CAP 3 – STIMA

da cui
Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
I( 2 ) = –E
2
dS
2
d
che è uguale alla varianza di
Inoltre,
~ 2 =
2
S **
= –E(
~ 2
.
n
4
2
–
1
2
6
n
i1
1/I( 2 ) = 2 4 /n
(x i – ) 2 ) = –
è consistente in senso forte per 2 , dato che
2 2 2
n
n
n n n
n
4
2
4
Lim EQM LimVar Lim 0 n
.
+
n
4
=
n
4
2
Poiché la consistenza forte implica quella debole,
senso debole per 2 .
2 ~ =
2
S **
è anche consistente in
Stima congiunta di e 2
Nel caso in cui si voglia stimare la varianza, ma non è noto il valore assunto da , non si
può procedere come indicato al punto precedente poiché nell’espressione
n
1
n
i1
(X i – ) 2 è presente che non è noto e che non interessa ai fini della stima di 2 .
Il parametro incognito e non di interesse ai fini della stima viene detto parametro di
disturbo; disturbo che può essere facilmente eliminato procedendo ad una sua stima che
pur non interessando direttamente è strumentale all’obiettivo che si vuol perseguire che
è, appunto, quello della stima di . Piuttosto che trattare questo problema, facilmente
risolvibile se si considera quanto detto ai due punti precedenti, si procede alla risoluzione
2
del problema della stima congiunta di entrambi i parametri e
Se entrambi i parametri e 2 sono incogniti, le funzioni score eguagliate a zero per i
due parametri sono quelle considerate in precedenza:
s() =
s( 2 ) = –
1
2
n
2
2
+
n
(
i1
1
2
4
x i – n) = 0,
n
i1
(x i – ) 2 = 0.
risolvendo il sistema rispetto ai due parametri incogniti si ottengono le stime:
n
~ = x = n 1
i1
x i
n
2 ~ = 1 n
i1
2
.
(x i – x ) 2 =
Gli stimatori di massima verosimiglianza di è di 2 sono quindi
~
n
= X = 1 n
i1
X i
2 ~ =
cioè, la media campionaria e la varianza campionaria.
2
S * = 1 n
n
i1
2
s *
.
(X i – X ) 2 ,
~ 2
=
2
* S *
=
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