CAP 3 – STIMA

dove
Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
d E Θ ˆ
viene detta distorsione. Se Θ ˆ ( , ,..., )
n
Tn X1 X
2
X
n
è uno
stimatore non distorto di si ha d 2 = 0 e quindi:
2
2
EQM ( Θˆ ) E Θ ˆ E Θˆ E Θ ˆ Var( ˆ )
cioè, se uno stimatore è corretto il suo errore quadratico medio e la sua varianza
coincidono. Pertanto, nella classe ristretta degli stimatori corretti si può affermare che lo
stimatore più efficiente nell’EQM è lo stimatore di minima varianza. Quest’ultima
conclusione provoca spesso confusione inducendo a concludere che lo stimatore più
efficiente è lo stimatore di minima varianza; si tratta, ovviamente, di una conclusione
errata perché l’affermazione vale solo nell’ambito degli stimatori corretti.
Il vincolo di correttezza in molti testi non viene introdotto con una tale connotazione,
cioè come restrizione della classe degli stimatori, ma come proprietà dello stimatore
stesso. Nella logica espositiva qui seguita, dove la “bontà” di uno stimatore è misurata
facendo riferimento alla sua variabilità campionaria, una tale interpretazione della
correttezza non può essere accolta; in altre parole la correttezza rappresenta un vincolo e
non una proprietà. Ovviamente, a parità di tutte le altre condizioni, uno stimatore
corretto è preferibile ad uno stimatore distorto.
È stato più volte sottolineata la possibilità di non esistenza dello stimatore più
efficiente, sia nell’EQM che nell’ESM, possibilità questa molto meno frequente invece
nella classe ristretta degli stimatori corretti; infatti, come si avrà modo di chiarire nelle
righe che seguono, per alcuni modelli è possibile dimostrare che, in una classe ristretta,
esiste lo stimatore più efficiente nell’EQM. In tale ottica un ruolo fondamentale è svolto
dalla disuguaglianza di Cramèr-Rao; si tratta di una disuguaglianza che individua il
valore minimo assumibile dalla varianza di uno stimatore corretto.
Teorema 3 (Limite di Cramèr-Rao); Sia X una v.c. con funzione di massa o di densità
f(x; ), dove Θ è un parametro incognito, e
X
1, X
2,..., X
n
uno stimatore corretto di , se sono soddisfatte le condizioni di regolarità:
d
log f x ;
esiste per qualunque x e per qualunque Θ
d
d
d
;
d
d
n
n
d
f x dx dx dx f x dx dx dx
; ;
i 1 2 n i 1 2 n
i1 d
i1
, , ;
1 2 n i 1 2 n
i1
n
t x x x f x dx dx dx
n
d
t x , x , x f x ; dx dx dx
;
1 2 n i 1 2 n
d
i1
;
è
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