МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

14 Рациональные методы решения задач по матанализуОтвет: а) y = − √ 2x − x2√2+ 3 √2x 3 + o(x 3 );б) y = −1 ++ o((x−1) 2n+1 ).n∑ (−1) k−1k=12 k (C k 1/2 + 2Ck−1 1/2 )(x − 1)2k +При решении задачи № 5 потребуется теорема о непрерывностичастного двух функций, а также необходимо знать определениеточек разрыва 1-го рода, 2-го рода.Используются пределы:sin xtg xlim = 1, lim = 1. (1)x→0 x x→0 xМожно применить правило Лопиталя.5. Указать все точки непрерывности и точки разрыва, ( установитьтип разрывов функции f(x), определенной на − 3π 2 ; 5π ),2при этомпри x ∈f(x) = |x|(π2 − x 2 )sin x(− 3π 2 ; 5π 2), x ≠ kπ, k = 0, ± 1, 2;f(0) = f(2π) = π 2 , f(π) = 2π 2 , f(−π) = −2π 2 .(Р е ш е н и е. В любой точке x ∈ − 3π 2 ; 5π 2±1, 2, функция f(x) непрерывна как частное.Исследуем f(x) в точках x = 0, x = ±π, x = 2π.x = 0 . Пользуясь (1), получаем), x ≠ kπ, k = 0,x(π 2 − x 2 )lim f(x) = lim= π 2 = f(0), limx→+0 x→+0 sin xf(x) = x→−0 −π2 ,x = 0 — точка разрыва 1-го рода функции f(x).x = ±π . Имеем при x → ±π неопределённость вида 0 0 .Применим правило Лопиталя.x(π 2 − x 2 ) π 2 − 3x 2lim f(x) = lim= lim = 2π 2 = f(π);x→π x→π sin x x→π cos x