CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
Quella specificata è una proprietà relativa, si effettua, cioè, il confronto tra due
particolari stimatori Θ ˆ * e ˆΘ . Se la disuguaglianza vale per qualunque stimatore ˆΘ
Θ ˆ *
alternativo a si dirà che
approssimazione in assoluto.
3.1.4 Efficienza
ˆ * Θ
è lo stimatore che presenta una migliore
Le proprietà di concentrazione e di prossimità sono certamente del tutto auspicabili
purtroppo, però, sono veramente rare le situazioni nelle quali esistono stimatori che
godono di tali proprietà oltre alle difficoltà analitiche connesse alla loro derivazione. Si
dovrà, pertanto, fare riferimento non all’intera distribuzione di probabilità ma a specifici
indici sintetici di variabilità, procedendo, cioè, al computo di scostamenti appropriati tra i
valori assumibili dallo stimatore e il vero valore del parametro incognito (qualunque
esso sia) per poi addivenire ad una loro adeguata sintesi. L’entità aleatoria che si sta
trattando è la variabile casuale stimatore Θˆ T X1, X
2,....., X
n e la costante di
riferimento è il parametro incognito . Gli scostamenti tra tutti i valori che la variabile
casuale stima ˆΘ assume, nell’universo dei campioni, e il valore incognito , possono
essere espressi dalla differenza in valore assoluto
ˆΘ 2
| Θˆ
|
od anche al quadrato
o qualunque altra misura di scostamento ritenuta adeguata al caso in esame.
Definizione 4 (Efficienza nell’ESM). Lo stimatore
soddisfa la relazione:
ˆ * *
, ,..., 1 2 n
Θ T X X X
*
| ˆ
| | ˆ
|
E Θ E Θ
che
per qualunque
e per qualunque stimatore ˆ alternativo allo stimatore Θ ˆ *, dove,
al solito,
E sta ad indicare il valore atteso (valore medio) dell’entità
all’interno della parentesi, è detto il più efficiente nell’errore semplice
medio.
ESM(
ˆΘ
) =
E | Θ ˆ |
Definizione 5 (Efficienza nell’EQM). Lo stimatore
soddisfa la relazione:
.
ˆ * *
, ,..., 1 2 n
Θ T X X X
( ˆ*
) 2 ( ˆ )
2
E Θ E Θ
, che
per qualunque
e per qualunque stimatore ˆ , alternativo allo stimatore ˆ *,
è detto il più efficiente nell’errore quadratico medio
EQM
ˆΘ E
ˆ
2
.
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