CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
minima (intervallo ottimale).
Verranno considerati ora alcuni problemi specifici di determinazione degli intervalli di
confidenza. Si segnala in proposito che la procedura seguita è quella basata
sull’elemento pivotale, dove per elemento pivotale s’intende una qualunque funzione
degli elementi campionari e del parametro incognito di interesse la cui distribuzione
campionaria è completamente nota, ed essendo completamente nota non può dipendere
da il cui valore è incognito; in altre parole, l’elemento pivotale dipende da ma non
dipende da la sua distribuzione. Quanto affermato può essere espresso dalla
definizione che segue.
Definizione 9 (Elemento pivotale): Sia X una v.c. con funzione di massa o di densità
f(x; ), dove , e sia X = (X 1 , …, X n ) un campione casuale semplice
bernoulliano estratto da X. Allora un pivot (o cardine) è una quantità
Q( X ; ) che possiede le seguenti caratteristiche:
1. è funzione del campione X = (X 1 , …, X n );
2. è funzione di (il parametro di cui si vuol trovare l’intervallo di confidenza);
3. non contiene altri parametri incogniti oltre a ;
4. la sua distribuzione è completamente nota;
5. è invertibile rispetto a .
Θ
La procedura per la determinazione di un intervallo di confidenza attraverso il metodo
dell’elemento pivotale si articola nei passi sotto riportati:
1. si individua un pivot Q( X ; ) per il problema in analisi; nella generalità dei casi,
la via più facile per individuare l’elemento pivotale è quella che prende avvio da
uno stimatore puntuale , se possibile ottimale, del parametro incognito
rispetto al quale si vuol determinare l’intervallo di confidenza;
2. si fissa il livello di confidenza 1–;
3. si determina l’intervallo di ampiezza minima (il più informativo) [c 1 , c 2 ] all’interno
del quale il pivot è compreso con probabilità pari al livello di confidenza scelto,
cioè P[c 1 Q ( X ; ) c 2 ] = 1–;
4. si inverte la relazione c 1 Q( X ; ) c 2 rispetto a in modo da ricavare
l’intervallo di confidenza cercato per , che quindi soddisferà
P[L 1 ( X ) L 2 ( X )] = 1–.
ˆ
3.3.1 Intervallo di confidenza per la media di una variabile casuale normale con
varianza nota.
Sia x 1 , x 2 ,...,x n , una specifica determinazione di un campione casuale
'
X X
1, X
2, ... , X
n
estratto da una popolazione distribuita normalmente con media µ
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