CAP 3 – STIMA

More documents

Recommendations

Info

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) Bruno Chiandotto Versione 2015 3. Stima Mediante l'uso delle tavole si potranno allora determinare due valori c 1 e c 2 tali che P (c 1 V c 2 ) = 1 - Se si sceglie un intervallo simmetrico, cioè c 2 = - c 1 = c = , comportando questi valori l’individuazione dell’intervallo di ampiezza minima a ragione della simmetria e dell’accentramento dei valori intorno alla media della distribuzione t di Student, seguendo lo schema di ragionamento adottato sopra, si ha t α 2 P X - t S / n μ X t S / n 1- 2 2 dove, naturalmente, il valore numerico di c dovrà essere individuato sulle tavole della distribuzione t in corrispondenza del prefissato livello di confidenza 1- e degli n -1 gradi di libertà. Esempio 3.6 Avendo somministrato ad un campione casuale di cavie una particolare dieta, dalla nascita fino all'età di tre mesi, ed avendo riscontrato i seguenti incrementi nel peso: 55, 62, 54, 57, 65, 64, 60, 63, 58, 67, 63 e 61 grammi; si vuol determinare un intervallo di confidenza, al livello del 95%, relativamente all'incremento medio di peso. Attribuendo al caso le differenze riscontrate negli aumenti di peso, si potrà presumere normale la popolazione teorica di tutte le cavie sottoponibili a quella particolare dieta. In questo caso l'intervallo simmetrico di confidenza può essere derivato dall'uguaglianza. X t S n X t S n P - / / 1- /2 /2 dove, rispetto alla formula sopra definita, è stato sostituito al simbolo c il simbolo indicare che si sta trattando di un intervallo simmetrico il cui livello di confidenza è pari a 1 - e che la distribuzione campionaria di riferimento è la t di Student. Sulle tavole della distribuzione t , in corrispondenza di 12 - 1 = 11 gradi di libertà e per = 0,05 si trova t /2 t0,025 2,20 ( dove 2,20 è il valore che soddisfa la relazione P(t 2,20) = F (2,20) = 0,975) si avrà allora X t S X t S P - / 12 / 12 1- /2 /2 Poiché la stima della media e della varianza corretta dell'incremento medio di peso riscontrato nelle dodici cavie sono rispettivamente pari a 60,75 e 16,38 risulta l'intervallo di confidenza cioè 60,75 - 2,20 16,38 12 60,75 2,20 16,38 12 58,17 µ 63,32. 3.3.3 Intervallo di confidenza per la varianza di una variabile casuale normale con media incognita Se si vuol procedere alla determinazione di un intervallo di confidenza per la varianza di t α/ 2 per 205
Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) Bruno Chiandotto Versione 2015 3. Stima una variabile casuale normale con media incognita si consideri la variabile casuale 2 n (n 1)S X i X V ~ 2 σ i1 σ che ha nell’universo dei campioni distribuzione del tipo 2 con n-1 gradi di libertà. Si tratta, quindi, di elemento pivotale essendo completamente nota la sua distribuzione e dipendendo solo dai valori campionari e dal parametro incognito di interesse 2 . Pertanto, utilizzando i valori riportati nelle tavole della distribuzione 2 si potranno determinare due valori c 1 e c 2 per i quali è soddisfatta la relazione . c V c 1 α P 1 2 Anche se l’intervallo che ne risulta non è di lunghezza minima, essendo la distribuzione 2 non simmetrica, c 1 e c 2 vengono scelti usualmente in modo simmetrico dove i simboli χ α e χ 1 / 2 α / 2 c c 2 2 1 1 / 2 , 2 / 2 2 2 n1 stanno ad indicare i valori della variabile casuale 2 che hanno, rispettivamente, l’/2% dei casi a sinistra e l’/2% dei casi a destra. L’intervallo sopra scritto diventa P χ (n 1)S 2 σ che è perfettamente equivalente all’intervallo (n 1)S P 2 χ 1 2 2 2 1α/ 2 χ α/ 2 α/ 2 2 σ 2 (n 1)S 2 χ 1α/ 2 2 α 1 α 3.3.4 Intervallo di confidenza per la media di una variabile casuale con legge di distribuzione arbitraria. I metodi per la derivazione degli intervalli di confidenza illustrati, si riferiscono a campioni estratti da popolazioni aventi distribuzione normale; ragionamento analogo può essere fatto nel caso della distribuzione bernoulliana, della distribuzione di Poisson, ecc. Sembra naturale però chiedersi come determinare gli intervalli di confidenza relativi a parametri caratteristici di interesse quando non è nota la forma della distribuzione della popolazione cui si riferisce il campione di osservazioni disponibile. Se esistono le condizioni richieste dal teorema del limite centrale, nel caso in cui il parametro d'interesse è la media, la risposta è immediata; infatti, in tale situazione, la media campionaria avrà una distribuzione approssimativamente normale, potrà allora essere applicata la metodologia esposta nelle pagine precedenti. Ad esempio, se con X si indica il numero di successi osservabili in corrispondenza di un esperimento casuale replicato n volte, la variabile casuale X ha distribuzione binomiale, si potrebbe, pertanto, procedere alla determinazione degli intervalli di confidenza facendo, eventualmente, ricorso alle tavole della distribuzione binomiale. Ma, come già segnalato nelle 206
Page 2 and 3: Corso di laurea magistrale in Stati
Page 8 and 9: dove Corso di laurea magistrale in
Page 18 and 19: Infine, P X Corso di laurea magistr
Page 38 and 39: dove X e Corso di laurea magistrale

CAP 3 – STIMA

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?