МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

26 Рациональные методы решения задач по матанализуx −2 0 1y ↘ 0 ↗ 3√ 4 ↘ 0 ↘y ′ − −∞+∞ + 0 − −∞ −y ′′ − ∄ − − − ∄ +min max точкаперегиба4. Разложить по формуле Тейлора функцию( )x2y =2 + 2x − 3 e −x2 −4xа) в окрестности x 0 = 0 до o(x 2 ); б) в окрестности x 0 = −2 доo((x + 2) 2n+1 ).Р е ш( е н и е. ) ()x2а) y =2 + 2x − 3 1 − x 2 − 4x + 16x2 + o(x 2 ) = −3 +2+ 14x − 57 2 x2 + o(x 2 ).б) y = (x + 2)2 − 10e −(x+2)2 +4 .2Сделаем замену переменной, положив t = x + 2. Тогдаy(x(t)) = 1 2 (t2 − 10)e 4−t2 =( ) ( )1 ∑n= e 4 12 t2 − 5l! (−t2 ) l + o(t 2n+1 ) == 1 n−1∑2 e4l=0l=0(−1) lt 2(l+1) + 5e 4l!n ∑l=01l! (−1)l+1 t 2l + o(t 2n+1 ).Заменив в первой сумме l + 1 на k, объединим обе суммы,при этом первое слагаемое из второй суммы выпишем отдельно.Получимn∑( )5y(x(t)) = −5e 4 + (−1) k−1 e 4 k! + 1t 2k + o(t 2n+1 ).(k − 1)!2k=1Ответ: а) y = −3 + 14x − 57x2 + o(x 2 );2n∑( )5б) y = −5e 4 + (−1) k−1 e 4 k! + 1(x + 2) 2k +(k − 1)!2k=1