CAP 3 – STIMA

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Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) Bruno Chiandotto Versione 2015 3. Stima giudicare la “bontà” di una qualunque stima ˆ = T(x 1 , x 2 ,...,x n ). Infatti, non è possibile affermare se un singolo valore numerico, cioè se una particolare stima ˆ è “buona” o “cattiva” poiché è tanto più “buona” quanto più si approssima al vero valore del parametro , ma, essendo tale valore incognito, il confronto non è possibile; risulta, cioè, impossibile valutare la “bontà” di una singola stima. Pertanto, è improprio parlare di stima “buona” o “cattiva”, si deve parlare invece di stimatore “buono” o “cattivo”, intendendo, con ciò, fare riferimento al metodo di stima impiegato le cui proprietà non sono valutabili facendo riferimento ad un singolo campione ma all’intero universo di tutti i campioni possibili. Il confronto fra stimatori dovrà, quindi, essere basato sul confronto tra le corrispondenti distribuzioni campionarie; cosa questa ovviamente poco pratica, si preferisce allora effettuare il confronto facendo riferimento a particolari indici caratteristici delle variabili casuali stima. 3.1.1 Proprietà degli stimatori ˆ Se con X si indica una variabile casuale, discreta o continua, con funzione di massa o di densità di probabilità f(x;) , caratterizzata dal parametro incognito , il problema della ricerca dello stimatore ”migliore” del parametro stesso si sostanzia nella individuazione della “migliore” funzione campionari di cui si dispone: T X , X ,...., X T 1 2 n X da applicare agli elementi Definizione 1 (Stimatore). Se con X si indica una variabile casuale, discreta o continua, con funzione di massa o di densità di probabilità f(x;), caratterizzata dal parametro incognito , e si indica con X 1 ,X 2 ,…,X n un campione casuale semplice riferito alla variabile stessa, si dice stimatore qualunque statistica T X , X ,...., X T 1 2 n X , cioè qualunque variabile casuale, funzione degli elementi campionari, le cui determinazioni vengono utilizzate per ottenere una stima del parametro incognito . Le proprietà “ottimali” che verranno considerate in queste note sono la: sufficienza; concentrazione; prossimità; efficienza; consistenza. 3.1.2 Sufficienza Relativamente alle “proprietà ottimali” di uno stimatore si deve, innanzi tutto, tenere 177
Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) Bruno Chiandotto Versione 2015 3. Stima presente che la funzione T pertanto, più che ragionevole richiedere ad uno stimatore opera una compattazione delle informazioni; risulta, ˆ 1, 2,....., n T X X X contenere il massimo delle informazioni che il campione fornisce in merito al valore del parametro incognito . Nel caso in cui si riesce ad individuare uno stimatore ˆ di che contiene tutte le informazioni su possedute dal campione di dati a disposizione, si dice che è uno stimatore sufficiente di . Appare subito evidente che nei casi in cui esistono più stimatori sufficienti, si dovrà restringere la ricerca del miglior stimatore entro tale classe poiché, al di fuori di essa, ogni altro stimatore avrebbe come conseguenza una mancata utilizzazione di informazioni utili contenute nel campione. Ovviamente, è sufficiente lo stimatore basato su una statistica sufficiente (cfr. paragrafo 2.2). 3.1.3 Concentrazione e prossimità Oltre alla sufficienza, risulta conveniente che le singole stime non si discostino troppo dal valore incognito da stimare, che presentino, cioè, il minimo di variabilità intorno a tale valore, variabilità che può essere misurata sia attraverso specifici indici sintetici, come si avrà modo di verificare nelle righe successive, sia considerando direttamente la distribuzione di probabilità. ˆ 1, 2,..., n * * Definizione 2 (Concentrazione). Lo stimatore Θ T X X X relazione: * ˆ ˆ P Θ P Θ 0 è detto più concentrato dello stimatore ˆ che soddisfa la per qualsiasi valore di ˆ , ,....., 1 2 n Θ T X X X Quella specificata è una proprietà relativa, si effettua, cioè, il confronto tra due particolari stimatori ˆ * Θ qualunque stimatore alternativo a più concentrato in assoluto. ˆΘ e ˆΘ . Se la disuguaglianza vale per ˆ * Θ si dirà che ˆ 1, 2,..., n * * Definizione 3 (Prossimità). Lo stimatore Θ T X X X relazione: P Θ ˆ * Θ ˆ 0,5 ˆ * Θ . è lo stimatore che soddisfa la per qualsiasi valore di è detto più prossimo (secondo Pitman) dello stimatore Θˆ T X1, X 2,....., X n . 178
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