CAP 3 – STIMA
Cap. 3 - Dipartimento di Statistica, Informatica, Applicazioni ...
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Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie<br />
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)<br />
Bruno Chiandotto Versione 2015<br />
3. Stima<br />
giudicare la “bontà” di una qualunque stima<br />
ˆ = T(x 1 , x 2 ,...,x n ). Infatti, non è possibile<br />
affermare se un singolo valore numerico, cioè se una particolare stima<br />
ˆ<br />
è “buona” o<br />
“cattiva” poiché è tanto più “buona” quanto più si approssima al vero valore del<br />
parametro , ma, essendo tale valore incognito, il confronto non è possibile; risulta,<br />
cioè, impossibile valutare la “bontà” di una singola stima.<br />
Pertanto, è improprio parlare di stima “buona” o “cattiva”, si deve parlare invece di<br />
stimatore “buono” o “cattivo”, intendendo, con ciò, fare riferimento al metodo di stima<br />
impiegato le cui proprietà non sono valutabili facendo riferimento ad un singolo<br />
campione ma all’intero universo di tutti i campioni possibili. Il confronto fra stimatori<br />
dovrà, quindi, essere basato sul confronto tra le corrispondenti distribuzioni campionarie;<br />
cosa questa ovviamente poco pratica, si preferisce allora effettuare il confronto facendo<br />
riferimento a particolari indici caratteristici delle variabili casuali stima.<br />
3.1.1 Proprietà degli stimatori<br />
ˆ<br />
Se con X si indica una variabile casuale, discreta o continua, con funzione di massa o di<br />
densità di probabilità f(x;) , caratterizzata dal parametro incognito , il problema della<br />
ricerca dello stimatore ”migliore” del parametro stesso si sostanzia nella individuazione<br />
della “migliore” funzione<br />
campionari di cui si dispone:<br />
<br />
T X , X ,...., X T<br />
1 2<br />
n<br />
X<br />
da applicare agli elementi<br />
Definizione 1 (Stimatore). Se con X si indica una variabile casuale, discreta o continua,<br />
con funzione di massa o di densità di probabilità f(x;), caratterizzata dal<br />
parametro incognito , e si indica con X 1 ,X 2 ,…,X n un campione casuale<br />
semplice riferito alla variabile stessa, si dice stimatore qualunque statistica<br />
<br />
T X , X ,...., X T<br />
1 2<br />
n<br />
X<br />
, cioè qualunque variabile casuale, funzione<br />
degli elementi campionari, le cui determinazioni vengono utilizzate per<br />
ottenere una stima del parametro incognito .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Le proprietà “ottimali” che verranno considerate in queste note sono la:<br />
sufficienza;<br />
concentrazione;<br />
prossimità;<br />
efficienza;<br />
consistenza.<br />
3.1.2 Sufficienza<br />
Relativamente alle “proprietà ottimali” di uno stimatore si deve, innanzi tutto, tenere<br />
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