CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
2
incognita e varianza σ nota; si voglia determinare un intervallo di confidenza per la
media µ.
La variabile media campionaria
1
X
n
n
X i
i1
ha, nell'universo dei campioni, distribuzione normale con media µ e varianza
variabile standardizzata della X
X -
Z ~ N0,1
/ n
σ 2 /n
è elemento pivotale in quanto funzione degli elementi campionari, del parametro
incognito ed ha una distribuzione normale , completamente nota, di media 0 e varianza
pari ad 1; si potranno, allora, sulla scorta delle tavole della distribuzione normale
standardizzata, determinare due valori c 1 e c 2 tali che
P (c 1 Z c 2 ) = 1-
si scelgono per c 1 e c 2 valori simmetrici, cioè c 2 = - c 1 = c = , comportando questi
valori l’individuazione dell’intervallo di ampiezza minima a ragione della simmetria e
dell’accentramento dei valori intorno alla media della distribuzione normale. Per tali
motivi, l’intervallo ottenuto è quello più informativo.
In tal caso, per quanto detto in precedenza, se si scegliesse ad esempio, = 0,05 si
avrebbe c 1 = -
z 2
= -1,96 e c 2 =
perfettamente equivalente alla relazione
z 2
z α 2
. La
= 1,96. L'uguaglianza sopra scritta è
P X - z / n X z / n 1-
2 2
Per = 0,05 si avrebbe quindi l'intervallo di confidenza
P X -1,96 / n X 1,96 / n 0,95
Esempio 3.5
Il peso medio alla nascita relativo ad un campione di 200 animali è risultato pari a 0,824
grammi. Sapendo che lo scostamento quadratico medio della variabile (approssimativamente
normale) peso alla nascita è gr. 0,042, si vogliono determinare gli intervalli di confidenza (ai
livelli del 95% e del 99%) per l'indice caratteristico µ (peso medio).
Applicando la formula sopra riportata si ha
P X 1,96 0,042 / 200 X 1,96 0,042 / 200 0,95
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