CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
Come si è già avuto modo di verificare
e varianza 2 /n.
sufficiente
n
X i
i1
X
X
, si distribuisce normalmente con media
, è uno stimatore sufficiente, perché basato sulla statistica
, corretto ed il più efficiente nella classe degli stimatori corretti di
infatti se si considera il limite della disuguaglianza di .Cramér-Rao
si ha
che è uguale alla varianza di
Inoltre
X
quella debole, X
Stima di 2 con nota
La funzione score è data da
S( 2 ) = –
I() = –E
X
dS
d
.
= –E(
1
2
1/I() = 2 /n
(– n)) = n/ 2 ,
è consistente in senso forte per ; poiché la consistenza forte implica
è anche consistente in senso debole per .
n
2
2
+
1
2
4
n
i1
~
(x i – ) 2 = 0 2
=
n
1
n
Questo significa che lo stimatore di massima verosimiglianza di
2 ~ =
2
* S *
=
n
1
n
i1
(X i – ) 2 ,
detta varianza campionaria con nota.
Come già visto nel Cap. 2 la distribuzione campionaria di
~ 2
n
2
2
nS**
2
n
i1
è di tipo Chi-quadrato con n gradi di libertà
rispettivamente pari ad n e a 2n, cioè
da cui deriva:
E
~ 2
E
nS
2
**
2
X i
n
2
= n Var
nS
2
**
2
2
i1
(x i – ) 2 =
2
è
2
* s *
la cui media e varianza sono
= 2n,
=E( S ) = 2 2
Var( ~ ) =Var( S
2
* *
Pertanto la varianza campionaria
~ 2
=
2
* S *
di 2 perché basato sulla statistica sufficiente
2
* *
) = 2 4 /n.
è uno stimatore corretto e sufficiente
n
i1
X i
2
ed il più efficiente
nell’ambito degli stimatori corretti come si verifica facilmente attraverso il computo del
limite fissato dalla disuguaglianza Cramér-Rao.
.
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