CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
1
I
p
n
che è uguale alla varianza di X ; pertanto, lo stimatore di massima verosimiglianza
X
Inoltre,
è in assoluto lo stimatore migliore di nella classe degli stimatori corretti.
X
è consistente in senso forte, dato che:
n n 0
Lim EQM X Lim Var X Lim . n
n n n
Poiché la consistenza forte implica quella debole,
debole per .
V.C. Normale
La log-verosimiglianza della v.c. Normale è data da:
l
n
2
2
,
log
f xi
; ,
n
log
2
i1
n
2
i1
2
2
log x
1
2
n
n
2
i1
log
i
X
1
2
2
2
è anche consistente in senso
Poiché la log-verosimiglianza dipende da 2 parametri è possibile distinguere quattro
diverse situazioni di stima:
di ;
di
di
2
2
con noto
simultanea di
con incognito
;
2
e
.
;
e
1
2
2
xi
2
Stima di
Per quanto concerne la stima di
non è stata specificata l’eventuale conoscenza del
2
parametro in quanto non influente; infatti, se si considera la funzione score, che si
ottiene come più volte specificato derivando ed eguagliando a 0 la log-verosimiglianza
rispetto al parametro d’interesse si ha:
1
S() = –
2
2
n
i1
2(x i – )(–1) =
1
2
n
(
i1
x i – n) = 0 ~
n
= n 1
pertanto lo stimatore di massima verosimiglianza di è la media campionaria
= X
=
1
n
n
X i.
i1
i1
x i = x .
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