МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

More documents

Recommendations

Info

44 Рациональные методы решения задач по матанализу5) Построение кривой.См. рис. 16 на с. 42.8. Доказать, что последовательность {x n } имеет предел, и найтиего, еслиx 1 = 0, x n+1 = 1 + x n. (1)2 + x nР е ш е н и е. Имеем x 1 = 0, x 2 = 1 2 > 0. Пусть x n > 0.Тогда x n+1 = 1 + x n> 0. По индукции доказано, что x n > 0,2 + x nn = 2, 3, . . .Докажем монотонность последовательности {x n }. Имеемx 2 − x 1 = 1 2 > 0. Пусть x n − x n−1 > 0. Тогдаx n+1 − x n =x n − x n−1(2 + x n )(2 + x n−1 ) > 0.По индукции доказано, что последовательность {x n } строговозрастающая.Из формулы (1) следует, что x n < 1, n = 1, 2, . . .Следовательно, существует конечныйlim x n = C.n→∞Переходя к пределу в формуле (1), получаемC = 1 + C2 + C ,откуда заключаем, что C = 1 2 (√ 5 − 1), а не − 1 2 (√ 5 + 1), таккак limn→∞ x n не может быть отрицательным.Ответ: 1 2 (√ 5 − 1).
§ 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г. 45Вариант 731. Вычислить интегралы∫∫ √ 4xа) ○3 sin x ln(1 + sin x) dx, б) 5 dx○4(1 − 4√ .x 3 ) 4 32.○5 Найти предел функции√ 1 + sin 2x − cos x − sh xlimx→0 e x1−x − ch x +12ln(1 − 2x).3.○5 Построить график функцииy = 3√ x 2 (x − 6).4.○4 Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки x = 2до o((x − 2) 2n+1 ) функцию( )x2y =4 − x + 4 x2 2x−e 2 .5.○4 Найти в точке (1; 1) кривизну графика функции y = y(x),заданной неявно уравнением6.○4 Найти предел функцииlimx→+07.○7 Построить кривуюx =y 5 + y − 2x 3 = 0.( sh xarctg x) 1x 2 +ln x .t2t − 2 , y = t2 − 3t − 2 .8.○4 Доказать, что последовательность {x n } имеет предел, инайти его, еслиx 1 = 0, x n+1 = x 2 n + 1 4 .
Page 1 and 2: Министерство образ
Page 3 and 4: ОГЛАВЛЕНИЕ3Введени
Page 5 and 6: § 1. Экзаменационна
Page 7 and 8: y = −1 +§ 1. Экзаменац
Page 39 and 40: y=− x 4 − 7 4§ 2. Экзаме
Page 43: § 2. Экзаменационна
Page 51: § 2. Экзаменационна

МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?