CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie 

INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) 

Bruno Chiandotto Versione 2015 

3. Stima 

CAP. 3 – STIMA 

Introduzione 

Nel capitolo precedente sono state esaminate le distribuzioni di alcune funzioni 

T(X 1 ,X 2 ,…,X n ) degli elementi campionari soffermando l’attenzione, in particolare, su 

media e varianza facendo specifico riferimento al campionamento da popolazioni 

normali. Come sottolineato, considerazioni analoghe possono essere svolte nei confronti 

di funzioni diverse da quelle analizzate; la logica del procedimento da seguire resta 

 

T 

sostanzialmente immutata anche se, ovviamente, lo svolgimento analitico dipenderà dalle 

specificità considerate. Rimane altresì immutata anche la natura della funzione che, 

nella generalità dei casi, è quella di compattare l’informazione campionaria in modo da 

consentire un’estensione delle conclusioni cui si perviene attraverso l’elaborazione dei 

dati campionari all’intera popolazione dalla quale il campione stesso è stato estratto. 

Il nucleo centrale dell’inferenza statistica o statistica induttiva risiede, appunto, nella 

fissazione di “criteri di ottimalità” e nell’individuazione di regole che consentano il loro 

soddisfacimento affinché il processo di induzione (dal campione alla popolazione) sia il 

“migliore possibile”. 

I criteri di ottimalità dipendono, ovviamente, dai problemi di induzione che si 

vogliono risolvere e che, come già sottolineato nella premessa, possono essere distinti e 

raggruppati in problemi statistici di: 

1. stima (puntuale e per intervallo) 

2. verifica o test d’ipotesi. 

Nel primo caso, i dati campionari vengono utilizzati per ottenere una misura (stima) 

di un’entità incognita relativa alla popolazione (indici caratteristici e/o parametri 

caratteristici e/o forma analitica del modello rappresentativo del fenomeno che s’intende 

analizzare). 

Nel secondo caso, i dati campionari vengono utilizzati per procedere al rifiuto o 

all’accettazione di una particolare ipotesi (congettura) formulata in merito ad entità incognite 

relative alla popolazione di origine del campione. 

La stima e il test delle ipotesi possono riguardare sia la forma funzionale del modello 

rappresentativo della popolazione di interesse sia i parametri che lo caratterizzano sia, 

più semplicemente, gli indici caratteristici; in questo caso si parla, come già più volte 

sottolineato, di inferenza statistica non parametrica o inferenza libera da distribuzione 

(distribution free) in quanto non si presuppone nota la forma analitica del modello 

rappresentativo della popolazione. Se invece la stima o il test delle ipotesi riguardano i 

soli parametri caratteristici, in quanto si assume nota la forma analitica del modello, si 

 

T 

175




3. Stima 

parla di inferenza statistica parametrica. 

In questo capitolo si tratterà, in modo quasi esclusivo, di stima parametrica 

limitatamente alla così detta impostazione classica dell’inferenza statistica, cioè, 

dell’inferenza statistica che tratta di procedure di induzione basate sulla sola evidenza 

campionaria (informazione oggettiva) a differenza dell’impostazione bayesiana che 

prevede, invece, l’utilizzo simultaneo di informazioni campionarie e di informazioni a 

priori che, nella generalità dei casi, hanno natura soggettiva. 

3.1 - Stima puntuale 

Se X è una variabile casuale discreta o continua, con funzione di massa o di densità di 

probabilità f(x;dove Θ rappresenta il parametro caratteristico non noto, la stima 

puntuale di si risolve nella ricerca di una funzione degli elementi campionari 

 

x1, x2,..., xn 

 

in modo tale da ottenere un valore 

ˆ 1, 2,..., n 

T x x x 

vicino possibile’ al vero valore dell’entità incognita 

Come già sottolineato più volte, attraverso l’introduzione della statistica 

che sia ‘il più 

T 

effettua una compattazione delle informazioni passando, usualmente, dagli n valori 

numerici x 1 ,x 2 ,…,x n ad un solo valore numerico, ad es. 

x 

1 

 

n xi 

n i 1 

si 

. Risulta evidente 

che tale operazione comporta una notevolissima perdita di informazioni; aspetto questo 

che non deve assolutamente preoccupare, anzi, in molte situazioni risulta vantaggioso, 

soprattutto quando le informazioni che si perdono sono del tutto irrilevanti ai fini degli 

obiettivi che s’intendono perseguire. 

L’ultima considerazione suggerisce una prima possibilità di qualificazione della 

generica affermazione deve essere “il più vicino possibile” a od anche, ˆ deve 

ˆ 

essere “la migliore stima” di . Ad esempio, se si ha ragione di ritenere che una certa 

variabile casuale X sia distribuita normalmente, ma non si conosce il valore numerico dei 

due parametri che la caratterizzano, µ e 2 , si può decidere di estrarre un campione di n 

elementi dalla distribuzione stessa e cercare poi di individuare due funzioni che applicate 

ai valori campionari diano una misura, la “migliore”, dei due parametri incogniti. 

Analogo ragionamento può essere fatto nei confronti del parametro che caratterizza la 

distribuzione di Poisson, del parametro p che caratterizza la distribuzione bernoulliana, 

ecc. 

Più in generale, data una variabile casuale, discreta o continua, X con funzione di 

massa o di densità di probabilità f(x;), la stima puntuale del un parametro incognito 

si ottiene applicando una specifica funzione 

T ai valori campionari; essa varierà 

quindi al variare del campione, secondo la legge di distribuzione della popolazione cui il 

campione si riferisce, ed è necessario fare riferimento a tale distribuzione per riuscire a 

176




3. Stima 

giudicare la “bontà” di una qualunque stima 

ˆ = T(x 1 , x 2 ,...,x n ). Infatti, non è possibile 

affermare se un singolo valore numerico, cioè se una particolare stima 

ˆ 

è “buona” o 

“cattiva” poiché è tanto più “buona” quanto più si approssima al vero valore del 

parametro , ma, essendo tale valore incognito, il confronto non è possibile; risulta, 

cioè, impossibile valutare la “bontà” di una singola stima. 

Pertanto, è improprio parlare di stima “buona” o “cattiva”, si deve parlare invece di 

stimatore “buono” o “cattivo”, intendendo, con ciò, fare riferimento al metodo di stima 

impiegato le cui proprietà non sono valutabili facendo riferimento ad un singolo 

campione ma all’intero universo di tutti i campioni possibili. Il confronto fra stimatori 

dovrà, quindi, essere basato sul confronto tra le corrispondenti distribuzioni campionarie; 

cosa questa ovviamente poco pratica, si preferisce allora effettuare il confronto facendo 

riferimento a particolari indici caratteristici delle variabili casuali stima. 

3.1.1 Proprietà degli stimatori 

ˆ 

Se con X si indica una variabile casuale, discreta o continua, con funzione di massa o di 

densità di probabilità f(x;) , caratterizzata dal parametro incognito , il problema della 

ricerca dello stimatore ”migliore” del parametro stesso si sostanzia nella individuazione 

della “migliore” funzione 

campionari di cui si dispone: 

 

T X , X ,...., X T 

1 2 

n 

X 

da applicare agli elementi 

Definizione 1 (Stimatore). Se con X si indica una variabile casuale, discreta o continua, 

con funzione di massa o di densità di probabilità f(x;), caratterizzata dal 

parametro incognito , e si indica con X 1 ,X 2 ,…,X n un campione casuale 

semplice riferito alla variabile stessa, si dice stimatore qualunque statistica 

 

T X , X ,...., X T 

1 2 

n 

X 

, cioè qualunque variabile casuale, funzione 

degli elementi campionari, le cui determinazioni vengono utilizzate per 

ottenere una stima del parametro incognito . 

 

 

 

 

 

Le proprietà “ottimali” che verranno considerate in queste note sono la: 

sufficienza; 

concentrazione; 

prossimità; 

efficienza; 

consistenza. 

3.1.2 Sufficienza 

Relativamente alle “proprietà ottimali” di uno stimatore si deve, innanzi tutto, tenere 

177




3. Stima 

presente che la funzione 

T 

pertanto, più che ragionevole richiedere ad uno stimatore 

opera una compattazione delle informazioni; risulta, 

 

ˆ 

1, 2,....., n 

T X X X 

contenere il massimo delle informazioni che il campione fornisce in merito al valore del 

parametro incognito . 

Nel caso in cui si riesce ad individuare uno stimatore 

ˆ 

 

di 

che contiene tutte le 

informazioni su possedute dal campione di dati a disposizione, si dice che è uno 

stimatore sufficiente di . Appare subito evidente che nei casi in cui esistono più 

stimatori sufficienti, si dovrà restringere la ricerca del miglior stimatore entro tale classe 

poiché, al di fuori di essa, ogni altro stimatore avrebbe come conseguenza una mancata 

utilizzazione di informazioni utili contenute nel campione. Ovviamente, è sufficiente lo 

stimatore basato su una statistica sufficiente (cfr. paragrafo 2.2). 

3.1.3 Concentrazione e prossimità 

Oltre alla sufficienza, risulta conveniente che le singole stime non si discostino troppo 

dal valore incognito da stimare, che presentino, cioè, il minimo di variabilità intorno a 

tale valore, variabilità che può essere misurata sia attraverso specifici indici sintetici, 

come si avrà modo di verificare nelle righe successive, sia considerando direttamente la 

distribuzione di probabilità. 

ˆ 

1, 2,..., n 

* * 

Definizione 2 (Concentrazione). Lo stimatore Θ T X X X 

relazione: 

* 

ˆ ˆ 

P Θ P Θ 

0 

è detto più concentrato dello stimatore 

ˆ 

che soddisfa la 

 

per qualsiasi valore di 

ˆ , ,....., 1 2 n 

Θ T X X X 

Quella specificata è una proprietà relativa, si effettua, cioè, il confronto tra 

due particolari stimatori 

ˆ * Θ 

qualunque stimatore alternativo a 

più concentrato in assoluto. 

ˆΘ 

e 

ˆΘ 

. Se la disuguaglianza vale per 

ˆ * Θ 

si dirà che 

ˆ 

1, 2,..., n 

* * 

Definizione 3 (Prossimità). Lo stimatore Θ T X X X 

relazione: 

 

P Θ 

 

ˆ * 

Θ ˆ 0,5 

ˆ * Θ 

 

. 

è lo stimatore 

che soddisfa la 

 

 

per qualsiasi valore di 

è detto più prossimo (secondo Pitman) dello stimatore 

Θˆ T X1, X 

2,....., X 

n . 

178




3. Stima 

Quella specificata è una proprietà relativa, si effettua, cioè, il confronto tra due 

particolari stimatori Θ ˆ * e ˆΘ . Se la disuguaglianza vale per qualunque stimatore ˆΘ 

Θ ˆ * 

alternativo a si dirà che 

approssimazione in assoluto. 

3.1.4 Efficienza 

ˆ * Θ 

è lo stimatore che presenta una migliore 

Le proprietà di concentrazione e di prossimità sono certamente del tutto auspicabili 

purtroppo, però, sono veramente rare le situazioni nelle quali esistono stimatori che 

godono di tali proprietà oltre alle difficoltà analitiche connesse alla loro derivazione. Si 

dovrà, pertanto, fare riferimento non all’intera distribuzione di probabilità ma a specifici 

indici sintetici di variabilità, procedendo, cioè, al computo di scostamenti appropriati tra i 

valori assumibili dallo stimatore e il vero valore del parametro incognito (qualunque 

esso sia) per poi addivenire ad una loro adeguata sintesi. L’entità aleatoria che si sta 

trattando è la variabile casuale stimatore Θˆ T X1, X 

2,....., X 

n e la costante di 

riferimento è il parametro incognito . Gli scostamenti tra tutti i valori che la variabile 

casuale stima ˆΘ assume, nell’universo dei campioni, e il valore incognito , possono 

essere espressi dalla differenza in valore assoluto 

 

ˆΘ 2 

| Θˆ 

 

| 

od anche al quadrato 

o qualunque altra misura di scostamento ritenuta adeguata al caso in esame. 

Definizione 4 (Efficienza nell’ESM). Lo stimatore 

soddisfa la relazione: 

 

ˆ * * 

, ,..., 1 2 n 

Θ T X X X 

* 

| ˆ 

| | ˆ 

| 

E Θ E Θ 

 

che 

per qualunque 

e per qualunque stimatore ˆ alternativo allo stimatore Θ ˆ *, dove, 

al solito, 

E sta ad indicare il valore atteso (valore medio) dell’entità 

all’interno della parentesi, è detto il più efficiente nell’errore semplice 

medio. 

ESM( 

ˆΘ 

) = 

 

E | Θ ˆ | 

Definizione 5 (Efficienza nell’EQM). Lo stimatore 

soddisfa la relazione: 

 

 

. 

 

ˆ * * 

, ,..., 1 2 n 

Θ T X X X 

( ˆ* 

) 2 ( ˆ ) 

2 

 

E Θ E Θ 

 

, che 

per qualunque 

e per qualunque stimatore ˆ , alternativo allo stimatore ˆ *, 

è detto il più efficiente nell’errore quadratico medio 

 

EQM 

ˆΘ E 

ˆ 

2 

 

. 

