CAP 3 – STIMA

dove
X
e
Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
2 2
( m 1) Sx
( n 1) S
y 1 1
P
X Y c
x
y
m n 2
m n
2 2
( m 1) Sx
( n 1) S
y 1 1
X Y c
1
m n 2
m n
Y
sono le due medie campionarie;
S
e
2 2
x
S y
le due varianze campionarie
(stime corrette di 2 ); m , n le numerosità dei due campioni. La costante c dovrà
essere determinata in corrispondenza di m + n - 2 gradi di libertà, sulla scorta delle
tavole della distribuzione t di Student, al prefissato livello di confidenza 1- .
L’elemento pivotale che ha consentito la derivazione dell’intervallo è:
dove S
2
1 n1
X Y m S
X Y x
2 2
2 2
m n
X Y
X
Y
1 1
S
m
n
~ t
mn-2
1 x
1
mn2
m S n S
2 2
y
2
Sy
m n 2
Analogamente a quanto detto sopra, l’intervallo di confidenza per la differenza fra
proporzioni, qualora i campioni siano numerosi e p x , p y siano vicini a 0,5, è espresso
dalla formula
ˆ (1 ˆ ) ˆ (1 ˆ )
ˆ ˆ Px
P P
x y
P
y
P Px Py c
px py
m n
ˆ (1 ˆ ) ˆ (1 ˆ )
ˆ ˆ
Py
P
Px
P
x
y
Px
Py
c
1
m n
dove, al solito P ˆ e P ˆ sono le due proporzioni campionarie; p x e p y le proporzioni
x
y
incognite delle popolazioni; m e n le numerosità dei due campioni. La costante c dovrà
essere determinata, sulla scorta della distribuzione normale, in corrispondenza del
prefissato livello di confidenza 1- .
Gli intervalli di confidenza per la somma di medie e di proporzioni, relativamente a
situazioni analoghe a quelle sopra esposte, saranno identici a quelli già considerati, a
meno del segno ( x + y e p x + p y anziché x - y e p x - p y ).
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