CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
Le statistiche
n
i1
X i e
n
i1
2
X i
(e qualsiasi altra trasformazione biunivoca di tale
coppia) sono congiuntamente sufficienti per e 2 (per verificare tale risultato basta
svolgere il quadrato nel termine
conseguenza
~
=
X
e
~ 2
=
2
S *
n
i1
funzione di statistiche congiuntamente sufficienti.
Per quanto detto nel Cap. 2, risulta che: a) le due v.c. X
indipendenti; b) X
inoltre, la v.c.
è una stima corretta di mentre
nS
2
*
2
(x i – ) 2 e operare le relative somme). Di
sono stimatori congiuntamente sufficienti, essendo
n
=
i1
X i
2
S *
X
ha distribuzione del tipo chi-quadro con n-1 gradi di libertà
Per le proprietà della v.c. Chi-quadrato
da cui
E(
E
2
S *
nS
) =
2
*
2
= n – 1 Var
n 1
2
n
Var (
2
nS
2
S *
e
2
S *
sono fra loro
è una stima distorta di
2
*
2
2
n1
.
= 2(n – 1)
) = 2 4 n 1
2 .
n
2
Essendo S * uno stimatore distorto di 2 , il teorema di Cramér-Rao non si applica
perché viene a cadere una delle ipotesi fondamentali dello stesso. Comunque, poiché
2
*
EQM( S ) = 4 (2n – 1)/n 2 tende a 0 per n → ∞,
2
2
S * è uno stimatore consistente in
senso forte. Dato poi che la consistenza forte implica quella debole,
2
S *
;
è anche
consistente in senso debole per 2 . Inoltre, per quanto esposto nel capitolo precedente,
è invece stimatore corretto di
Poiché la v.c.
2
S 2 =
2
n1
S
2
la varianza campionaria corretta
1
n 1
n S
2
*
=
2
n
i1
(X i – X ).
n
=
i1
X i
X
ha distribuzione di tipo chi-quadro con n-1 gradi di libertà con media e varianza
ne risulta
n 1
S
2
E
= n – 1 Var 2
2
n 1
S
2
2
= 2 (n – 1),
195