179




3. Stima 

Quello sopra introdotto è un concetto assoluto di efficienza che risulta 

operativamente poco utile in quanto sono molto infrequenti le situazioni di ricerca in cui 

si riesce ad individuare per via analitica lo stimatore più efficiente (nell’errore semplice 

medio o nell’errore quadratico medio), sempre nell’ipotesi di esistenza di tale stimatore. 

Analogamente a quanto detto a proposito delle proprietà di concentrazione e di 

prossimità, oltre a considerare la proprietà di efficienza in senso assoluto si può 

introdurre il concetto di efficienza in senso relativo confrontando due diversi stimatori 

ˆΘ 1 

e 

ˆΘ 2 

di uno stesso parametro incognito . 

Lo stimatore 

 

 

ˆΘ 1 

si dice più efficiente dello stimatore 

nell’errore semplice medio se ESM( 

nell’errore quadratico medio se EQM( 

ˆΘ 1) < ESM( 

ˆΘ 2 

ˆΘ 1) < EQM( 

: 

ˆΘ 2 

) , per qualunque 

 

ˆΘ 2 

), per qualunque 

. 

; 

L’efficienza relativa dello stimatore 

rapporti: 

e 

ESM 

 

 

ESM Θˆ 

1 

 

ESM Θˆ 

2 

 

 

ˆΘ 1 

rispetto allo stimatore 

e 

EQM 

 

 

EQM Θˆ 

1 

 

EQM Θˆ 

2 

 

 

ˆΘ 2 

è definita dai 

Comunque, il problema più rilevante nella ricerca dello stimatore più efficiente non 

risiede tanto nelle difficoltà analitiche di computo quanto nell’inesistenza di un tale 

stimatore ottimale; infatti, non sono affatto rare le situazioni nelle quali non esiste uno 

stimatore che minimizza l’ESM o l’EQM per qualunque valore di . In tali situazioni si 

dovrà abbandonare l’obiettivo della ricerca dell’ottimo assoluto, non esistendo un tale 

ottimo, per procedere, eventualmente, alla ricerca di un sub-ottimo. 

Si può, ad esempio, procedere alla ricerca di uno stimatore puntuale capace di 

minimizzare l’ESM o l’EQM in una classe ristretta di stimatori (minimo vincolato) 

essendo ragionevole ipotizzare l’esistenza di un ottimo in una classe ristretta; il vincolo 

usualmente imposto è quello della correttezza o non distorsione dello stimatore. 

Definizione 6 (Correttezza o non distorsione). Uno stimatore Θ ˆ ( , ,..., ) 

n 

Tn X1 X 

2 

X 

n 

(di ) si dice corretto o non distorto se 

E( ˆΘ ) = . 

per qualunque . 

Θ 

Si consideri ora la relazione 

 

2 

2 2 

 

 

 

ˆ 

EQM ( Θˆ ) E Θˆ E Θˆ E( Θˆ ) E( Θˆ ) E Θˆ E( Θˆ 

) E - 

 

 

 

 

 

 

 

0 

 

 

 

Var( Θˆ) E Θˆ 

- d 

 

 

2 

2 2 

ˆ 

2 

180

dove 




3. Stima 

d E Θ ˆ 

 

viene detta distorsione. Se Θ ˆ ( , ,..., ) 

n 

Tn X1 X 

2 

X 

n 

è uno 

stimatore non distorto di si ha d 2 = 0 e quindi: 

2 

 

2 

EQM ( Θˆ ) E Θ ˆ E Θˆ E Θ ˆ Var( ˆ ) 

 

 

 

cioè, se uno stimatore è corretto il suo errore quadratico medio e la sua varianza 

coincidono. Pertanto, nella classe ristretta degli stimatori corretti si può affermare che lo 

stimatore più efficiente nell’EQM è lo stimatore di minima varianza. Quest’ultima 

conclusione provoca spesso confusione inducendo a concludere che lo stimatore più 

efficiente è lo stimatore di minima varianza; si tratta, ovviamente, di una conclusione 

errata perché l’affermazione vale solo nell’ambito degli stimatori corretti. 

Il vincolo di correttezza in molti testi non viene introdotto con una tale connotazione, 

cioè come restrizione della classe degli stimatori, ma come proprietà dello stimatore 

stesso. Nella logica espositiva qui seguita, dove la “bontà” di uno stimatore è misurata 

facendo riferimento alla sua variabilità campionaria, una tale interpretazione della 

correttezza non può essere accolta; in altre parole la correttezza rappresenta un vincolo e 

non una proprietà. Ovviamente, a parità di tutte le altre condizioni, uno stimatore 

corretto è preferibile ad uno stimatore distorto. 

È stato più volte sottolineata la possibilità di non esistenza dello stimatore più 

efficiente, sia nell’EQM che nell’ESM, possibilità questa molto meno frequente invece 

nella classe ristretta degli stimatori corretti; infatti, come si avrà modo di chiarire nelle 

righe che seguono, per alcuni modelli è possibile dimostrare che, in una classe ristretta, 

esiste lo stimatore più efficiente nell’EQM. In tale ottica un ruolo fondamentale è svolto 

dalla disuguaglianza di Cramèr-Rao; si tratta di una disuguaglianza che individua il 

valore minimo assumibile dalla varianza di uno stimatore corretto. 

Teorema 3 (Limite di Cramèr-Rao); Sia X una v.c. con funzione di massa o di densità 

 

 

 

f(x; ), dove Θ è un parametro incognito, e 

 

 

 

X 

1, X 

2,..., X 

n 

uno stimatore corretto di , se sono soddisfatte le condizioni di regolarità: 

d 

log f x ; 

esiste per qualunque x e per qualunque Θ 

d 

d 

d 

; 

d 

d 

n 

n 

d 

f x dx dx dx f x dx dx dx 

 

 

; ; 

i 1 2 n i 1 2 n 

i1 d 

i1 

, , ; 

1 2 n i 1 2 n 

i1 

 

n 

t x x x f x dx dx dx 

 

 

n 

d 

t x , x , x f x ; dx dx dx 

; 

 

 

 

 

 

 

1 2 n i 1 2 n 

d 

i1 

; 

 

è 

181




3. Stima 

 

d 

 

0 E 

log f x 

; 

per qualunque 

. 

d 

 

Θ 

 

 

vale la relazione di disuguaglianza 

Var 

Dimostrazione 

 

 

1 1 

ˆ 

 

 

2 2 

n 

d 

 

d 

 

E log f X nE log f 

i;θ 

X; 

d 

 

i1 

d 

 

 

 

n 

d d 

1 t x , x , x 

f x ; 

dx dx dx 

 

d 

d 

 

1 2 n i 1 2 n 

i1 

n 

d 

t x x x f x dx dx dx 

 

 

 

, , ; 

1 2 n i 1 2 n 

d 

i1 

n 

d 

 

f xi; 

 

dx1dx2dxn 

 

d 

 

 

i1 

 

n 

t x1, x2, xn 

f xi; 

 

d 

 

i1 

 

n 

 

d 

E t x1 x2 

xn 

f xi 

 

d 

i1 

per la disuguaglianza Cauchy - Schwarz 

 

ma 

, , 

; 

 

E t x1, x2, 

x 

 

n 

 

 

 

d 

 

 

 

dx dx 

1 2 

dx 

n 

n 

d 

 

 

t x1, x2, x 

n 

log f xi; f xi; 

dx1dx2 

dxn 

 

d 

 

 

i1 i1 

 

 

d 

 

dθ 

log 

 

 

 

 

 

2 

2 

n 

d 

 

E t x1, x2, xn 

 

E log f xi; 

 

d 

 

 

 

i1 

 

da cui 

 

 

1 2 n 

n 

2 

n 

i1 

f x ;θ 

i 

 

 

 

 

2 

1 

E 

ˆ 

t x , x , x 

Var 

 

d 

 

E log 

f x 

i 

;θ 

dθ 

 

 

 

i1 

 

 

2 

 

n 

 

 

 

 

182




3. Stima 

n 

2 

n 

2 

 

d 

d 

 

E log f xi; E log f xi; 

 

d 

 

 

 

d 

i1 

 

i1 

 

 

 

 

2 

d d d 

 

E log f xi; log f x 

j; E log f xi; 

 

d d 

 

 

d 

 

 

 

 

n n n 

i1 j( i) 1 i1 

per l'indipendenza delle v.c. X 

2 

 

d 

 

n E 

log f x; 

 

d 

 

 

 

i 

 

n n 

2 

d d d 

 

E f xi; E f xi; n E log f x; 

 

d 

d 

d 

 

i1 j( i) 1 

 

La quantità 

I 

 

d 

d 

n 

 

d 

 

 

d 

 

E log f X 

;θ n E log f x; 

 

 

i1 

i 

usualmente detta informazione di Fisher, si indica con I() e fornisce una misura 

dell’informazione contenuta nel campione. Da sottolineare che l’informazione I() è la 

varianza della variabile casuale che si ottiene derivando il logaritmo della funzione di 

verosimiglianza; tale derivata è detta funzione score ed è espressa da: 

infatti 

poiché 

ma 

S 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

' 

' 

d 

L f x1, x2,..., xn; 

 

log L 

d L f x , x ,..., x ; 

 

 

 

1 2 

2 

 

Var S θ E S θ 

I θ 

 

 

' 

1 2 n 

E S θ 

 

f x 

1,x 2,...,x n;θ 

f x 

1,x 2 

,...,x 

n;θ dx1 dx2 

dxn 

 

 

f x ,x ,...,x ;θ 

 

d d d 

f x 1,x 2 

,...,x 

n;θ dx1 dx2 dxn 

f ; d 1 0 

dθ 

 

dθ 

x x 

x 

dθ 

L’informazione di Fisher può essere quindi espressa dall’uguaglianza: 

 

 

I E 

 

S 

 

2 

 

n 

 

 

 

 

 

 

 

2 

183




3. Stima 

d d 

 

0 log f , f , d 

d 

d 

x x x 

x 

 

 

 

 

 

2 

2 

d 

d 

 

 

log f , f , d x log f , f , d 

2 

d 

x x 

 

x 

d 

 

x x 

x 

 

x 

 

d 

2 

E 

 

S E S 

 

d 

 

 

da cui 

 

 

 

2 d 

E S E 

S I 

d 

 

 

 

Si noti che per definire la funzione score S() e l’informazione di Fisher I() si è 

fatto riferimento all’universo dei campioni, cioè, nella funzione di verosimiglianza al 

singolo punto campionario x 1 ,x 2 ,…,x n si è di nuovo sostituita la variabile casuale ad n 

dimensioni X = (X 1 ,X 2 ,…,X n ). 

La conclusione cui si perviene è che la varianza di uno stimatore corretto non può 

scendere sotto il reciproco dell’informazione di Fisher, quindi, se Var ( 

stimatore 

ˆ 

 

ˆ 

) = 1/I() lo 

è il “migliore”, cioè, il più efficiente nell’ambito degli stimatori corretti. Se 

risulta, invece, Var ( ) > 1/I(), non è possibile pervenire ad alcuna conclusione nel 

senso che potrebbe esistere o non esistere un altro stimatore corretto più efficiente. 

Comunque, si dimostra che il limite minimo della disuguaglianza viene raggiunto, se 

sono soddisfatte alcune condizioni di regolarità, se e solo se il modello probabilistico 

(v.c. rappresentativa della popolazione di riferimento) dal quale il campione è stato 

estratto appartiene alla famiglia esponenziale caratterizzata da un solo parametro. 

L’inserimento del vincolo di correttezza riduce, in pratica, lo spazio in cui ricercare 

l’ottimo la cui esistenza è garantita per le v.c. che appartengono alla famiglia 

esponenziale. Lo stimatore che minimizza l’errore quadratico medio nell’ambito ristretto 

delle stime corrette, rappresenta, pertanto, la strategia dominante nella classe ristretta 

degli stimatori corretti. 

In molte situazioni operative non esiste un’alternativa dominante, neppure nella classe 

ristretta degli stimatori corretti, ed anche quando una tale possibilità sussiste a livello 

teorico può risultare molto difficile o addirittura impossibile procedere alla sua 

derivazione analitica. Una possibile via da seguire per la ricerca dell’ottimo è 

rappresentata dall’inserimento di ulteriori vincoli: il più semplice ed immediato, che 

risolve anche le difficoltà di ordine analitico, è il vincolo di linearità. 

Sulle conseguenze dell’introduzione del vincolo di linearità si avrà modo di soffermare 

l’attenzione nelle pagine successive 

ˆ 

3.1.5 Proprietà asintotiche 

Al crescere della dimensione del campione cresce anche l’ammontare del patrimonio 

184




3. Stima 

informativo a disposizione, è quindi ragionevole presumere che al crescere della 

dimensione campionaria debba anche crescere la “bontà” dello stimatore. 

