МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 29()√3 x3 − 3x 2 3− x = x√1 − 3 x − 1 = −1 − 1 x − 5 ( )1 13 x 2 + o x 2 ,e 1 1x = 1 +x + 1 ( )1 12 x 2 + o x 2 , ϕ(x) = − 7 ( )1 16 x 2 + o x 2 .Тогда(lim (ϕ(x)x→+∞ ln2 sh x) = lim − 7x→+∞ 6Ответ: − 7 6 .( ))1 1x 2 + o x 2 x 2 = − 7 6 .8. Построить кривую x = t2t 2 − 1 , y = t + 1 + 1t + 1 .Р е ш е н и е. 1) Область определенияx(t) : (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞),y(t) : (−∞; −1) ∪ (−1; +∞).2) Исследование на асимптоты.x → ∞ при t → ±1, y → ∞ при t → −1, t → ∞;x = 1 — вертикальная асимптота, так какlim x(t) = 1, limt→∞y(t) = ∞;t→∞y = 5 2— горизонтальная асимптота, так какlim x(t) = ∞, limt→1y(t) = 5 t→1 2 ;Для отыскания невертикальной асимптоты y = kx + b приt → −1 находимyk = limt→−1 x = lim (t 2 + 2t + 2)(t − 1)t→−1 t 2 = −2,b = lim (y + 2x) = limt→−1 t→−1t 2 + 2t − 2t − 1= 3 2 ,y = −2x + 3 — наклонная асимптота при t → −1.23) Вычисление x ′ (t).x(t) = 1 + 1t 2 − 1 ,2tx′ (t) = −(t 2 − 1) 2 .Указываем интервалы E k изменения t, на которых сохраняется