CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
parla di inferenza statistica parametrica.
In questo capitolo si tratterà, in modo quasi esclusivo, di stima parametrica
limitatamente alla così detta impostazione classica dell’inferenza statistica, cioè,
dell’inferenza statistica che tratta di procedure di induzione basate sulla sola evidenza
campionaria (informazione oggettiva) a differenza dell’impostazione bayesiana che
prevede, invece, l’utilizzo simultaneo di informazioni campionarie e di informazioni a
priori che, nella generalità dei casi, hanno natura soggettiva.
3.1 - Stima puntuale
Se X è una variabile casuale discreta o continua, con funzione di massa o di densità di
probabilità f(x;dove Θ rappresenta il parametro caratteristico non noto, la stima
puntuale di si risolve nella ricerca di una funzione degli elementi campionari
x1, x2,..., xn
in modo tale da ottenere un valore
ˆ 1, 2,..., n
T x x x
vicino possibile’ al vero valore dell’entità incognita
Come già sottolineato più volte, attraverso l’introduzione della statistica
che sia ‘il più
T
effettua una compattazione delle informazioni passando, usualmente, dagli n valori
numerici x 1 ,x 2 ,…,x n ad un solo valore numerico, ad es.
x
1
n xi
n i 1
si
. Risulta evidente
che tale operazione comporta una notevolissima perdita di informazioni; aspetto questo
che non deve assolutamente preoccupare, anzi, in molte situazioni risulta vantaggioso,
soprattutto quando le informazioni che si perdono sono del tutto irrilevanti ai fini degli
obiettivi che s’intendono perseguire.
L’ultima considerazione suggerisce una prima possibilità di qualificazione della
generica affermazione deve essere “il più vicino possibile” a od anche, ˆ deve
ˆ
essere “la migliore stima” di . Ad esempio, se si ha ragione di ritenere che una certa
variabile casuale X sia distribuita normalmente, ma non si conosce il valore numerico dei
due parametri che la caratterizzano, µ e 2 , si può decidere di estrarre un campione di n
elementi dalla distribuzione stessa e cercare poi di individuare due funzioni che applicate
ai valori campionari diano una misura, la “migliore”, dei due parametri incogniti.
Analogo ragionamento può essere fatto nei confronti del parametro che caratterizza la
distribuzione di Poisson, del parametro p che caratterizza la distribuzione bernoulliana,
ecc.
Più in generale, data una variabile casuale, discreta o continua, X con funzione di
massa o di densità di probabilità f(x;), la stima puntuale del un parametro incognito
si ottiene applicando una specifica funzione
T ai valori campionari; essa varierà
quindi al variare del campione, secondo la legge di distribuzione della popolazione cui il
campione si riferisce, ed è necessario fare riferimento a tale distribuzione per riuscire a
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