Per ciò che concerne il comportamento di un qualunque stimatore puntuale al crescere 

della dimensione del campione si riportano le due definizioni seguenti che introducono 

un’ulteriore augurabile proprietà degli stimatori: la consistenza. 

Definizione 7 (Consistenza in senso debole). Uno stimatore 

(di ) si dice consistente in senso debole se 

per qualunque 

 

Lim P | ˆ 

 

| 1 

n 

n 

 

ˆ T ( X , X ,..., X ) 

n n 1 2 n 

e per qualunque positivo piccolo a piacere. 

Definizione 8 (Consistenza in senso forte). Uno stimatore 

) si dice consistente in senso forte se 

lim EQM ˆ 

0 

per qualunque 

 

n 

o anche 

 

 

lim ESM ˆ 

0 

n 

n 

n 

 

 

ˆ T ( X , X ,..., X ) 

n n 1 2 n 

(di 

Ovviamente, la consistenza forte implica la consistenza debole; infatti, per la 

disuguaglianza di Cebicev si ha 

 

E ˆ 

n 

 

P | ˆ 

 

 

| 1 

 

ma 

n 

 

 

Lim E ˆ 

n 

 

n 

 

 

2 

 

0, quindi 

 

2 

 

2 

 

E ˆ 

n 

 

 

| ˆ 

 

Lim P n 

 

| Lim 1 

 

1 

n 

n 

2 

 

 

 

3.2 - Metodi di stima puntuale 

Una volta elencate le proprietà che si ritiene debbano essere soddisfatte da uno stimatore 

puntuale, si dovranno valutare i metodi di stima proposti in letteratura verificando se, ed 

in quali condizioni operative, producono stimatori che soddisfano tali proprietà. 

In queste note verranno considerati, anche se in alcuni casi molto sommariamente, i 

metodi di stima: 

della minimizzazione dell'errore quadratico medio; 

 

 

2 

 

 

 

185




3. Stima 

della massima verosimiglianza; 

dei momenti; 

del minimo chi-quadro ( 2 ); 

della minima distanza. 

3.2.1 Minimizzazione dell’errore quadratico medio 

Un metodo di stima particolarmente rilevante e direttamente collegato alle proprietà delle 

stime sopra elencate è quello basato sulla minimizzazione dell'errore quadratico medio; 

si tratta, quindi, di un metodo che ha come obiettivo l’individuazione dello stimatore più 

efficiente in assoluto. 

Un inconveniente di questo metodo è rappresentato dal fatto che, come già 

sottolineato più volte, per molte distribuzioni non esiste uno stimatore capace di 

minimizzare l'errore quadratico medio rispetto a tutti i possibili valori di , succede cioè 

che per alcuni valori di l'errore quadratico medio risulta minimizzato dallo stimatore 

ˆ 

1 

ˆ 

2 

, mentre per altri valori di , al minimo si perviene attraverso una diverso stimatore 

. In tali situazioni, essendo una quantità incognita, il problema non ammette 

soluzione, o meglio, è il metodo della minimizzazione dell'errore quadratico medio che 

non fornisce la soluzione. Comunque, nelle situazioni in cui si riesce ad individuare lo 

stimatore più efficiente in senso assoluto si parla di strategia dominante ed uno degli 

acronimi di più largo impiego per caratterizzare tale stimatore è B(E) (Best Estimator). 

Poiché, come già sottolineato, le stime che minimizzano l'errore quadratico medio non 

sempre esistono, si preferisce sovente restringere la classe delle funzioni di stima a quelle 

che rispettano certe condizioni; ad es. si può, come già sottolineato, restringere la classe 

alle sole stime non distorte e ricercare tra queste la stima che minimizza l'errore 

quadratico medio. In questo caso, il metodo della minimizzazione dell'errore quadratico 

medio si riduce al metodo della minimizzazione della varianza; ma, in tali condizioni si 

deve tenere presente che l’ottimo cui si può, eventualmente, pervenire è un ottimo 

vincolato (un ottimo relativo e non un ottimo assoluto). 

Si consideri ora la Fig. 3.1 dove sono stati riportati i grafici relativi alle distribuzioni 

campionarie di tre diversi stimatori di , due di questi, ˆ 

1 

e ˆ 

2 

, danno luogo a delle 

stime di corrette, mentre il terzo, ˆ 

3 

, dà luogo ad una stima distorta di . 

ˆ 

186




3. Stima 

f ( 3 ) 

f ( 1 ) 

f ( 2 ) 

Fig. 3.1 - Grafico relativo alla distribuzione di tre diversi stimatori 

Dei tre stimatori considerati 

ˆ 

1 

, 

ˆ 

2 

e 

ˆ 

3 

il secondo 

ˆ 

2 

è senz'altro da scartare, 

infatti tale stimatore pur essendo corretto presenta una variabilità nettamente superiore a 

quella dell'altro stimatore corretto 

stimatori 

ˆ 

1 

e 

ˆ 

3 

ˆ 

1 

. La scelta tra le funzioni che danno luogo agli 

, presenta invece qualche difficoltà; infatti, in questo caso si tratta di 

confrontare due stimatori, dei quali, quello che possiede la “proprietà” della correttezza 

ˆ 

1 

mostra una maggiore variabilità rispetto a . Risulta ragionevole, nella situazione 

prospettata, scegliere lo stimatore 

la disuguaglianza 

ˆ 

3 

 

EQM ˆ EQM ˆ 

3 1 

risulta più elevata per lo stimatore 

; infatti, come si può evincere dalla figura, valendo 

ˆ 

3 

la probabilità di ottenere valori prossimi a 

rispetto allo stimatore 

L’inserimento del vincolo di correttezza riduce, in pratica, lo spazio in cui ricercare 

l’ottimo; se si riuscisse ad individuare tale ottimo, lo stimatore che minimizza l’errore 

quadratico medio nell’ambito ristretto delle stime corrette, si sarebbe individuata la 

strategia dominante nella classe ristretta degli stimatori corretti. Un tale stimatore viene 

usualmente indicato con l’acronimo BU(E) (Best Unbiased Estimator). Nel situazione 

prospettata nella Fig. 3.1 il miglior stimatore nella classe ristretta è 

In molte situazioni operative non esiste un’alternativa dominante, cioè un minimo per 

qualunque valore di , neppure nella classe ristretta degli stimatori corretti, ed anche 

quando una tale possibilità sussiste a livello teorico può risultare molto difficile o 

addirittura impossibile procedere alla sua derivazione analitica, come già sottolineato, in 

tali situazioni si può procedere all’inserimento di un ulteriore vincolo, il vincolo di 

linearità 

T 

X 

1,X 

2 

,...,X n 

 

0 

i 

X 

i 

n 

 

. 

i1 

ˆ 

1 

. 

ˆ 

1 

. 

 

187




3. Stima 

Nella classe ristretta degli stimatori lineari e corretti si riesce ad individuare gli 

stimatori ottimali (cioè gli stimatori più efficienti) in molte situazioni rilevanti di ricerca, 

tra queste, la più significativa è quella che riguarda i modelli statistici lineari, in 

particolare il così detto modello classico di regressione lineare. In tale contesto, come 

si avrà modo di chiarire successivamente, il metodo di stima statistica puntuale che ne 

risulta viene, usualmente, detto metodo di stima dei minimi quadrati. Per indicare lo 

stimatore che minimizza l’EQM nell’ambito degli stimatori lineari e corretti si utilizza 

usualmente l’acronimo BLU(E) (Best Linear Unbiased Estimator) 

Il metodo di stima puntuale basato sulla minimizzazione dell’errore quadratico medio 

può essere interpretato facilmente in termini decisionali. In un contesto decisionale 

l’errore quadratico medio assume la veste di funzione di perdita e l’impossibilità di 

individuazione dello stimatore più efficiente si risolve nella constatazione della non 

esistenza di un’alternativa decisionale (azione) che risulti dominante rispetto a tutte le 

altre: la migliore azione per qualunque stato di natura che, nella specifica circostanza, è 

rappresentato dal valore assunto dal parametro incognito . 

3.2.2 Massima verosimiglianza 

Un secondo metodo di stima puntuale particolarmente rilevante è il metodo della 

massima verosimiglianza. 

Si ricorda che: data una variabile casuale, discreta o continua X, con funzione di 

massa, o di densità di probabilità f(x;) e un campione casuale semplice di n osservazioni 

su X , si è definita di verosimiglianza la funzione 

x 

n 

1 2 n 

 

i1 

L( ) L( / ) f ( ; x , x ,..., x ) f ( ; x ) 

Come già sottolineato, la funzione di verosimiglianza coincide, in termini formali, con 

la funzione di massa o di densità di probabilità del campione: si tratta, infatti, di una 

stessa espressione interpretata come funzione: 

degli elementi campionari x 1 , x 2 ,...,x n che variano nell'universo dei campioni 

(funzione di densità o di massa di probabilità); 

del parametro per un campione prefissato (funzione di verosimiglianza). 

Nella prima interpretazione (a priori), si fa riferimento all’universo dei campioni e le 

variabili che interessano sono, appunto, le variabili casuali campionarie X 1 ,X 2 ,…,X n . 

Nella seconda interpretazione (a posteriori), le variabili campionarie hanno assunto 

particolari determinazioni x 1 ,x 2 ,…,x n e sono, pertanto, quantità costanti note; risulta, 

allora, ragionevole interpretare l’espressione come funzione del parametro (o dei 

parametri) che, pur essendo una costante, assume la veste di variabile essendo 

incognito il suo valore. 

Il metodo di stima della massima verosimiglianza consiste nello scegliere il valore ~ 

che massimizza la funzione L(). Se L() è una funzione differenziabile, condizione 

i 

188




3. Stima 

necessaria affinché essa abbia un massimo è che dL()/d = 0 . Nella generalità dei casi 

non occorre procedere ad ulteriori elaborazioni (computo delle derivate di ordine 

superiore) essendo il punto di stazionarietà individuato un punto di massimo. 

La derivazione della funzione di verosimiglianza L() comporta il computo del 

n 

prodotto 

i1 

f(x i ; ), operazione non immediata, per tale motivo, in genere si preferisce 

massimizzare non la verosimiglianza L() ma il suo logaritmo naturale 

l () = log L() = 

n 

i1 

log f (x i ; ) 

detto log-verosimiglianza. Essendo il logaritmo naturale una funzione monotona, il 

valore ~ che massimizza la log-verosimiglianza l() è identico a quello che massimizza 

la verosimiglianza L(). 

Si ricorda che la derivata prima della log-verosimiglianza è stata definita come 

funzione score; di conseguenza, se la log-verosimiglianza è differenziabile allora 

condizione necessaria affinché la funzione abbia un massimo è che il suo score sia 

nullo: 

Il valore ~ 

S() = 

d 

 

 

d l 

= 0. 

che massimizza la verosimiglianza o la log-verosimiglianza è detto stima 

di massima verosimiglianza del parametro incognito . Se nella soluzione si 

sostituiscono alle determinazioni (x 1 , ..., x n ) le corrispondenti variabili casuali (X 1 , ..., X n ) 

si ottengono gli stimatori di massima verosimiglianza. 

Ovviamente se la distribuzione della variabile casuale X è caratterizzata da più 

parametri 1 , ..., k , per trovare il massimo occorrerà uguagliare a 0 ciascuna delle 

derivate parziali rispetto ad ogni singolo parametro (lo score è quindi un vettore a k 

componenti, una per ogni parametro incognito) e poi ricavare la stima dei parametri 

risolvendo il sistema delle equazioni definito dalle derivate parziali uguagliate a zero. 

Anche in questo caso, come per quello di un solo parametro, nella generalità dei casi al 

punto di stazionarietà corrisponde il massimo della funzione. 

Si riporta nelle righe seguenti la derivazione delle stime di massima verosimiglianza, 

elencandone proprietà e legge di distribuzione, per campioni relativi ad alcune v.c. tra 

quelle esaminate nel Cap. 1; si tratta sempre di distribuzioni che appartengono alla 

famiglia esponenziale per le quali è, quindi sempre possibile individuare stimatori 

sufficienti e, a ragione della disuguaglianza di Cramèr-Rao, ottimali nell’ambito degli 

stimatori corretti. 

V.C. di Bernoulli 

La log-verosimiglianza della v.c. di Bernoulli è data da 

189

n 

l(p) = 

i1 




3. Stima 

log f(x i ; p) = 

n 

i1 

log ( p x i 

q 

1 xi 

n 

) = log p 

i1 

x i + log (1-p) (n – 

derivando l(p) rispetto a p per ottenere lo score ed uguagliando a 0 si ha 

S(p) = 

n 

1 

p 

i1 

x i – 

1 

q 

n 

(n – 

i1 

x i ) = 0. 

risolvendo l’equazione rispetto a p si ricava la stima di massima verosimiglianza di p 

p~ 

= 

n 

1 

n 

i1 

x i = x . 

