CAP 3 – STIMA

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dove Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) Bruno Chiandotto Versione 2015 3. Stima d E Θ ˆ viene detta distorsione. Se Θ ˆ ( , ,..., ) n Tn X1 X 2 X n è uno stimatore non distorto di si ha d 2 = 0 e quindi: 2 2 EQM ( Θˆ ) E Θ ˆ E Θˆ E Θ ˆ Var( ˆ ) cioè, se uno stimatore è corretto il suo errore quadratico medio e la sua varianza coincidono. Pertanto, nella classe ristretta degli stimatori corretti si può affermare che lo stimatore più efficiente nell’EQM è lo stimatore di minima varianza. Quest’ultima conclusione provoca spesso confusione inducendo a concludere che lo stimatore più efficiente è lo stimatore di minima varianza; si tratta, ovviamente, di una conclusione errata perché l’affermazione vale solo nell’ambito degli stimatori corretti. Il vincolo di correttezza in molti testi non viene introdotto con una tale connotazione, cioè come restrizione della classe degli stimatori, ma come proprietà dello stimatore stesso. Nella logica espositiva qui seguita, dove la “bontà” di uno stimatore è misurata facendo riferimento alla sua variabilità campionaria, una tale interpretazione della correttezza non può essere accolta; in altre parole la correttezza rappresenta un vincolo e non una proprietà. Ovviamente, a parità di tutte le altre condizioni, uno stimatore corretto è preferibile ad uno stimatore distorto. È stato più volte sottolineata la possibilità di non esistenza dello stimatore più efficiente, sia nell’EQM che nell’ESM, possibilità questa molto meno frequente invece nella classe ristretta degli stimatori corretti; infatti, come si avrà modo di chiarire nelle righe che seguono, per alcuni modelli è possibile dimostrare che, in una classe ristretta, esiste lo stimatore più efficiente nell’EQM. In tale ottica un ruolo fondamentale è svolto dalla disuguaglianza di Cramèr-Rao; si tratta di una disuguaglianza che individua il valore minimo assumibile dalla varianza di uno stimatore corretto. Teorema 3 (Limite di Cramèr-Rao); Sia X una v.c. con funzione di massa o di densità f(x; ), dove Θ è un parametro incognito, e X 1, X 2,..., X n uno stimatore corretto di , se sono soddisfatte le condizioni di regolarità: d log f x ; esiste per qualunque x e per qualunque Θ d d d ; d d n n d f x dx dx dx f x dx dx dx ; ; i 1 2 n i 1 2 n i1 d i1 , , ; 1 2 n i 1 2 n i1 n t x x x f x dx dx dx n d t x , x , x f x ; dx dx dx ; 1 2 n i 1 2 n d i1 ; è 181
Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) Bruno Chiandotto Versione 2015 3. Stima d 0 E log f x ; per qualunque . d Θ vale la relazione di disuguaglianza Var Dimostrazione 1 1 ˆ 2 2 n d d E log f X nE log f i;θ X; d i1 d n d d 1 t x , x , x f x ; dx dx dx d d 1 2 n i 1 2 n i1 n d t x x x f x dx dx dx , , ; 1 2 n i 1 2 n d i1 n d f xi; dx1dx2dxn d i1 n t x1, x2, xn f xi; d i1 n d E t x1 x2 xn f xi d i1 per la disuguaglianza Cauchy - Schwarz ma , , ; E t x1, x2, x n d dx dx 1 2 dx n n d t x1, x2, x n log f xi; f xi; dx1dx2 dxn d i1 i1 d dθ log 2 2 n d E t x1, x2, xn E log f xi; d i1 da cui 1 2 n n 2 n i1 f x ;θ i 2 1 E ˆ t x , x , x Var d E log f x i ;θ dθ i1 2 n 182
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