CAP 3 – STIMA

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Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) Bruno Chiandotto Versione 2015 3. Stima CAP. 3 – STIMA Introduzione Nel capitolo precedente sono state esaminate le distribuzioni di alcune funzioni T(X 1 ,X 2 ,…,X n ) degli elementi campionari soffermando l’attenzione, in particolare, su media e varianza facendo specifico riferimento al campionamento da popolazioni normali. Come sottolineato, considerazioni analoghe possono essere svolte nei confronti di funzioni diverse da quelle analizzate; la logica del procedimento da seguire resta T sostanzialmente immutata anche se, ovviamente, lo svolgimento analitico dipenderà dalle specificità considerate. Rimane altresì immutata anche la natura della funzione che, nella generalità dei casi, è quella di compattare l’informazione campionaria in modo da consentire un’estensione delle conclusioni cui si perviene attraverso l’elaborazione dei dati campionari all’intera popolazione dalla quale il campione stesso è stato estratto. Il nucleo centrale dell’inferenza statistica o statistica induttiva risiede, appunto, nella fissazione di “criteri di ottimalità” e nell’individuazione di regole che consentano il loro soddisfacimento affinché il processo di induzione (dal campione alla popolazione) sia il “migliore possibile”. I criteri di ottimalità dipendono, ovviamente, dai problemi di induzione che si vogliono risolvere e che, come già sottolineato nella premessa, possono essere distinti e raggruppati in problemi statistici di: 1. stima (puntuale e per intervallo) 2. verifica o test d’ipotesi. Nel primo caso, i dati campionari vengono utilizzati per ottenere una misura (stima) di un’entità incognita relativa alla popolazione (indici caratteristici e/o parametri caratteristici e/o forma analitica del modello rappresentativo del fenomeno che s’intende analizzare). Nel secondo caso, i dati campionari vengono utilizzati per procedere al rifiuto o all’accettazione di una particolare ipotesi (congettura) formulata in merito ad entità incognite relative alla popolazione di origine del campione. La stima e il test delle ipotesi possono riguardare sia la forma funzionale del modello rappresentativo della popolazione di interesse sia i parametri che lo caratterizzano sia, più semplicemente, gli indici caratteristici; in questo caso si parla, come già più volte sottolineato, di inferenza statistica non parametrica o inferenza libera da distribuzione (distribution free) in quanto non si presuppone nota la forma analitica del modello rappresentativo della popolazione. Se invece la stima o il test delle ipotesi riguardano i soli parametri caratteristici, in quanto si assume nota la forma analitica del modello, si T 175
Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) Bruno Chiandotto Versione 2015 3. Stima parla di inferenza statistica parametrica. In questo capitolo si tratterà, in modo quasi esclusivo, di stima parametrica limitatamente alla così detta impostazione classica dell’inferenza statistica, cioè, dell’inferenza statistica che tratta di procedure di induzione basate sulla sola evidenza campionaria (informazione oggettiva) a differenza dell’impostazione bayesiana che prevede, invece, l’utilizzo simultaneo di informazioni campionarie e di informazioni a priori che, nella generalità dei casi, hanno natura soggettiva. 3.1 - Stima puntuale Se X è una variabile casuale discreta o continua, con funzione di massa o di densità di probabilità f(x;dove Θ rappresenta il parametro caratteristico non noto, la stima puntuale di si risolve nella ricerca di una funzione degli elementi campionari x1, x2,..., xn in modo tale da ottenere un valore ˆ 1, 2,..., n T x x x vicino possibile’ al vero valore dell’entità incognita Come già sottolineato più volte, attraverso l’introduzione della statistica che sia ‘il più T effettua una compattazione delle informazioni passando, usualmente, dagli n valori numerici x 1 ,x 2 ,…,x n ad un solo valore numerico, ad es. x 1 n xi n i 1 si . Risulta evidente che tale operazione comporta una notevolissima perdita di informazioni; aspetto questo che non deve assolutamente preoccupare, anzi, in molte situazioni risulta vantaggioso, soprattutto quando le informazioni che si perdono sono del tutto irrilevanti ai fini degli obiettivi che s’intendono perseguire. L’ultima considerazione suggerisce una prima possibilità di qualificazione della generica affermazione deve essere “il più vicino possibile” a od anche, ˆ deve ˆ essere “la migliore stima” di . Ad esempio, se si ha ragione di ritenere che una certa variabile casuale X sia distribuita normalmente, ma non si conosce il valore numerico dei due parametri che la caratterizzano, µ e 2 , si può decidere di estrarre un campione di n elementi dalla distribuzione stessa e cercare poi di individuare due funzioni che applicate ai valori campionari diano una misura, la “migliore”, dei due parametri incogniti. Analogo ragionamento può essere fatto nei confronti del parametro che caratterizza la distribuzione di Poisson, del parametro p che caratterizza la distribuzione bernoulliana, ecc. Più in generale, data una variabile casuale, discreta o continua, X con funzione di massa o di densità di probabilità f(x;), la stima puntuale del un parametro incognito si ottiene applicando una specifica funzione T ai valori campionari; essa varierà quindi al variare del campione, secondo la legge di distribuzione della popolazione cui il campione si riferisce, ed è necessario fare riferimento a tale distribuzione per riuscire a 176
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