Lo stimatore di massima verosimiglianza di p è quindi la media campionaria 

P 

= X 

= 

n 

1 

n 

Poiché ciascuna X i è una v.c. di Bernoulli ne consegue che 

1, nel campione (somma dei successi nelle n prove), e X = 

i1 

X i , 

n 

i1 

n 

1 

n 

i1 

n 

i1 

x i ). 

X i è la somma degli 

X i è la proporzione 

dei successi. L’immediata conclusione cui si perviene, ricordando quanto esposto nel 

Cap.1, è che lo stimatore 

n 

X i 

i1 

X 

ha distribuzione binomiale con parametri n e p, mentre 

la media campionaria è una binomiale relativa; questa distribuzione per n 

sufficientemente grande può essere approssimata con la distribuzione Normale avente la 

stessa media (p) e la stessa varianza (p q/n). 

La statistica 

n 

i1 

X i , e qualsiasi altra trasformazione biunivoca della stessa, è una 

statistica sufficiente per p, quindi P = X è uno stimatore sufficiente, essendo funzione 

di tale statistica sufficiente, e corretto di p, inoltre, il suo EQM coincide con la varianza e 

raggiunge il limite di Cramér-Rao; infatti: 

da cui 

n 

n 

d 

d 1 1 

I p E S p 

E X 

i 

n X 

i 

dp 

 

dp p i1 1 p 

 

 

i1 

 

n 

n 

1 1 np 1 nq np n 

E 

2X i 

n X 

2 i 2 

2 

p 

 

 

i1 1 

p 

i1 

 

p 1 

p pq pq 

 

 

1 p q 

 

I p n 

 

che è pari alla varianza di X ; pertanto, lo stimatore di massima verosimiglianza P X è 

in assoluto lo stimatore migliore di p nella classe degli stimatori corretti. 

 

n 

 

p 

 

190

Infine, P X 




3. Stima 

 

è consistente in senso forte, dato che: 

p q 

Lim EQM X 

n 

Lim Var X 

n 

Lim 

n n n 

n 

0 

Poiché la consistenza forte implica quella debole, 

debole. 

V.C. di Poisson 

La log-verosimiglianza della v.c. di Poisson è data da 

n 

l() = 

i1 

log f(x i ; ) = 

n 

i1 

log 

x 

 

i 

e 

xi! 

 

X 

n 

= log 

i1 

è anche consistente in senso 

n 

x i – n – 

derivando rispetto a per ottenere lo score ed uguagliando a 0 si ha 

S() = 

1 

 

n 

 

i1 

x i – n = 0 ~ = 

n 

X i 

i1 

La distribuzione campionaria della v.c. 

1 

n 

n 

 

i1 

x i = x . 

i1 

log x i ! 

, per la proprietà additiva della v.c. di 

Poisson, è ancora una v.c. di Poisson con parametro n che coincide con la media e la 

varianza della v.c. stessa; mentre la distribuzione campionaria di = X 1 è una v.c. di 

Poisson relativa di media e varianza /n. Tale distribuzione per n sufficientemente 

grande può essere approssimata con la distribuzione normale avente la stessa media () e 

la stessa varianza (/n) della Poisson relativa. 

La statistica 

n 

i1 

statistica sufficiente per p, quindi 

X i (e qualsiasi altra trasformazione biunivoca della stessa) è una 

= X 

è uno stimatore sufficiente, essendo funzione 

di tale statistica sufficiente, e corretto di , quindi, il suo EQM coincide con la varianza e 

raggiunge il limite di Cramér-Rao; infatti: 

da cui 

I 

 

 

 

E 

 

E 

 

n 

 

i1 

d 

d 

S 

 

X 

i 

 

 

d 1 

 

E 

d 

 

2 n 

/ 

 

n 

 

i1 

X 

i 

 

n 

1 Si segnala che l’utilizzo della simbologia che prevede le maiuscole per indicare le variabili casuali e le minuscole 

per indicare le determinazioni assunte dalle stesse non viene sempre rispettato quando manca il corrispondente 

simbolo maiuscolo per specifici caratteri minuscoli, ad esempio si utilizza lo stesso simbolo per indicare sia la 

2 

stima che lo stimatore di , per indicare sia la stima che lo stimatore di , per indicare sia la stima che 

lo stimatore di 

2 

. 

191




3. Stima 

1 

I 

p 

 

 

n 

che è uguale alla varianza di X ; pertanto, lo stimatore di massima verosimiglianza 

X 

Inoltre, 

è in assoluto lo stimatore migliore di nella classe degli stimatori corretti. 

X 

è consistente in senso forte, dato che: 

n n 0 

 

Lim EQM X Lim Var X Lim . n 

n n n 


debole per . 

V.C. Normale 

La log-verosimiglianza della v.c. Normale è data da: 

l 

n 

2 

2 

, 

log 

f xi 

; , 

 

n 

log 

2 

i1 

n 

2 

 

i1 

2 

2 

 

log x 

 

 

1 

2 

n 

n 

 

2 

i1 

log 

i 

X 

1 

2 

2 

2 

è anche consistente in senso 

Poiché la log-verosimiglianza dipende da 2 parametri è possibile distinguere quattro 

diverse situazioni di stima: 

di ; 

di 

di 

2 

 

2 

 

con noto 

simultanea di 

con incognito 

; 

2 

e 

. 

; 

e 

1 

 

2 

 

2 

 

xi 

 

 

2 

 

Stima di 

Per quanto concerne la stima di 

 

non è stata specificata l’eventuale conoscenza del 

2 

parametro in quanto non influente; infatti, se si considera la funzione score, che si 

ottiene come più volte specificato derivando ed eguagliando a 0 la log-verosimiglianza 

rispetto al parametro d’interesse si ha: 

1 

S() = – 

2 

2 

n 

i1 

2(x i – )(–1) = 

1 

2 

 

n 

( 

i1 

x i – n) = 0 ~ 

n 

= n 1 

pertanto lo stimatore di massima verosimiglianza di è la media campionaria 

 

= X 

= 

1 

n 

n 

X i. 

i1 

i1 

x i = x . 

192




3. Stima 

Come si è già avuto modo di verificare 

e varianza 2 /n. 

sufficiente 

n 

X i 

i1 

X 

X 

, si distribuisce normalmente con media 

, è uno stimatore sufficiente, perché basato sulla statistica 

, corretto ed il più efficiente nella classe degli stimatori corretti di 

infatti se si considera il limite della disuguaglianza di .Cramér-Rao 

si ha 

che è uguale alla varianza di 

Inoltre 

X 

quella debole, X 

Stima di 2 con nota 

La funzione score è data da 

S( 2 ) = – 

I() = –E 

X 

 

dS 

 

d 

. 

 

 

 

= –E( 

1 

2 

 

1/I() = 2 /n 

(– n)) = n/ 2 , 

è consistente in senso forte per ; poiché la consistenza forte implica 

è anche consistente in senso debole per . 

n 

2 

2 

+ 

1 

2 

4 

n 

i1 

~ 

(x i – ) 2 = 0 2 

= 

n 

1 

n 

Questo significa che lo stimatore di massima verosimiglianza di 

2 ~ = 

2 

* S * 

= 

n 

1 

n 

i1 

(X i – ) 2 , 

detta varianza campionaria con nota. 

Come già visto nel Cap. 2 la distribuzione campionaria di 

~ 2 

n 

2 

 

2 

nS** 

 

2 

 

 

n 

 

i1 

è di tipo Chi-quadrato con n gradi di libertà 

rispettivamente pari ad n e a 2n, cioè 

da cui deriva: 

E 

 

~ 2 

 

 

E 

nS 

 

2 

** 

2 

 

 

 

X i 

 

n 

 

 

 

2 

 

 

= n Var 

nS 

 

2 

** 

2 

2 

i1 

(x i – ) 2 = 

2 

 

è 

2 

* s * 

la cui media e varianza sono 

 

= 2n, 

 

=E( S ) = 2 2 

Var( ~ ) =Var( S 

2 

* * 

Pertanto la varianza campionaria 

~ 2 

= 

2 

* S * 

di 2 perché basato sulla statistica sufficiente 

2 

* * 

) = 2 4 /n. 

è uno stimatore corretto e sufficiente 

n 

 

i1 

X i 

2 

ed il più efficiente 

nell’ambito degli stimatori corretti come si verifica facilmente attraverso il computo del 

limite fissato dalla disuguaglianza Cramér-Rao. 

. 

193

da cui 




3. Stima 

I( 2 ) = –E 

 

2 

dS 

 

2 

d 

che è uguale alla varianza di 

Inoltre, 

~ 2 = 

2 

S ** 

 

 

 

 

= –E( 

~ 2 

. 

n 

4 

2 

– 

1 

2 

6 

n 

i1 

1/I( 2 ) = 2 4 /n 

(x i – ) 2 ) = – 

è consistente in senso forte per 2 , dato che 

 

2 2 2 

n 

n 

n n n 

n 

4 

2 

4 

 

Lim EQM LimVar Lim 0 n 

. 

+ 

n 

4 

 

= 

n 

4 

2 


senso debole per 2 . 

2 ~ = 

2 

S ** 

è anche consistente in 

Stima congiunta di e 2 

Nel caso in cui si voglia stimare la varianza, ma non è noto il valore assunto da , non si 

può procedere come indicato al punto precedente poiché nell’espressione 

n 

1 

n 

i1 

(X i – ) 2 è presente che non è noto e che non interessa ai fini della stima di 2 . 

Il parametro incognito e non di interesse ai fini della stima viene detto parametro di 

disturbo; disturbo che può essere facilmente eliminato procedendo ad una sua stima che 

pur non interessando direttamente è strumentale all’obiettivo che si vuol perseguire che 

è, appunto, quello della stima di . Piuttosto che trattare questo problema, facilmente 

risolvibile se si considera quanto detto ai due punti precedenti, si procede alla risoluzione 

2 

 

del problema della stima congiunta di entrambi i parametri e 

Se entrambi i parametri e 2 sono incogniti, le funzioni score eguagliate a zero per i 

due parametri sono quelle considerate in precedenza: 

s() = 

s( 2 ) = – 

1 

2 

 

n 

2 

2 

+ 

n 

( 

i1 

1 

2 

4 

x i – n) = 0, 

 

n 

i1 

(x i – ) 2 = 0. 

risolvendo il sistema rispetto ai due parametri incogniti si ottengono le stime: 

n 

~ = x = n 1 

i1 

x i 

n 

2 ~ = 1 n 

 

i1 

2 

 

. 

(x i – x ) 2 = 

Gli stimatori di massima verosimiglianza di è di 2 sono quindi 

~ 

n 

= X = 1 n 

 

i1 

X i 

2 ~ = 

cioè, la media campionaria e la varianza campionaria. 

2 

S * = 1 n 

n 

 

i1 

2 

s * 

. 

(X i – X ) 2 , 

~ 2 

= 

2 

* S * 

= 

194




3. Stima 

Le statistiche 

n 

i1 

X i e 

n 

 

i1 

2 

X i 

(e qualsiasi altra trasformazione biunivoca di tale 

coppia) sono congiuntamente sufficienti per e 2 (per verificare tale risultato basta 

svolgere il quadrato nel termine 

conseguenza 

~ 

= 

X 

e 

~ 2 

= 

2 

S * 

n 

 

i1 

funzione di statistiche congiuntamente sufficienti. 

Per quanto detto nel Cap. 2, risulta che: a) le due v.c. X 

indipendenti; b) X 

inoltre, la v.c. 

è una stima corretta di mentre 

nS 

 

2 

* 

2 

(x i – ) 2 e operare le relative somme). Di 

sono stimatori congiuntamente sufficienti, essendo 

n 

= 

i1 

 

 

 

X i 

2 

S * 

X 

 

 

 

ha distribuzione del tipo chi-quadro con n-1 gradi di libertà 

Per le proprietà della v.c. Chi-quadrato 

da cui 

E( 

E 

2 

S * 

nS 

 

 

) = 

2 

* 

2 

 

 

 

= n – 1 Var 

n 1 

 

2 

n 

Var ( 

2 

nS 

 

 

2 

S * 

e 

2 

S * 

sono fra loro 

è una stima distorta di 

2 

* 

2 

 

 

 

2 

n1 

. 

= 2(n – 1) 

) = 2 4 n 1 

2 . 

n 

2 

Essendo S * uno stimatore distorto di 2 , il teorema di Cramér-Rao non si applica 

perché viene a cadere una delle ipotesi fondamentali dello stesso. Comunque, poiché 

2 

* 

EQM( S ) = 4 (2n – 1)/n 2 tende a 0 per n → ∞, 

2 

 

2 

S * è uno stimatore consistente in 

senso forte. Dato poi che la consistenza forte implica quella debole, 

2 

S * 

; 

è anche 

consistente in senso debole per 2 . Inoltre, per quanto esposto nel capitolo precedente, 

è invece stimatore corretto di 

Poiché la v.c. 

