CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
necessaria affinché essa abbia un massimo è che dL()/d = 0 . Nella generalità dei casi
non occorre procedere ad ulteriori elaborazioni (computo delle derivate di ordine
superiore) essendo il punto di stazionarietà individuato un punto di massimo.
La derivazione della funzione di verosimiglianza L() comporta il computo del
n
prodotto
i1
f(x i ; ), operazione non immediata, per tale motivo, in genere si preferisce
massimizzare non la verosimiglianza L() ma il suo logaritmo naturale
l () = log L() =
n
i1
log f (x i ; )
detto log-verosimiglianza. Essendo il logaritmo naturale una funzione monotona, il
valore ~ che massimizza la log-verosimiglianza l() è identico a quello che massimizza
la verosimiglianza L().
Si ricorda che la derivata prima della log-verosimiglianza è stata definita come
funzione score; di conseguenza, se la log-verosimiglianza è differenziabile allora
condizione necessaria affinché la funzione abbia un massimo è che il suo score sia
nullo:
Il valore ~
S() =
d
d l
= 0.
che massimizza la verosimiglianza o la log-verosimiglianza è detto stima
di massima verosimiglianza del parametro incognito . Se nella soluzione si
sostituiscono alle determinazioni (x 1 , ..., x n ) le corrispondenti variabili casuali (X 1 , ..., X n )
si ottengono gli stimatori di massima verosimiglianza.
Ovviamente se la distribuzione della variabile casuale X è caratterizzata da più
parametri 1 , ..., k , per trovare il massimo occorrerà uguagliare a 0 ciascuna delle
derivate parziali rispetto ad ogni singolo parametro (lo score è quindi un vettore a k
componenti, una per ogni parametro incognito) e poi ricavare la stima dei parametri
risolvendo il sistema delle equazioni definito dalle derivate parziali uguagliate a zero.
Anche in questo caso, come per quello di un solo parametro, nella generalità dei casi al
punto di stazionarietà corrisponde il massimo della funzione.
Si riporta nelle righe seguenti la derivazione delle stime di massima verosimiglianza,
elencandone proprietà e legge di distribuzione, per campioni relativi ad alcune v.c. tra
quelle esaminate nel Cap. 1; si tratta sempre di distribuzioni che appartengono alla
famiglia esponenziale per le quali è, quindi sempre possibile individuare stimatori
sufficienti e, a ragione della disuguaglianza di Cramèr-Rao, ottimali nell’ambito degli
stimatori corretti.
V.C. di Bernoulli
La log-verosimiglianza della v.c. di Bernoulli è data da
189