R d ×R d et ∧ désigne aussi bien le produit extérieurclassique de formes différentielles que le produit exterieur des formes k-linéaires alternées (par abus denotation). Donc ∀ (p, q) ∈ R d × R d , (dp i ∧ dq i ) (p, q) ∈ Λ 2 (R d × R d ) est une forme bilinéaire alternée,définie par :(R d × R d) 2 −→ R(dp i ∧ dq i ) (p, q) :((p ′ , q ′ ), (p ′′ , q ′′ )) ↦−→ p ′ i q′′ i − p′′ i q′ i.46

Un autre moyen de traduire la conservation de la forme ω est de passer par le flot Hamiltonien desystème. On définit pour cela le flot Hamiltonien du système (29) comme étant l’application :Ψ :R + × R d × R d −→ R d × R d(t, p 0 , q 0 ) ↦−→ (p(t), q(t))avec Ψ(t, ·) qui peut encore être vue comme une fonctions à t fixé Ψ t définie par :∀ t 0, Ψ t :[R d ×]R d −→[R d × R dp0 Ψp↦−→t (p 0, q 0 )q 0 Ψ q t (p 0, q 0 )]=[ p(t)q(t)c’est-à-dire l’application qui passe de l’état initial (p 0 , q 0 ) à l’état (p(t), q(t)).Dire que la forme symplectique ω est conservée revient à vérifier l’invariance de cette forme par Ψ t :Ψ ∗ t ω(p, q) = ω, (30)où Ψ ∗ t ω désigne la forme différentielle transposée de α par l’application Ψ t . On peut alors montrer quecela revient à vérifier la relation :[ ∂Ψpt∂p∂Ψ tq∂p∂Ψ p t∂q∂Ψ q t∂q] TJ[ ∂Ψpt∂p∂Ψ tq∂p∂Ψ p t∂q∂Ψ q t∂q]= J, avec J =][ ]0d I d, (31)−I d 0 dformulation dans laquelle on reconnaît la différentielle de l’application Ψ t . De manière générale, unefonction f sera une transformation symplectique si :f ′T J f ′ = J. (32)Un[ cas]particulier (qui nous servira en discret) est le cas où f est une fonction linéaire de la formepA (et donc de dérivée A), auquel cas la condition (32) devient une condition sur la matrice A quiqdevra vérifier A T JA = J. Une telle matrice est elle aussi qualifiée de symplectique.A.2 Schémas symplectiques à un pas pour les systèmes HamiltoniensL’idée de base des schémas symplectiques est qu’ils doivent eux aussi conserver cette forme symplectiqueà chaque pas de temps, conférant ainsi aux méthodes symplectiques un bon comportement mêmesur des temps longs [14], du fait d’une propriété de conservation d’énergie assurée lorsqu’un schéma estsymplectique : ce sont donc des schémas très intéressants.La construction de tels schémas peut-être différentes suivant les manières d’aborder la théorie desstructures symplectiques. Un moyen consiste à imposer au flot Hamiltonien discret de vérifier lui aussila condition de symplecticité (31). Ainsi, si l’on considère un schéma numérique linéaire pour (29) de laforme : [ ] [ ]pn+1pnq n+1 = Ψ ∆tq n ,le flot Hamiltonien discret n’est autre que l’application linéaire Ψ ∆t (car passant de l’état discret à l’instantn à l’état à l’instant n+1). Imposer à cette application d’être symplectique revient, comme cela a étédit précédemment, à vérifier que la matrice Ψ ∆t est symplectique. Un schéma numérique de cette formesera donc qualifié de symplectique si et seulement si la matrice de transition Ψ ∆t est symplectique.Remarque 23 Il est important de noter que la composition de deux transformations symplectiques estsymplectique. Cela se voit facilement en utilisant la relation (32). Soient A et B deux matrices symplectiques,alors :(AB) T J(AB) = B T A T JAB = B T JB = J,donc (AB) est symplectique.47