2 

 

S 2 = 

2 

n1 

S 

2 

 

la varianza campionaria corretta 

1 

n 1 

n S 

2 

* 

= 

2 

 

n 

 

i1 

(X i – X ). 

n 

= 

i1 

 

 

 

X i 

X 

 

 

 

ha distribuzione di tipo chi-quadro con n-1 gradi di libertà con media e varianza 

ne risulta 

 

 

n 1 

S 

2 

 

E 

= n – 1 Var 2 

 

 

2 

 

 

 

 

n 1 

S 

2 

 

2 

= 2 (n – 1), 

195




3. Stima 

E(S 2 ) = 2 Var (S 2 ) = 2 4 /(n – 1). 

Lo stimatore (non di massima verosimiglianza) S 2 è, quindi, uno stimatore corretto e 

sufficiente di 2 ma non raggiunge il limite di Cramér-Rao sopra individuato 1/I( 2 ) = 

2 4 /n che è inferiore alla varianza dello stimatore S 2 che è pari a 2 4 /(n-1). La 

differenza rispetto al limite di Cramér-Rao è, comunque, esigua e diminuisce rapidamente 

al crescere di n. Infine, risulta facile verificare che S 2 è uno stimatore consistente in 

senso forte, e, quindi, anche in senso debole, di 2 . 

V.C. Gamma 

La log-verosimiglianza della v.c. Gamma con parametri e è data da 

n 

l(, ) = 

i1 

log f(x i ; , ) = 

che dopo alcune semplificazioni diviene 

n 

i1 

log 

 

 

1 

 

 

 

 

x i 

 

 

x 1 

i 

e 

n 

n 

1 

l , n log nlog 1 log x x 

 

 

i 

i1 i1 

Per ricavare le stime di massima verosimiglianza di e occorre derivare rispetto ad 

entrambe le variabili, ottenendo le due componenti del vettore score, ed uguagliarle a 0. 

 

 

' 

s() = – n log – n 

 

s() = – 

n 

 

+ 

1 

2 

 

n 

+ 

n 

 

i1 

i1 

x i = 0. 

log x i = 0, 

Dalla seconda relazione si ricava in funzione di , tuttavia, sostituendo tale risultato 

nella prima equazione, la funzione gamma ivi coinvolta non consente la derivazione 

analitica di , il che significa che non si possono derivare analiticamente le stime di 

massima verosimiglianza 

anche se, osservando la formula della logverosimiglianza 

si conclude che le statistiche 

~ 

e 

~ 

n 

i1 

n 

log x i e 

i1 

 

 

i 

x i (e qualsiasi altra 

trasformazione biunivoca di tale coppia) sono congiuntamente sufficienti per e . Di 

conseguenza, anche se non si riesce a ricavare l’espressione analitica di ~ e ~ , tali 

stimatori esistono e sono stimatori congiuntamente sufficienti. 

Questa situazione, apparentemente anomala, si incontra in realtà nella generalità dei 

casi; infatti, solo pochi modelli statistici, fra i quali quelli visti in precedenza, consentono 

di esplicitare analiticamente la formula degli stimatori, di ricavarne l’esatta distribuzione 

campionaria e di derivare il valore degli indici caratteristici quali media, varianza e EQM. 

Quando non è possibile derivare l’espressione analitica degli stimatori di massima 

196




3. Stima 

verosimiglianza si procede, usualmente, alla massimizzazione della verosimiglianza 

tramite algoritmi iterativi, implementati su calcolatore, che trovano valore in 

corrispondenza del massimo per approssimazioni successive iniziando da un punto di 

partenza (starting point). 

3.2.3 Proprietà degli stimatori di massima verosimiglianza 

Da quanto visto ai punti precedenti, gli stimatori di massima verosimiglianza cui si è 

pervenuti godono di buone proprietà. Ci si deve ora domandare se in tutte le situazioni 

(per tutti i modelli) è possibile pervenire agli stessi risultati, la risposta non è affermativa: 

le proprietà degli stimatori di massima verosimiglianza, per campioni di dimensione 

finita, vanno valutate caso per caso, anche se, generalmente, tali stimatori godono di 

buone proprietà che vengono di seguito richiamate. 

Invarianza - Si dimostra che se 

 

è lo stimatore di massima 

verosimiglianza di allora g( ) è lo stimatore di massima verosimiglianza 

di g(). In altri termini per stimare tramite massima verosimiglianza una 

qualche trasformazione di un parametro già stimato basta prendere la stima 

precedente e trasformare questa allo stesso modo. Ad esempio: nel modello 

normale la stima di massima verosimiglianza di è la radice quadrata di 

~ 2 

; oppure nel modello di Poisson la stima di massima verosimiglianza di 

1/ è 1/ ~ . 

Sufficienza - Se esistono delle statistiche sufficienti allora gli stimatori di 

massima verosimiglianza sono funzione di questi e pertanto sono stimatori 

sufficienti. Questa proprietà è una conseguenza del criterio di 

fattorizzazione; infatti se esistono stimatori sufficienti allora la logverosimiglianza 

è la somma di due componenti, una dipende solo dal 

parametro e dalle statistiche sufficienti, l’altra solo dal campione 

Efficienza “per campioni finiti” - Si dimostra che se esiste uno stimatore 

corretto la cui varianza è pari al limite di Cramér-Rao, allora il metodo della 

massima verosimiglianza individua “automaticamente” tale stimatore. 

Efficienza asintotica - Si dimostra che sotto condizioni molto generali di 

regolarità, lo stimatore di massima verosimiglianza è asintoticamente 

(cioè per n → ∞) efficiente, cioè: 

- è asintoticamente corretto lim E( ) = ; 

n 

- la sua varianza tende al limite di Cramér-Rao che a sua volta tende a 0 

lim 

n 

Var ( ) = dove 

n 

 

I 

n 

; indica l’informazione di Fisher; 

- poiché di norma tende a 0 per n → ∞ ne deriva come conseguenza 

la consistenza in senso forte e quindi anche in senso debole. 

197




3. Stima 

Normalità asintotica - Si dimostra che 

 

N 

lim n I 

0,1 

n 

pertanto, per n sufficientemente elevato 

n 

n 

ha distribuzione 

approssimativamente normale con media il vero valore di e varianza pari 

al limite inferiore di Cramér-Rao, in simboli 

n 

≈ N[, 1/I()]. 

Per caratterizzare le ultime due proprietà asintotiche è stato introdotto l’acronimo 

BAN(E) (Best Asymptotically Normal Estimator) o anche CAN(E) (Consistent 

Asymptotically Normal Estimator). 

3.2.4 Altri metodi di stima 

Oltre al metodo di stima della minimizzazione dell’EQM e della massima verosimiglianza, 

molti altri metodi di stima sono stati proposti in letteratura: il metodo dei momenti, il 

metodo della minima distanza, il metodo del minimo 2 ecc. In seguito si parlerà 

diffusamente del solo metodo dei minimi quadrati (minimizzazione dell’EQM nella 

classe ristretta degli stimatori lineari e corretti), nei punti seguenti si procederà, invece, 

ad una sintetica illustrazione degli altri metodi richiamati. 

Metodo dei momenti 

r 

Se con E[ 

X ] si indica il momento r-esimo di una v.c. X, la cui funzione di densità o 

r 

di massa di probabilità 

f 

 

x; 

 

è funzione nota dei k parametri 

 

e 

 

momento campionario risulta essere 

 

 

1, 2,...., k 

 

, nella generalità dei casi 

E[ 

X 

,..., 

r 

r 1 k 

. Dato che il corrispondente 

M r 

1 

n 

uguaglianza (momenti empirici = momenti teorici) 

M 

r 

r 

 

,..., 

1 

k 

 

 

X 

r 

, si impongono le k relazioni di 

con r = 1,…, k 

ne risulta, quindi, un sistema di k equazioni in k incognite che risolto (quando 

possibile) fornisce la stima dei momenti dei k parametri incogniti 

 

 

1, 2,...., k 

Esempio 3.1 

Sia 

X 1,...,X n 

2 

, 

 

1 2 

, 

' 

 

. 

ˆ1,..., ˆ 

un campione casuale da una distribuzione con media μ e varianza σ 2 . Siano 

. Stimando i parametri con il metodo dei momenti le equazioni cui si perviene 

sono: 

M 

M 

1 

2 

1 

 

2 

, 

 

2 2 2 

, 

 

2 

k 

r 

r 

] 

198




3. Stima 

e la soluzione è: 

ˆ x 

2 1 

ˆ 

n 

n 

 

i1 

2 

x x 

i 

Esempio 3.2 

Sia 

X 1,...,X n 

un campione casuale da una distribuzione di Poisson con parametro λ. Poiché un 

solo parametro caratterizza la distribuzione, allora il metodo dei momenti suggerisce 

banalmente la seguente soluzione: 

ˆ x 

Il metodo dei momenti, seppur ragionevole, non è in generale un buon metodo per la 

derivazione degli stimatori; infatti, nei casi in cui applicando il metodo dei momenti si ottengono 

stimatori con buone proprietà, allo stesso risultato si può usualmente pervenire attraverso 

l’impiego di un diverso metodo di stima. Al riguardo, si deve comunque segnalare che, in talune 

situazioni, è l’unico metodo applicabile. 

Metodo del minimo chi-quadro 

Sia un campione casuale estratto da una densità 

X 

1,..., 

X n 

del campo di variazione di X. La probabilità 

S della partizione è data da 

j 

nell’intervallo 

S j 

(ovviamente con n 

( ) p j 

p 

j 

( ) f ( x; ) 

dx 

S j 

k 

N j 

j1 

 

2 

 

k 

 

j1 

f( x; ) 

, e sia 

S 

1,..., 

S k 

una partizione 

che un’osservazione appartenga all’intervallo 

. Si indichino con N j il numero di X i che cadono 

), e si costruisca la sommatoria 

[ n 

j 

n p 

n p 

j 

j 

( )] 

dove n j è il valore osservato di N j . Il numeratore dei termini della sommatoria altro non è che il 

quadrato dello scarto tra il numero osservato e quello atteso di determinazioni che cadono 

( ) 

nell’intervallo S j . La stima del minimo chi-quadro di θ è il valore ˆ che minimizza 

quel valore di che, mediamente, rende il numero atteso di osservazioni nell’intervallo 

vicino possibile ” al numero realmente osservato. 

Il metodo risente, ovviamente, dell’arbitrarietà della partizione 

2 

S 

1,..., 

S k 

adottata. 

2 

 

. È, cioè, 

S j 

“più 

Esempio 3.3 

Sia X 1 ,...,X n un campione casuale da una distribuzione di Bernoulli di parametro p. 

Poiché il campo di variazione di X consiste unicamente nei due valori 0 e 1 allora, 

1 [ n 

2 

 

j0 

j 

n p 

n p 

j 

p 

p 

2 

[ n n1 

n(1 

p)] 

 

n(1 

p) 

j 

] 

2 

[ n 

 

[ n 

 

1 

0 

n(1 

p)] 

n(1 

p) 

n p] 

np 

2 

2 

[ n 

 

1 

[ n 

 

n 

1 

np] 

np 

2 

n p] 

2 

1 

 

p (1 p) 

199

Dato che 




3. Stima 

2 0, in questo caso si può individuare il minimo in modo diretto osservando che 

2 0 se ˆ n n . Si osservi che in questo esempio la partizione 

p 

1 

S 

1,..., 

S k 

poteva essere scelta 

in un unico modo, e che lo stimatore trovato è lo stesso di quello che si sarebbe ottenuto col 

metodo dei momenti o con quello della massima verosimiglianza. 

Poiché può risultare difficile individuare il punto di minimo di 

il denominatore 

n p 

j 

p 

2 

 

direttamente con il valore osservato 

, ottenendo il cosiddetto chiquadro 

modificato. La stima del minimo chi-quadro modificato è allora quel 

2 

 

modificato. 

, si preferisce talvolta sostituire 

n j 

ˆ 

che minimizza il 

Metodo della minima distanza 

Sia 

X 

1, X 

2,..., X 

n 

un campione casuale estratto dalla distribuzione 

Fx ( ; ) 

, e sia d(F,G) una 

funzione che misura la distanza che intercorre tra due funzioni di ripartizione F e G (ad esempio, 

d( F, G) sup F( x) G( x) 

misura la massima distanza verticale tra F e G). 

x 

La stima di minima distanza di θ è quel valore tra tutti i possibili in 

dove 

d( F( 

x), 

F ( x)) 

n 

 

che minimizza 

F n 

(x) è la funzione di ripartizione campionaria o empirica. Lo stimatore di 

minima distanza è intuitivamente attraente ma è spesso di difficile derivazione essendo 

problematico minimizzare 

. 

d( F, F ) sup F( x) F ( x) 

n 

x 

n 

Esempio 3.4 

Sia 

X 1,...,X n 

un campione casuale da una distribuzione di Bernoulli di parametro p. Allora, 

F( x; 

p) 

(1 p) 

I 

0,1) 

( x) 

I[1, 

) 

( 

[ 

x 

Sia n j = numero di osservazioni uguali a j (j = 0,1). Allora 

n0 

F n 

x; 

p) 

I 

[0,1) 

( x) 

I[1, 

n 

Se si usa la funzione di misura della distanza 

d ( F( x), Fn 

( x)) 

( ) 

n0 

risulta minimizzata per 1 

pˆ 

, cioè 

n 

( x) 

d( F, G) sup F( x) G( x) 

x 

pˆ 

) 

n 

1 

n 

. 

