CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
Normalità asintotica - Si dimostra che
N
lim n I
0,1
n
pertanto, per n sufficientemente elevato
n
n
ha distribuzione
approssimativamente normale con media il vero valore di e varianza pari
al limite inferiore di Cramér-Rao, in simboli
n
≈ N[, 1/I()].
Per caratterizzare le ultime due proprietà asintotiche è stato introdotto l’acronimo
BAN(E) (Best Asymptotically Normal Estimator) o anche CAN(E) (Consistent
Asymptotically Normal Estimator).
3.2.4 Altri metodi di stima
Oltre al metodo di stima della minimizzazione dell’EQM e della massima verosimiglianza,
molti altri metodi di stima sono stati proposti in letteratura: il metodo dei momenti, il
metodo della minima distanza, il metodo del minimo 2 ecc. In seguito si parlerà
diffusamente del solo metodo dei minimi quadrati (minimizzazione dell’EQM nella
classe ristretta degli stimatori lineari e corretti), nei punti seguenti si procederà, invece,
ad una sintetica illustrazione degli altri metodi richiamati.
Metodo dei momenti
r
Se con E[
X ] si indica il momento r-esimo di una v.c. X, la cui funzione di densità o
r
di massa di probabilità
f
x;
è funzione nota dei k parametri
e
momento campionario risulta essere
1, 2,...., k
, nella generalità dei casi
E[
X
,...,
r
r 1 k
. Dato che il corrispondente
M r
1
n
uguaglianza (momenti empirici = momenti teorici)
M
r
r
,...,
1
k
X
r
, si impongono le k relazioni di
con r = 1,…, k
ne risulta, quindi, un sistema di k equazioni in k incognite che risolto (quando
possibile) fornisce la stima dei momenti dei k parametri incogniti
1, 2,...., k
Esempio 3.1
Sia
X 1,...,X n
2
,
1 2
,
'
.
ˆ1,..., ˆ
un campione casuale da una distribuzione con media μ e varianza σ 2 . Siano
. Stimando i parametri con il metodo dei momenti le equazioni cui si perviene
sono:
M
M
1
2
1
2
,
2 2 2
,
2
k
r
r
]
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