CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
Quello sopra introdotto è un concetto assoluto di efficienza che risulta
operativamente poco utile in quanto sono molto infrequenti le situazioni di ricerca in cui
si riesce ad individuare per via analitica lo stimatore più efficiente (nell’errore semplice
medio o nell’errore quadratico medio), sempre nell’ipotesi di esistenza di tale stimatore.
Analogamente a quanto detto a proposito delle proprietà di concentrazione e di
prossimità, oltre a considerare la proprietà di efficienza in senso assoluto si può
introdurre il concetto di efficienza in senso relativo confrontando due diversi stimatori
ˆΘ 1
e
ˆΘ 2
di uno stesso parametro incognito .
Lo stimatore
ˆΘ 1
si dice più efficiente dello stimatore
nell’errore semplice medio se ESM(
nell’errore quadratico medio se EQM(
ˆΘ 1) < ESM(
ˆΘ 2
ˆΘ 1) < EQM(
:
ˆΘ 2
) , per qualunque
ˆΘ 2
), per qualunque
.
;
L’efficienza relativa dello stimatore
rapporti:
e
ESM
ESM Θˆ
1
ESM Θˆ
2
ˆΘ 1
rispetto allo stimatore
e
EQM
EQM Θˆ
1
EQM Θˆ
2
ˆΘ 2
è definita dai
Comunque, il problema più rilevante nella ricerca dello stimatore più efficiente non
risiede tanto nelle difficoltà analitiche di computo quanto nell’inesistenza di un tale
stimatore ottimale; infatti, non sono affatto rare le situazioni nelle quali non esiste uno
stimatore che minimizza l’ESM o l’EQM per qualunque valore di . In tali situazioni si
dovrà abbandonare l’obiettivo della ricerca dell’ottimo assoluto, non esistendo un tale
ottimo, per procedere, eventualmente, alla ricerca di un sub-ottimo.
Si può, ad esempio, procedere alla ricerca di uno stimatore puntuale capace di
minimizzare l’ESM o l’EQM in una classe ristretta di stimatori (minimo vincolato)
essendo ragionevole ipotizzare l’esistenza di un ottimo in una classe ristretta; il vincolo
usualmente imposto è quello della correttezza o non distorsione dello stimatore.
Definizione 6 (Correttezza o non distorsione). Uno stimatore Θ ˆ ( , ,..., )
n
Tn X1 X
2
X
n
(di ) si dice corretto o non distorto se
E( ˆΘ ) = .
per qualunque .
Θ
Si consideri ora la relazione
2
2 2
ˆ
EQM ( Θˆ ) E Θˆ E Θˆ E( Θˆ ) E( Θˆ ) E Θˆ E( Θˆ
) E -
0
Var( Θˆ) E Θˆ
- d
2
2 2
ˆ
2
180