3.3 - Stima statistica di intervallo (intervalli di confidenza) 

Nelle pagine precedenti è stato considerato il problema della scelta del “migliore” 

stimatore puntuale di uno o più parametri incogniti , sulla scorta di un campione di 

osservazioni. E' stato detto che se il metodo di stima adottato possiede, nell'universo dei 

campioni, determinate proprietà, si può presumere che il valore effettivo ottenuto sia 

“abbastanza prossimo” al valore incognito che si vuol stimare. Comunque un singolo 

numero non dà nessuna indicazione sulle probabilità che la stima ottenuta assuma un 

200




3. Stima 

valore prossimo al vero valore del parametro incognito. Con il metodo di stima di 

intervallo si supera questo inconveniente, infatti, la sua applicazione fornisce 

informazioni sia sul valore numerico del parametro incognito che sul grado di 

attendibilità (intesa in senso probabilistico) della stima stessa. 

La procedura della stima mediante intervalli (di confidenza) consiste nella 

determinazione, sulla scorta delle informazioni campionarie, di due statistiche L 1 (limite 

inferiore) e L 2 (limite superiore) in modo da soddisfare la relazione 

P (L 1 L 2 ) = 1 - per 0 < < 1 

dove L 1 = T 1 (X 1 ,X 2 ,…,X n ) e L 2 = T 2 (X 1 ,X 2 ,…,X n ) (L 1 < L 2 ) sono, nell'universo dei 

campioni, variabili casuali in quanto funzioni degli n elementi campionari, e (1-) 

(usualmente pari a 0,95, 0,99 e 0,999) è il così detto livello di confidenza. Un livello di 

confidenza ad es. pari a 0,95 sta ad indicare che su 100 campioni 95 generano intervalli 

che includono il vero valore del parametro incognito. Evidentemente nelle situazioni reali 

si disporrà di un solo campione, e quindi di una sola determinazione , 

dell'intervallo casuale di confidenza 

 

L1 , L 2 

 

 

l 

1 

, l 2 

, che potrà essere uno dei 95 sui 100 

includenti o uno dei 5 su 100 che non lo includono. Pertanto, relativamente 

non si potrà dire che lo stesso ha probabilità 1- di contenere al suo 

all’intervallo 

l 

, 

1 

l 2 

interno il vero valore del parametro incognito , o lo contiene, allora la probabilità è pari 

ad 1, o non lo contiene, allora la probabilità è 0; da tale constatazione deriva anche la 

dizione, per 1- , di livello di confidenza e non di livello di probabilità. 

Ogni intervallo di stima risulta, quindi, caratterizzato da due elementi essenziali: 

1. l’affidabilità o attendibilità, misurata dal livello di confidenza; 

2. l’informatività, misurata dall’ampiezza dell’intervallo. 

Ovviamente, l’obiettivo da perseguire è quello dell’individuazione di intervalli molto 

affidabili ma di ampiezza modesta. Purtroppo, livello di confidenza e ampiezza 

dell'intervallo sono in relazione diretta; cioè, all'aumentare dell'attendibilità della stima (di 

intervallo) aumenta anche la sua ampiezza e, quindi, diminuisce la sua capacità 

informativa. Non sarà quindi possibile, nella determinazione di un intervallo di stima, 

perseguire il duplice obiettivo di massimizzazione del livello di confidenza e di 

minimizzazione dell’ampiezza dell’intervallo. Un modo per ridurre l'ampiezza degli 

intervalli, a parità di livello di confidenza (o aumentare il livello di confidenza a parità di 

ampiezza degli intervalli) è naturalmente quello di aumentare la dimensione del 

campione. 

L’ultima considerazione svolta suggerisce una possibile via operativa per il 

perseguimento simultaneo del duplice obiettivo: si fissano a priori, sia il livello di 

confidenza sia l’ampiezza massima dell’intervallo, per poi procedere alla determinazione 

della dimensione campionaria necessaria e che consente il perseguimento del duplice 

obiettivo. Comunque, la procedura usualmente seguita è quella basata sulla fissazione del 

livello di confidenza 1- con la conseguente individuazione dell’intervallo di ampiezza 

 

201




3. Stima 

minima (intervallo ottimale). 

Verranno considerati ora alcuni problemi specifici di determinazione degli intervalli di 

confidenza. Si segnala in proposito che la procedura seguita è quella basata 

sull’elemento pivotale, dove per elemento pivotale s’intende una qualunque funzione 

degli elementi campionari e del parametro incognito di interesse la cui distribuzione 

campionaria è completamente nota, ed essendo completamente nota non può dipendere 

da il cui valore è incognito; in altre parole, l’elemento pivotale dipende da ma non 

dipende da la sua distribuzione. Quanto affermato può essere espresso dalla 

definizione che segue. 

Definizione 9 (Elemento pivotale): Sia X una v.c. con funzione di massa o di densità 

f(x; ), dove , e sia X = (X 1 , …, X n ) un campione casuale semplice 

bernoulliano estratto da X. Allora un pivot (o cardine) è una quantità 

Q( X ; ) che possiede le seguenti caratteristiche: 

1. è funzione del campione X = (X 1 , …, X n ); 

2. è funzione di (il parametro di cui si vuol trovare l’intervallo di confidenza); 

3. non contiene altri parametri incogniti oltre a ; 

4. la sua distribuzione è completamente nota; 

5. è invertibile rispetto a . 

Θ 

La procedura per la determinazione di un intervallo di confidenza attraverso il metodo 

dell’elemento pivotale si articola nei passi sotto riportati: 

1. si individua un pivot Q( X ; ) per il problema in analisi; nella generalità dei casi, 

la via più facile per individuare l’elemento pivotale è quella che prende avvio da 

uno stimatore puntuale , se possibile ottimale, del parametro incognito 

rispetto al quale si vuol determinare l’intervallo di confidenza; 

2. si fissa il livello di confidenza 1–; 

3. si determina l’intervallo di ampiezza minima (il più informativo) [c 1 , c 2 ] all’interno 

del quale il pivot è compreso con probabilità pari al livello di confidenza scelto, 

cioè P[c 1 Q ( X ; ) c 2 ] = 1–; 

4. si inverte la relazione c 1 Q( X ; ) c 2 rispetto a in modo da ricavare 

l’intervallo di confidenza cercato per , che quindi soddisferà 

P[L 1 ( X ) L 2 ( X )] = 1–. 

ˆ 

3.3.1 Intervallo di confidenza per la media di una variabile casuale normale con 

varianza nota. 

Sia x 1 , x 2 ,...,x n , una specifica determinazione di un campione casuale 

 

' 

 

X X 

1, X 

2, ... , X 

n 

estratto da una popolazione distribuita normalmente con media µ 

202




3. Stima 

2 

incognita e varianza σ nota; si voglia determinare un intervallo di confidenza per la 

media µ. 

La variabile media campionaria 

1 

X 

n 

n 

X i 

i1 

ha, nell'universo dei campioni, distribuzione normale con media µ e varianza 

variabile standardizzata della X 

X - 

Z ~ N0,1 

/ n 

 

σ 2 /n 

è elemento pivotale in quanto funzione degli elementi campionari, del parametro 

incognito ed ha una distribuzione normale , completamente nota, di media 0 e varianza 

pari ad 1; si potranno, allora, sulla scorta delle tavole della distribuzione normale 

standardizzata, determinare due valori c 1 e c 2 tali che 

P (c 1 Z c 2 ) = 1- 

si scelgono per c 1 e c 2 valori simmetrici, cioè c 2 = - c 1 = c = , comportando questi 

valori l’individuazione dell’intervallo di ampiezza minima a ragione della simmetria e 

dell’accentramento dei valori intorno alla media della distribuzione normale. Per tali 

motivi, l’intervallo ottenuto è quello più informativo. 

In tal caso, per quanto detto in precedenza, se si scegliesse ad esempio, = 0,05 si 

avrebbe c 1 = - 

z 2 

= -1,96 e c 2 = 

perfettamente equivalente alla relazione 

z 2 

z α 2 

. La 

= 1,96. L'uguaglianza sopra scritta è 

 

P X - z / n X z / n 1- 

2 2 

Per = 0,05 si avrebbe quindi l'intervallo di confidenza 

 

P X -1,96 / n X 1,96 / n 0,95 

Esempio 3.5 

Il peso medio alla nascita relativo ad un campione di 200 animali è risultato pari a 0,824 

grammi. Sapendo che lo scostamento quadratico medio della variabile (approssimativamente 

normale) peso alla nascita è gr. 0,042, si vogliono determinare gli intervalli di confidenza (ai 

livelli del 95% e del 99%) per l'indice caratteristico µ (peso medio). 

Applicando la formula sopra riportata si ha 

 

P X 1,96 0,042 / 200 X 1,96 0,042 / 200 0,95 

 

 

203




3. Stima 

e quindi l'intervallo 

0,8182 μ 

0,8298 

Per = 0,01 si ha 

 

P X - 2,58 0,042 / 200 X 2,58 0,042 / 200 0,99 

 

 

e quindi l'intervallo 

0,8153 µ 0,8317 

Si noti come all'aumentare del livello di confidenza sia cresciuta, di conseguenza, l'ampiezza 

dell'intervallo, e come questa diminuirebbe (a parità di livello di confidenza) se si aumentasse 

la numerosità del campione. 

3.3.2 Intervallo di confidenza per la media di una variabile casuale normale con 

varianza incognita. 

Se ci si trova nella situazione espressa nel punto precedente, supponendo però incognita 

la varianza, l'intervallo di confidenza sopra individuato non potrà più essere utilizzato; 

infatti, nei due limiti, inferiore e superiore, dell'intervallo compare lo scostamento 

quadratico medio incognito della popolazione (parametro di disturbo). Il problema della 

determinazione dell'intervallo di confidenza può essere risolto sostituendo, allo 

scostamento quadratico medio incognito una sua stima campionaria. 

Se si stima mediante la formula 

la variabile casuale 

n 

1 

S X X 

n 1 

i1 

X - 

V 

S / 

2 

i 

 

μ 

~ t 

n 

ha una distribuzione del tipo t di Student con n - 1 gradi di libertà. Infatti, per quanto 

detto nelle pagine precedenti, tale variabile resta definita dal rapporto tra la variabile 

casuale normale standardizzata 

per i rispettivi gradi di libertà 

n1 

 

X - μ 

Z e la radice della variabile casuale 2 divisa 

σ / n 

n 

2 

Xi 

X 1 

n S S 

σ σ σ 

2 2 

i1 

Y / (n1) / (n1) 

 

2 2 2 

La variabile V sopra definita è elemento pivotale in quanto funzione degli elementi 

campionari, del parametro incognito ed ha distribuzione campionaria completamente 

nota. 

. 

204




3. Stima 

Mediante l'uso delle tavole si potranno allora determinare due valori c 1 e c 2 tali che 

P (c 1 V c 2 ) = 1 - 

Se si sceglie un intervallo simmetrico, cioè c 2 = - c 1 = c = , comportando questi 

valori l’individuazione dell’intervallo di ampiezza minima a ragione della simmetria e 

dell’accentramento dei valori intorno alla media della distribuzione t di Student, 

seguendo lo schema di ragionamento adottato sopra, si ha 

t α 2 

 

P X - t S / n μ X t S / n 1- 

2 2 

 

dove, naturalmente, il valore numerico di c dovrà essere individuato sulle tavole della 

distribuzione t in corrispondenza del prefissato livello di confidenza 1- e degli n -1 

gradi di libertà. 

Esempio 3.6 

Avendo somministrato ad un campione casuale di cavie una particolare dieta, dalla nascita 

fino all'età di tre mesi, ed avendo riscontrato i seguenti incrementi nel peso: 55, 62, 54, 57, 65, 

64, 60, 63, 58, 67, 63 e 61 grammi; si vuol determinare un intervallo di confidenza, al livello 

del 95%, relativamente all'incremento medio di peso. 

Attribuendo al caso le differenze riscontrate negli aumenti di peso, si potrà presumere normale 

la popolazione teorica di tutte le cavie sottoponibili a quella particolare dieta. In questo caso 

l'intervallo simmetrico di confidenza può essere derivato dall'uguaglianza. 

X t S n X t S n 

P - / / 1- 

/2 /2 

dove, rispetto alla formula sopra definita, è stato sostituito al simbolo c il simbolo 

indicare che si sta trattando di un intervallo simmetrico il cui livello di confidenza è pari a 1 - 

e che la distribuzione campionaria di riferimento è la t di Student. 