A.3 Maxwell semi-discrétisé par Galerkin Discontinu sous forme d’un système HamiltonienAfin de justifier la recherche de schémas symplectique dans le cadre des équations de Maxwell semidiscrétiséespar Galerkin Discontinu, il est important de chercher à mettre les équations (13) sous laforme d’un système Hamiltonien.Le cas générique auquel on s’intéresse est un système différentiel linéaire couplé de forme :{ ddtẼ = A ˜H,d ˜H dt= −BẼ, (33)avec A et B des matrices symétriques. Ce système est bien un système Hamiltonien, l’Hamiltonienassocié étant alors donné par :H( ˜H, Ẽ) = 1 (A2˜H∣ ˜H)+ 1 (∣BẼ ∣Ẽ2Alors, d’après ce qui précède, le flot Hamiltonien vérifie (31), à savoir :).˜Ψ T t J ˜Ψ t = J. (34)où ˜Ψ t désigne la matrice dérivée du flot Hamiltonien de (33) qui est linéaire dans cas (donc de dérivéeune matrice notée ˜Ψ t ).Le problème est de passer de la formulation obtenue par semi-discrétisation par Galerkin discontinuà la formulation (33) via des changements de variables, utiliser la relation (34) et l’exprimer en fonctiondes variables d’origine pour obtenir une condition de symplecticité du flot manipulé.Système avec matrices de masse identiquesOn considère un système semi-discrétisé de la forme :{Mddt E = SH,M d dt H = −SE, (35)avec M symétrique définie positive et S symétrique. Alors, ce système peut se mettre sous forme d’unsystème Hamiltonien. En effet, en posant le changement de variables :Ẽ = M 1 12 E, ˜H = M 2 H et en notantB = M − 1 2 SM − 1 2 ,on obtient le système :{ ddtẼ = B ˜H,ddt ˜H = −BẼ,dont on vient de dire qu’il est Hamiltonien. On a donc :˜Ψ T t J ˜Ψ t = J. (36)Or, on sait que :Ψ t[p0q 0]===[ ] [p(t) M − 1 2 0=q(t) 0 M − 1 2[]M − 1 [ ]2 0 ˜p0 ˜Ψ0 M − 1 t2 ˜q 0[] [M − 1 2 0 ˜Ψ0 M − 1 t2] [ ˜p(t)˜q(t)M 1 2 00 M 1 2]] [p0q 0],48

et doncΨ t =[M − 1 2 00 M − 1 2]˜Ψ t[M 1 2 00 M 1 2].De ce fait, la relation (36) s’écrit :[] [Ψ T M − 1 2 0t0 M − J 12M 1 2 00 M 1 2]Ψ t =[M − 1 2 00 M − 1 2]J[M 1 2 00 M 1 2].Or, de simples calculs donnent :[M − 1 2 00 M − 1 2]J[M 1 2 00 M 1 2]= J,donc finalement, la condition de symplecticité (31) reste inchangée pour le flot Ψ t :Ψ T t J Ψ t = J.Le système (35) peut être obtenu en discrétisant les équations de Maxwell dans le vide par GalerkinDiscontinu, ou encore en manipulant les équations de Maxwell adimensionnées.Système avec matrices de masse différentesCe cas est exactement la formulation semi-discrétisée des équations de Maxwell que l’on a obtenuepar la méthode Galerkin discontinu. Le système s’écrit :{Mε Ė = SH,(37)M µ Ḣ = −SE.Dans ce cas, des changements de variables identiques à ceux effectués précédemment, par exempleẼ = M 1 2 ε E et ˜H = M 1 2 µ H, et B = M − 1 2ε SM − 1 2µ , aboutissent à :{ ddtẼ = B ˜H,ddt ˜H = −B T Ẽ,qui ne permet pas de conclure, ce système n’étant pas Hamiltonien (car B n’est a priori pas symétrique) àmoins d’hypothèses supplémentaires. On peut toutefois remarquer que si Mε−1 S et Mµ −1 S sont symétriques(une condition nécessaire et suffisante pour cela étant que S commute avec Mε−1 et Mµ −1 ), alors lesystème (37) est directement sous la forme d’un système Hamiltonien.Un moyen d’y parvenir formellement est le suivant. On réécrit le système sous la forme :{Ė = M−1ε SH,Ḣ = −Mµ −1 SE.(38)Soit alors √ S la racine carrée symétrique de S (existe toujours si S est symétrique positive). Ensupposant que S est inversible 9 , on obtient, par multiplication de (38) par √ S :{ √S Ė = √ √ √√SMε−1 S SHS Ḣ = − √ √ √SM −1 S SE.9 Dans le cas contraire, on peut par exemple décomposer en parties inversible et non inversible et procéder aux adaptationstechniques ad hoc.µ49

