CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
3.3.7 Intervallo di confidenza per la differenza fra medie per dati appaiati
Se X ~ N( x ,
2
x
) e Y ~ N( y ,
2
y
) sono due v.c. con varianze
2
x
2
y
incognite e si
vuole costruire un intervallo di confidenza per x y sulla base dell’evidenza
campionaria, l’elemento definito nella sezione precedente non è più pivotale poiché le
due varianze
2
x
e
2
y
(parametri di disturbo) non sono note. Si può allora pensare di
sostituire alle quantità incognite una loro stima ed ottenere la v.c..
dove
2
S
x
e
2
S y
utilizzate come stimatori di
X Y
S
2
x
x
/ m S
2
y
y
/ n
sono, rispettivamente, le varianze campionarie corrette di X e di Y
2
x
e
2
y
,
. Purtroppo, questa v.c., pur non dipendendo da
parametri incogniti, non è elemento pivotale non essendo nota la sua distribuzione.
Infatti, la v.c. di cui si conosce la distribuzione (t di Student con n+m-2 gradi di
libertà) è quella definita dal rapporto tra la v.c. la normale standardizzata relativa alla
differenza tra medie e la radice di un
combinazione delle varianze:
2
divisa per i propri gradi di liberta relativa alla
2
2
X Y x y m1
S n1
S
x
y
2 2 m n
2
2 2
x
/ m
y
/ n
x
y
Ma in questa espressione le due varianze incognite
2
x
e
2
y
, che compaiono al
numeratore e al denominatore, non si semplificano.
Per campioni di dimensioni modeste il problema della determinazione dell’intervallo di
confidenza per
x
y
in presenza di due varianze
2
x
e
2
y
diverse ed incognite trova
la sua soluzione ottimale nel caso in cui le due v.c. X e Y non sono indipendenti, anzi,
si presume che la rilevazione dei due caratteri sia stata effettuata sulle stesse unità
statistiche (dati appaiati). In tale situazione si avranno a disposizione n coppie di
osservazioni x i
, y i
e si può, pertanto considerare la v.c. V = X – Y che è ancora una
v.c. normale (essendo combinazione lineare di v.c. normali) con media
E V E X E Y
v x y
e varianza
Var
2
v
2 2
V
Var X
Var
Y
Cov X,
Y
x
y
xy
Per la determinazione dell’intervallo di interesse basterà applicare la procedura
illustrata in precedenza quando si è trattato della stima di intervallo per la media di una
v.c. normale con varianza incognita. Da rilevare che per risolvere il problema non
2 2
occorre procedere alla stima delle varianze
x
e
y
e della covarianza xy
bastando la
stima della varianza della v.c. differenza V = X – Y. L’elemento pivotale è
.
212