Sulle tavole della distribuzione t , in corrispondenza di 12 - 1 = 11 gradi di libertà e per = 

0,05 si trova t /2 

t0,025 

2,20 ( dove 2,20 è il valore che soddisfa la relazione P(t 2,20) = 

F (2,20) = 0,975) si avrà allora 

X t S X t S 

P - / 12 / 12 1- 

/2 /2 

Poiché la stima della media e della varianza corretta dell'incremento medio di peso riscontrato 

nelle dodici cavie sono rispettivamente pari a 60,75 e 16,38 risulta l'intervallo di confidenza 

cioè 

60,75 - 2,20 16,38 12 60,75 2,20 16,38 12 

58,17 µ 63,32. 

3.3.3 Intervallo di confidenza per la varianza di una variabile casuale normale con 

media incognita 

Se si vuol procedere alla determinazione di un intervallo di confidenza per la varianza di 

t α/ 2 

per 

205




3. Stima 

una variabile casuale normale con media incognita si consideri la variabile casuale 

2 n 

(n 1)S 

X 

i 

X 

V 

~ 

2 

 

σ 

i1 

σ 

che ha nell’universo dei campioni distribuzione del tipo 2 con n-1 gradi di libertà. Si 

tratta, quindi, di elemento pivotale essendo completamente nota la sua distribuzione e 

dipendendo solo dai valori campionari e dal parametro incognito di interesse 2 . 

Pertanto, utilizzando i valori riportati nelle tavole della distribuzione 2 si potranno 

determinare due valori c 1 e c 2 per i quali è soddisfatta la relazione 

. 

c 

V c 1 α 

P 

1 2 

 

Anche se l’intervallo che ne risulta non è di lunghezza minima, essendo la 

distribuzione 2 non simmetrica, c 1 e c 2 vengono scelti usualmente in modo simmetrico 

dove i simboli 

χ α 

e χ 

1 

/ 2 

α 

/ 2 

c 

 

c 

 

2 

2 

1 1 / 2 

, 

2 / 2 

2 

2 

n1 

stanno ad indicare i valori della variabile casuale 2 che 

hanno, rispettivamente, l’/2% dei casi a sinistra e l’/2% dei casi a destra. 

L’intervallo sopra scritto diventa 

 

P 

χ 

 

(n 

1)S 

 

2 

σ 

che è perfettamente equivalente all’intervallo 

(n 

1)S 

P 2 

χ 

 

 

1 

 

2 

2 

2 

1α/ 

2 

χ 

α/ 2 

 

α/ 2 

2 

 

σ 

2 

(n 1)S 

 

2 

χ 

1α/ 

2 

2 

α 

 

1 

α 

 

3.3.4 Intervallo di confidenza per la media di una variabile casuale con legge di 

distribuzione arbitraria. 

I metodi per la derivazione degli intervalli di confidenza illustrati, si riferiscono a 

campioni estratti da popolazioni aventi distribuzione normale; ragionamento analogo può 

essere fatto nel caso della distribuzione bernoulliana, della distribuzione di Poisson, ecc. 

Sembra naturale però chiedersi come determinare gli intervalli di confidenza relativi a 

parametri caratteristici di interesse quando non è nota la forma della distribuzione della 

popolazione cui si riferisce il campione di osservazioni disponibile. Se esistono le 

condizioni richieste dal teorema del limite centrale, nel caso in cui il parametro d'interesse 

è la media, la risposta è immediata; infatti, in tale situazione, la media campionaria avrà 

una distribuzione approssimativamente normale, potrà allora essere applicata la 

metodologia esposta nelle pagine precedenti. 

Ad esempio, se con X si indica il numero di successi osservabili in corrispondenza di un 

esperimento casuale replicato n volte, la variabile casuale X ha distribuzione binomiale, si 

potrebbe, pertanto, procedere alla determinazione degli intervalli di confidenza facendo, 

eventualmente, ricorso alle tavole della distribuzione binomiale. Ma, come già segnalato nelle 

206




3. Stima 

pagine precedenti, la variabile 

Z 

X np 

N 

npq 

per n abbastanza grande, dove naturalmente p è la misura delle probabilità di successo, 

ha una distribuzione approssimativamente normale con media 0 e varianza 1; quindi, per 

n abbastanza grande, la variabile X ha distribuzione approssimativamente normale con 

media n p e varianza n p q . Si ricorda in proposito che l'approssimazione è tanto 

migliore quanto più p è prossimo al valore 0,5. 

Per quanto sopra detto, utilizzando le tavole della distribuzione normale, risulta facile 

determinare il valore che soddisfa la relazione 

P ( - c Z c) = 1 - 

dove è un prefissato livello di confidenza. Infatti: 

 

P ( - c Z c) = P (Z 2 c 2 ) = 

P 

 

 

0,1) 

 

 

2 

 

 

X np 

P 

 

np 1 

p 

 

2 

c 

 

 

 

 

2 2 2 2 

( n c ) p ( 2X c ) p X / n 0 1 

Essendo positivo il coefficiente n + c 2 della disuguaglianza 

(n + c 2 ) p 2 - (2X + c 2 ) p + X 2 /n < 0 

p , p 

ne deriva che essa risulterà soddisfatta per valori di p interni all'intervallo 

p 1 

e p 2 

indicano le soluzioni dell'equazione di secondo grado 

(n + c 2 ) p 2 - (2X + c 2 ) p + X 2 /n = 0 

L’uguaglianza sopra scritta risulta pertanto equivalente alla relazione 

P (p 1 

p p 2 

) = 1- 

1 2 

; dove 

Se oltre ad n anche X ed (n - X) assumono valori sufficientemente elevati, le quantità 

p 1 

e p 2 

potranno essere derivate più semplicemente, ma in modo approssimato dalle 

uguaglianze 

X 

 

X X n n - X n X n n - X n 

p 

1 

z 

α 2 

; p 

2 

z 

α 2 

n n n n 

Esempio 3.7 

In una certa stazione sperimentale sono stati osservati 550 germogli di pisello, 420 dei quali 

presentavano colorazione verde (carattere dominante) mentre i rimanenti 130, colorazione 

gialla (carattere recessivo). Si vuol determinare un intervallo di confidenza, al livello del 95%, 

per la percentuale p di piselli verdi. 

Essendo n = 550 piuttosto elevato si potrà ricorrere all'approssimazione normale; dalle tavole 

di tale distribuzione risulta, come noto, che c = 1,96 è il valore che soddisfa l'uguaglianza 

P ( - c Z c) = 0,95 

quindi 

207




3. Stima 

 

 

2 

2 2 

2 2 

2 420 1,96 2 420 1,96 4 550 1,96 420 / 550 

p1 

 

2 

2 550 1,96 

 

 

2 

2 2 

2 2 

2 420 1,96 2 420 1,96 4 550 1,96 420 / 550 

p2 

 

2 

2 550 1,96 

pertanto l'intervallo di confidenza sarà 

0,73 p 0,80 

Qualora fossero state applicate le formule approssimate si sarebbe ottenuto 

p 1 = 0,7263 , p 2 = 0,7976. 

0,72637 

0,79724 

3.3.5 Intervalli simultanei di confidenza per la media e la varianza di una variabile 

casuale normale 

Sia x 1 , x 2 ,...,x n , una specifica determinazione di un campione estratto da una popolazione 

distribuita normalmente con media µ e varianza entrambe incognite; si vogliano 

determinare intervalli simultanei (regione) di confidenza per la media µ e per la 

σ 

varianza . 

Una prima possibilità di soluzione del problema è quella di utilizzare gli intervalli già 

determinati in precedenza: per la media µ in presenza del parametro di disturbo incognito 

σ 

2 

2 

e per la varianza 

σ 

2 

in presenza del parametro di disturbo incognito µ: 

 

P X - t S / n μ X t S / n - α 

α1 2 

 

α1 

2 

1 

1 

2 2 

1 2 1 

 

1 

2 2 

2 

χα 2/ 2 

χ1 α 2/ 

2 

(n )S (n )S 

P 

σ α 

 

 

Questa via deve essere esclusa per due ragioni fondamentali: 

1. la regione (intervalli simultanei) di confidenza che si ottiene combinando i 

due intervalli non è ottimale (non è di minima dimensione); 

2. i due intervalli casuali non sono indipendenti (presenza in entrambi gli 

intervalli della v.c. varianza campionaria), quindi, il livello di confidenza 

congiunto non è uguale al prodotto dei due livelli 

 

σ 

2 

1 

e 1 

. 

Se si tiene presente che, nella derivazione dell’intervallo di confidenza per la media, 

alla mancata conoscenza del parametro di disturbo 

stima puntuale corretta 

S 

2 

1 

 

n 1 

 

 

X 

i 

1 2 

2 

σ si è sopperito attraverso una sua 

X 

 

2 

208




3. Stima 

nella situazione in esame è forse più ragionevole pensare ad un diverso modo di 

eliminazione del “disturbo”, ad esempio, facendo ricorso non alla stima puntuale di 

ma ad una stima per intervallo. I due intervalli causali, che risultano anche indipendenti, 

da prendere in considerazione sono: 

 

P X - z σ / n μ X z σ / n 1- α 

α1 2 

 

α1 

2 

 

1 

2 2 

1 2 1 

 

1 

2 2 

2 

χα 2/ 2 

χ1 α 2/ 

2 

(n )S (n )S 

P 

σ α 

 

 

Se ora si considera che: 

 

P 

z 

 

X-μ 

 

σ / n 

z 

 

 

 

α 

 

P 

 

2 X-μ 

2 

 

z z 

 

 

α1 2 α 2 

1 

1 

1 

α1 

2 

α1 

2 

si ottiene la relazione funzionale (parabola): 

 

σ / 

2 

2 2 2 

2 

2 

X-μ z σ / n σ n X - μ / z 

α1 2 α1 

2 

che consente di tracciare i confini della regione di confidenza per µ e 

Nella Fig. 3.2 sono riportati gli intervalli simultanei di confidenza per µ e : il 

rettangolo in grassetto rappresenta la regione di confidenza ottenuta combinando i due 

intervalli cui si è pervenuti attraverso elaborazioni separate e per la quale non si è in 

grado di calcolare il livello 

essendo i due intervalli casuali non 

1 1 

 

 

 

1 

1 

indipendenti, mentre la determinazione simultanea, non solo consente di calcolare il 

1 1 

 

ma individua anche una regione di 

livello di confidenza 

1 

1 

confidenza di minore dimensione (quella racchiusa tra i due rami della parabola e le due 

linee che definiscono l’intervallo di confidenza per la varianza 

ottimale. 

2 

2 

σ 

2 

n 

2 

σ 

2 

. 

 

 

σ 

2 

σ 

) anche se non è quella 

2 

209




3. Stima 

2 

 

/n 

X-μ 

2 

z 

2 

α1 

2 

σ 

2 

(n 

 

2 2 

1 )s χ1 

α2/ 

2 

2 

s 

(n 

2 2 

1)s 

χα/ 

2 

x t / n x x t / n 

1 2 

s 

1 2 

s 

 

Fig. 3.2 – Intervalli simultanei di confidenza per la media e la varianza di una distribuzione 

normale 

3.3.6 Intervallo di confidenza per la differenza fra medie e tra proporzioni 

Partendo da considerazioni analoghe a quelle fatte nelle pagine precedenti, risulta facile 

verificare che l’intervallo di confidenza simmetrico per la differenza fra le medie e 

y 

di due distribuzioni normali con varianze note 

2 

x 

e 

2 

y 

, risulta dall’uguaglianza 

x 

 

2 2 2 2 

P X Y c 

x 

/ m y 

/ n x y X Y c 

x 

/ m y 

/ n 1 

 

 

dove 

X 

e 

Y 

sono le medie campionarie, m e n le numerosità dei due campioni casuali 

supposti indipendenti. La costante c dovrà essere determinata sulla scorta delle tavole 

della distribuzione normale, in corrispondenza del prefissato livello di confidenza 1- . 

L’elemento pivotale che ha consentito la derivazione dell’intervallo è: 

X Y 

 

 

m 

 

X 

 

 

n 

2 2 

x n 

Y 

 

 

 

~ N 0,1 

Nel caso in cui i due campioni casuali si riferissero a popolazioni normali aventi la 

stessa varianza incognita 2 , la formula per l’intervallo simmetrico di confidenza, per la 

differenza fra le medie è 

 

x 

e 

y 

210

dove 

X 

e 




3. Stima 

 

2 2 

( m 1) Sx 

( n 1) S 

y 1 1 

 

P 

X Y c 

 

x 

y 

 

m n 2 

m n 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 

( m 1) Sx 

( n 1) S 

y 1 1 

 

 

X Y c 

 

1 

 

m n 2 

m n 

 

 

 

Y 

sono le due medie campionarie; 

S 

e 

2 2 

x 

S y 

le due varianze campionarie 

(stime corrette di 2 ); m , n le numerosità dei due campioni. La costante c dovrà 

essere determinata in corrispondenza di m + n - 2 gradi di libertà, sulla scorta delle 

tavole della distribuzione t di Student, al prefissato livello di confidenza 1- . 

