CAP 3 – STIMA

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Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) Bruno Chiandotto Versione 2015 3. Stima f ( 3 ) f ( 1 ) f ( 2 ) Fig. 3.1 - Grafico relativo alla distribuzione di tre diversi stimatori Dei tre stimatori considerati ˆ 1 , ˆ 2 e ˆ 3 il secondo ˆ 2 è senz'altro da scartare, infatti tale stimatore pur essendo corretto presenta una variabilità nettamente superiore a quella dell'altro stimatore corretto stimatori ˆ 1 e ˆ 3 ˆ 1 . La scelta tra le funzioni che danno luogo agli , presenta invece qualche difficoltà; infatti, in questo caso si tratta di confrontare due stimatori, dei quali, quello che possiede la “proprietà” della correttezza ˆ 1 mostra una maggiore variabilità rispetto a . Risulta ragionevole, nella situazione prospettata, scegliere lo stimatore la disuguaglianza ˆ 3 EQM ˆ EQM ˆ 3 1 risulta più elevata per lo stimatore ; infatti, come si può evincere dalla figura, valendo ˆ 3 la probabilità di ottenere valori prossimi a rispetto allo stimatore L’inserimento del vincolo di correttezza riduce, in pratica, lo spazio in cui ricercare l’ottimo; se si riuscisse ad individuare tale ottimo, lo stimatore che minimizza l’errore quadratico medio nell’ambito ristretto delle stime corrette, si sarebbe individuata la strategia dominante nella classe ristretta degli stimatori corretti. Un tale stimatore viene usualmente indicato con l’acronimo BU(E) (Best Unbiased Estimator). Nel situazione prospettata nella Fig. 3.1 il miglior stimatore nella classe ristretta è In molte situazioni operative non esiste un’alternativa dominante, cioè un minimo per qualunque valore di , neppure nella classe ristretta degli stimatori corretti, ed anche quando una tale possibilità sussiste a livello teorico può risultare molto difficile o addirittura impossibile procedere alla sua derivazione analitica, come già sottolineato, in tali situazioni si può procedere all’inserimento di un ulteriore vincolo, il vincolo di linearità T X 1,X 2 ,...,X n 0 i X i n . i1 ˆ 1 . ˆ 1 . 187
Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie INFERENZA STATISTICA (Note didattiche) Bruno Chiandotto Versione 2015 3. Stima Nella classe ristretta degli stimatori lineari e corretti si riesce ad individuare gli stimatori ottimali (cioè gli stimatori più efficienti) in molte situazioni rilevanti di ricerca, tra queste, la più significativa è quella che riguarda i modelli statistici lineari, in particolare il così detto modello classico di regressione lineare. In tale contesto, come si avrà modo di chiarire successivamente, il metodo di stima statistica puntuale che ne risulta viene, usualmente, detto metodo di stima dei minimi quadrati. Per indicare lo stimatore che minimizza l’EQM nell’ambito degli stimatori lineari e corretti si utilizza usualmente l’acronimo BLU(E) (Best Linear Unbiased Estimator) Il metodo di stima puntuale basato sulla minimizzazione dell’errore quadratico medio può essere interpretato facilmente in termini decisionali. In un contesto decisionale l’errore quadratico medio assume la veste di funzione di perdita e l’impossibilità di individuazione dello stimatore più efficiente si risolve nella constatazione della non esistenza di un’alternativa decisionale (azione) che risulti dominante rispetto a tutte le altre: la migliore azione per qualunque stato di natura che, nella specifica circostanza, è rappresentato dal valore assunto dal parametro incognito . 3.2.2 Massima verosimiglianza Un secondo metodo di stima puntuale particolarmente rilevante è il metodo della massima verosimiglianza. Si ricorda che: data una variabile casuale, discreta o continua X, con funzione di massa, o di densità di probabilità f(x;) e un campione casuale semplice di n osservazioni su X , si è definita di verosimiglianza la funzione x n 1 2 n i1 L( ) L( / ) f ( ; x , x ,..., x ) f ( ; x ) Come già sottolineato, la funzione di verosimiglianza coincide, in termini formali, con la funzione di massa o di densità di probabilità del campione: si tratta, infatti, di una stessa espressione interpretata come funzione: degli elementi campionari x 1 , x 2 ,...,x n che variano nell'universo dei campioni (funzione di densità o di massa di probabilità); del parametro per un campione prefissato (funzione di verosimiglianza). Nella prima interpretazione (a priori), si fa riferimento all’universo dei campioni e le variabili che interessano sono, appunto, le variabili casuali campionarie X 1 ,X 2 ,…,X n . Nella seconda interpretazione (a posteriori), le variabili campionarie hanno assunto particolari determinazioni x 1 ,x 2 ,…,x n e sono, pertanto, quantità costanti note; risulta, allora, ragionevole interpretare l’espressione come funzione del parametro (o dei parametri) che, pur essendo una costante, assume la veste di variabile essendo incognito il suo valore. Il metodo di stima della massima verosimiglianza consiste nello scegliere il valore ~ che massimizza la funzione L(). Se L() è una funzione differenziabile, condizione i 188
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