On pose alors Ẽ := √ SE et ˜H := √ SH, et on obtient :{ ddtẼ = A ˜H,d˜H dt= −BẼ,avec A := √ √ √ √SMε−1 S et B := SM−1µ S symétriques. Ce système est bien de la forme générique(33) donc Hamiltonien. De la même manière que dans le cas A.3, on obtient :Ψ t =[S − 1 2 00 S − 1 2] [ √ ] S 0˜Ψ t√ ,0 Set on peut ainsi affirmer que le flot Ψ t vérifie lui aussi la condition :Ψ T t J Ψ t = J.A.4 Une méthode symplectique : schéma de VerletLe schéma de Verlet, initialement proposé pour la dynamique moléculaire [18] puis abondammentadapté par la suite, est une réorganisation du Leap-frog en trois étapes, d’ordre deux, réversibles entemps et permettant d’avoir coïncidence temporelle des champs E et H. Ce schéma peut-être vu commeun schéma de type prédicteur-correcteur. Appliqué au système (13), il s’écrit :⎧⎪⎨⎪⎩H n+ 1 2 = H n − ∆t2 M µ −1 SE n ,E n+1 = E n + ∆t Mε −1 SH n+ 1 2 ,H n+1 = H n+ 1 2 − ∆t2 M −1µ SE n+1 .On peut remarquer qu’en substituant la troisième équation de (39) prise au temps n dans les deuxpremières, on retrouve le schéma de type leap-frog. Si l’on étudie les transformations de chacune desétapes, on remarque que (39) peut s’écrire comme composition des trois étapes :⎧⎪⎨⎪⎩[Hn+ 1 2]E[ n ]Hn+ 1 2E[ n+1 Hn+1E n+1 ]==[ I −∆t[2 M µ −1 S0 II 0∆t Mε −1 S I= T H[Hn+ 1 2E n+1 ]] [ ] HnE] [ n ]Hn+ 1 2E nLe flot de ce schéma est alors donné par :[ Hn+1E n+1 ]= Ψ ∆t[ HnE n ]= T H[ HnE n ]= T E[Hn+ 1 2E n ]avec Ψ ∆t = T H T E T H . Des calculs simples montrent que T E et T H sont des transformation symplectiques,les matrices T H et T E vérifiant la relation (31). On en déduit donc que Ψ ∆t est symplectique, cequi fait du schéma de Verlet un schéma numérique symplectique et donc, entre autres, stable.Remarque 24 Il est important de noter qu’à ce stade il n’est pas question de pas de temps local. Leschéma de Verlet est, au même titre que le leap-frog, la méthode d’Euler etc., un schéma d’intégrationnumérique classique.(39)50

Annexe BBNotationsA T : matrice transposée de AA ∗ : matrice transconjuguée de Aδ ij : symbole de Kroenecker, égal à 1 si i = j, 0 sinonv |Γ : restriction de la fonction v à Γ∂Ω : frontière du domaine ΩV(K) : ensemble des cellules voisines à la cellule K (i.e : ayant une frontière commune avec K)[[v × n]] K ∂K : saut de la fonction v | K à travers la frontière ∂Kpp : presque partout (i.e : sauf sur un ensemble de mesure nulle)× : produit vectoriel entre vecteurs de R 3∧ : produit exterieur canonique de formes différentielles∇ p : gradient par rapport à la variable pṗ = dpdt∂ x = ∂∂x∇× : opérateur rotationnelH rot (Ω) : sous-espace vectoriel des fonctions de L 2 (Ω) dont le rotationnel est également dans L 2 (Ω)D ′ (Ω) : espace de distributions, dual de D(Ω)(·|·) ou · : produit scalaire euclidien de vecteurs de R n〈·, ·〉 D ′ ,D : produit de dualité entre D′ (Ω) et D(Ω)◦ : produit de composition de fonctionsFDTD : Finite Difference Time Domain, utilisé pour dénommer les schémas de type différences finies(ex : schéma de Yee) pour résoudre les équations de Maxwell dans le domaine temporel (par oppositionà fréquentiel)FVTD : Finite Volume Time Domain, utilisé pour dénommer les schémas de type volumes finis dansle domaine temporelDGTD : Discontinued Galerkin Time Domain, utilisé pour dénommer les schémas de Galerkin Discontinudans le domaine temporel51

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