L’elemento pivotale che ha consentito la derivazione dell’intervallo è: 

dove S 

2 

 

1 n1 

 

X Y m S 

X Y x 

2 2 

2 2 

 

 

m n 

X Y 

X 

Y 

 

1 1 

S 

m 

n 

 

~ t 

mn-2 

 

1 x 

1 

 

mn2 

m S n S 

 

2 2 

y 

2 

Sy 

 

m n 2 

 

 

Analogamente a quanto detto sopra, l’intervallo di confidenza per la differenza fra 

proporzioni, qualora i campioni siano numerosi e p x , p y siano vicini a 0,5, è espresso 

dalla formula 

 

ˆ (1 ˆ ) ˆ (1 ˆ ) 

 

ˆ ˆ Px 

P P 

x y 

P 

y 

P Px Py c 

px py 

 

 

m n 

 

 

 

ˆ (1 ˆ ) ˆ (1 ˆ ) 

 

ˆ ˆ 

Py 

P 

 

Px 

P 

x 

y 

Px 

Py 

c 

 

1 

 

m n 

 

 

dove, al solito P ˆ e P ˆ sono le due proporzioni campionarie; p x e p y le proporzioni 

x 

y 

incognite delle popolazioni; m e n le numerosità dei due campioni. La costante c dovrà 

essere determinata, sulla scorta della distribuzione normale, in corrispondenza del 

prefissato livello di confidenza 1- . 

Gli intervalli di confidenza per la somma di medie e di proporzioni, relativamente a 

situazioni analoghe a quelle sopra esposte, saranno identici a quelli già considerati, a 

meno del segno ( x + y e p x + p y anziché x - y e p x - p y ). 

211




3. Stima 

3.3.7 Intervallo di confidenza per la differenza fra medie per dati appaiati 

Se X ~ N( x , 

2 

x 

) e Y ~ N( y , 

2 

y 

) sono due v.c. con varianze 

2 

x 

 

2 

y 

incognite e si 

vuole costruire un intervallo di confidenza per x y sulla base dell’evidenza 

campionaria, l’elemento definito nella sezione precedente non è più pivotale poiché le 

due varianze 

2 

x 

e 

2 

y 

(parametri di disturbo) non sono note. Si può allora pensare di 

sostituire alle quantità incognite una loro stima ed ottenere la v.c.. 

dove 

2 

S 

x 

e 

2 

S y 

utilizzate come stimatori di 

X Y 

S 

2 

x 

 

x 

/ m S 

2 

y 

y 

/ n 

sono, rispettivamente, le varianze campionarie corrette di X e di Y 

2 

x 

e 

2 

y 

 

, 

. Purtroppo, questa v.c., pur non dipendendo da 

parametri incogniti, non è elemento pivotale non essendo nota la sua distribuzione. 

Infatti, la v.c. di cui si conosce la distribuzione (t di Student con n+m-2 gradi di 

libertà) è quella definita dal rapporto tra la v.c. la normale standardizzata relativa alla 

differenza tra medie e la radice di un 

combinazione delle varianze: 

2 

 

 

divisa per i propri gradi di liberta relativa alla 

2 

2 

X Y x y m1 

S n1 

S 

x 

y 

 

2 2 m n 

2 

2 2 

x 

/ m 

y 

/ n 

x 

 

y 

Ma in questa espressione le due varianze incognite 

2 

x 

e 

2 

y 

 

, che compaiono al 

numeratore e al denominatore, non si semplificano. 

Per campioni di dimensioni modeste il problema della determinazione dell’intervallo di 

confidenza per 

 

x 

y 

in presenza di due varianze 

2 

x 

e 

2 

y 

diverse ed incognite trova 

la sua soluzione ottimale nel caso in cui le due v.c. X e Y non sono indipendenti, anzi, 

si presume che la rilevazione dei due caratteri sia stata effettuata sulle stesse unità 

statistiche (dati appaiati). In tale situazione si avranno a disposizione n coppie di 

osservazioni x i 

, y i 

e si può, pertanto considerare la v.c. V = X – Y che è ancora una 

v.c. normale (essendo combinazione lineare di v.c. normali) con media 

 

E V E X E Y 

v x y 

e varianza 

Var 

2 

v 

2 2 

V 

Var X 

Var 

Y 

 

Cov X, 

Y 

x 

 

y 

 

xy 

Per la determinazione dell’intervallo di interesse basterà applicare la procedura 

illustrata in precedenza quando si è trattato della stima di intervallo per la media di una 

v.c. normale con varianza incognita. Da rilevare che per risolvere il problema non 

2 2 

occorre procedere alla stima delle varianze 

x 

e 

y 

e della covarianza xy 

bastando la 

stima della varianza della v.c. differenza V = X – Y. L’elemento pivotale è 

. 

212




3. Stima 

X Y 

S 

v 

 

x 

n 

y 

 

~ tn 

1 

n 

n 

1 1 

S V X Y 

. 

2 

dove 2 

v i i i i 

n1 i1 n1 

i1 

Si segnala che trattare con dati appaiati riduce drasticamente il numero dei gradi di 

libertà che sono pari a n-1 rispetto ai gradi di libertà che si sarebbero avuti (2n-2) nel 

caso di campioni indipendenti. 

3.3.8 Intervallo di confidenza per il rapporto di varianze 

Se si vuole determinare l’intervallo di confidenza per il rapporto di due varianze 

2 

e 2 

x y 

, di popolazioni normali indipendenti con medie x e y incognite, disponendo 

di m informazioni campionarie su X ed n su Y, basterà fare riferimento all’elemento 

pivotale rappresentato dalla variabile casuale 

( m1) 

S 

W 

( n1) 

S S 

 

 

2 

m 

x 

2 

/( m 1) 2 2 2 X 

i 

X /( m 1) 2 

x 

S 

y 

 

x i1 

y 

2 2 2 n 

2 

2 

y y 

x x 

/( n 1) 

Y /( 1) 

2 

i 

Y n 

y 

i1 

~ F 

m1, n1 

che ha, nell’universo dei campioni, distribuzione del tipo F di Fisher-Snedecor con m-1 e 

n-1 gradi di libertà. 

Si può, pertanto, determinare l’intervallo 

c W c 1 

α 

P 

1 2 

 

Anche in questo caso se si scelgono valori di c 1 e c 2 simmetrici 

c 

F 

c 

1 1 α/2 2 

Fα/2 

cioè valori della variabile casuale non simmetrica F che hanno, rispettivamente, l’/2% 

dei casi a sinistra e l’/2 % dei casi a destra, si otterrà un intervallo non ottimale. 

Sotto le ipotesi introdotte si ha l’intervallo 

, 

 

2 

 

2 

S σ 

y 

P 

x 

F 

α/ 

2 

F 

2 2 α/ 2 

S 

y 

σ 

x 

che è perfettamente equivalente all’intervallo 

ed anche 

 

1 

 

1 

 

2 

2 2 

S 

y 

σ 

y 

S 

y 

P 

F 

F 

2 1 

α/ 2 

 

2 2 α/ 2 

S 

x 

σ 

x 

S 

x 

α 

 

1 α 

 

 

2 2 2 

Sx 1 σx Sx 

1 

P 1 

α. 

2 2 2 

Sy Fα/2 σy Sy F 

 

1 α/2 

213




3. Stima 

3.4 - Determinazione della numerosità campionaria 

La teoria degli intervalli di confidenza consente anche di affrontare in modo razionale la 

problematica della scelta della dimensione campionaria. 

Nelle pagine precedenti è stato sottolineato che un intervallo di confidenza è 

caratterizzato da due elementi fondamentali: il livello di confidenza, che ne misura 

l’affidabilità, e l’ampiezza, che ne misura l’informatività. L’obiettivo che si vuol 

perseguire è quello della determinazione di un intervallo per il quale siano massime sia 

l’affidabilità che l’informatività; purtroppo, come già detto, fra questi due elementi esiste 

un legame diretto, nel senso che all’aumentare del livello di confidenza aumenta anche 

l’ampiezza dell’intervallo, e che quindi non è possibile, contemporaneamente, 

massimizzare il livello di confidenza e minimizzare l’ampiezza. 

Pertanto, in presenza di una dimensione campionaria predeterminata, se si vuole 

incrementare l’informatività si dovrà rinunciare a qualcosa in termini di affidabilità e 

viceversa. Nelle situazioni in cui la dimensione non è prefissata si può, una volta fissato il 

livello di confidenza, procedere alla determinazione della dimensione campionaria in 

modo da ottenere un intervallo di confidenza per il parametro d’interesse di ampiezza 

prefissata. 

La procedura da seguire è quella illustrata nelle due esemplificazioni che seguono. 

Sia X ~ N(, ) e si supponga, in prima istanza, che sia nota. Si vuol 

determinare la dimensione del campione affinché l’ampiezza dell’intervallo di confidenza 

per , al livello di confidenza (1 – ), sia pari ad A. 

Si supponga di voler procedere alla determinazione di un intervallo di confidenza per 

la media di una popolazione normale la cui varianza è nota prefissando sia il livello di 

confidenza sia l’ampiezza indicata con A. 

L’espressione dell’intervallo di confidenza per il caso in esame è già stata individuata 

ed è 

1 

2 

 

2 

 

 

P X - z / n X z / n 1- 

2 2 

Avendo prefissato sia il livello di confidenza che l’ampiezza dell’intervallo deve valere 

la relazione: 

2 2 

2 

2 

2 2 

 

A X z / n X z / n 2 z / n n 4 z / A 

si ricava n come incognita 

n = (2 z/A) 2 , 

che, dovendo sempre essere un intero, va arrotondato per eccesso. 

La formula fornisce la dimensione campionaria cercata, nel rispetto dei vincoli 

prefissati, ma è basata sull’assunto della conoscenza del parametro 

2 

, circostanza 

214




3. Stima 

questa che si riscontra molto raramente nei contesti operativi; nella generalità dei casi, la 

2 

varianza è incognita. In tale contesto, per stabilire la dimensione del campione si 

dovrà ricorrere ad una sua stima, che potrà derivare da conoscenze pregresse o da 

un’indagine campionaria “pilota”, che sarà, ovviamente, di dimensione ridotta ed il cui 

unico scopo è quello di pervenire ad una stima della varianza incognita. 

Come seconda esemplificazione si ipotizzi di voler determinare la dimensione 

campionaria per un intervallo di confidenza del parametro p relativo ad una v.c. di 

Bernoulli, , nel rispetto dei vincoli di confidenza ed informatività prefissati. 

Come già visto, se risulta ragionevole l’approssimazione con la distribuzione normale, 

l’intervallo di confidenza per il parametro p è: 

1 X 1 

 

X 

p p p p 

P z 

α 2 

p z 

α 2 1 

 

n n n n 

dove X rappresenta il numero delle volte in cui l’evento d’interesse si è verificato in n 

prove indipendenti. 

Avendo prefissato il livello di confidenza ( ) e l’ampiezza A dell’intervallo, deve 

essere soddisfatta l’uguaglianza 

A 

X 

n 

da cui deriva 

 

z 

α 2 

p 

1 

1 

p X p 1 

p p 1 

p 

n 

 

n 

n 4 z 

2 2 

 

z 

α 2 

 

p 1 

p 

n A 

 

. 

n 

2z 

Relazione che non può essere utilizzata essendo p l’incognita del problema; 

problema che può, comunque, essere risolto o seguendo le indicazioni fornite nella 

esemplificazione precedente (informazioni pregresse o indagine pilota), oppure, ed è la 

procedura usualmente impiegata, ponendo p = (1-p) = 0,5 , valore questo che 

massimizza l’espressione, cioè il valore di n. Si tratta di un atteggiamento prudenziale 

che comporta, nella generalità dei casi un sovradimensionamento della numerosità 

campionaria. 

α 2 

n 

Esempio 3.8 

Nell’esempio la numerosità del campione, anziché essere fissata a priori, viene determinata in 

funzione del livello di confidenza e dell'ampiezza dell'intervallo (errore ammesso). 

Uno sperimentatore, sapendo che lo scostamento quadratico medio del tempo di reazione delle 

cavie ad un certo stimolo è pari a 0,05 secondi, vuole determinare il numero minimo di cavie 

da sottoporre ad esperimento affinché, nella stima del tempo medio di reazione, l'eventuale 

errore non superi 0,01 secondi ai livelli di confidenza del 95% e del 99%. 

Al livello del 95% i limiti di confidenza sono 

0,05 

0,05 

L 1 

X 1,96 , L 2 

X 1,96 

n 

n 

215




3. Stima 

dovendo essere soddisfatto il vincolo sull'errore 

1,96 0,05 / n 

si avrà 

n 96,04 

0,01 

Al livello di confidenza del 99% la disuguaglianza relativa all'errore risulta essere 

da cui 

2,58 0,05 / n 

n 166,4 

0,01 

Si può quindi concludere che se lo sperimentatore vuole contenere l'errore, nella stima del 

tempo medio di reazione, nel limite di 0,01 secondi, dovrà fissare la dimensione del campione 

a 97, nel caso in cui sia interessato ad un livello di confidenza del 95%; dovrà invece estendere 

l'esperimento a 167 cavie nel caso in cui porti il livello di confidenza al 99%. 

216

CAP 3 – STIMA

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