МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

28 Рациональные методы решения задач по матанализу(lim f(x) = −8 = f − π ),x→− π 22x = − π 2— точка непрерывности функции f(x).x = 3π : lim f(x) = ∞, x = 3π 2 x→ 3π 22рода функции f(x).— точка разрыва 2-гоОтвет: x = 0 — точка разрыва 1-го рода, x = 3π 2 —точка разрыва 2-го рода; остальные точки интервала (−π; 2π)— точки непрерывности функции f(x).6. Найти в точке (−1; −1) значение радиуса кривизны графикафункции y(x), заданной уравнением x 3 + y 3 = 1 + 3y 2 x.Р е ш е н и е. Дифференцируя дважды тождествоx 3 + y 3 (x) − 3xy 2 (x) − 1 ≡ 0и пользуясь тем, что y(−1) = −1, получаемy ′ (−1) = 0, y ′′ (−1) = −2.По формуле R = 1 K , где K = |y ′′ |, вычисляем в точке(1 + y ′2 )3/2(−1; −1) значение радиуса кривизны R = 1 2 .Ответ: 1 2 .7. Найти limx→+∞[( √ )x3 − 3x 2 − x + e 1 x3]· ln 2 sh x .Р е ш е н и е. Найдём для функции ln 2 sh x эквивалентнуюей при x → +∞ степенную функцию.ln sh x = ln [ex (1 − e −2x )]= x − ln 2 + o(1) = x(1 + o(1)),2ln 2 sh x = x 2 (1 + o(1)) при x → +∞.Разлагаем при достаточно больших x по степеням 1 ( ) 1x до o x 2функциюПолучаемϕ(x) = 3√ x 3 − 3x 2 − x + e 1 x .