CAP 3 – STIMA

Corso di laurea magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
INFERENZA STATISTICA (Note didattiche)
Bruno Chiandotto Versione 2015
3. Stima
questa che si riscontra molto raramente nei contesti operativi; nella generalità dei casi, la
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varianza è incognita. In tale contesto, per stabilire la dimensione del campione si
dovrà ricorrere ad una sua stima, che potrà derivare da conoscenze pregresse o da
un’indagine campionaria “pilota”, che sarà, ovviamente, di dimensione ridotta ed il cui
unico scopo è quello di pervenire ad una stima della varianza incognita.
Come seconda esemplificazione si ipotizzi di voler determinare la dimensione
campionaria per un intervallo di confidenza del parametro p relativo ad una v.c. di
Bernoulli, , nel rispetto dei vincoli di confidenza ed informatività prefissati.
Come già visto, se risulta ragionevole l’approssimazione con la distribuzione normale,
l’intervallo di confidenza per il parametro p è:
1 X 1
X
p p p p
P z
α 2
p z
α 2 1
n n n n
dove X rappresenta il numero delle volte in cui l’evento d’interesse si è verificato in n
prove indipendenti.
Avendo prefissato il livello di confidenza ( ) e l’ampiezza A dell’intervallo, deve
essere soddisfatta l’uguaglianza
A
X
n
da cui deriva
z
α 2
p
1
1
p X p 1
p p 1
p
n
n
n 4 z
2 2
z
α 2
p 1
p
n A
.
n
2z
Relazione che non può essere utilizzata essendo p l’incognita del problema;
problema che può, comunque, essere risolto o seguendo le indicazioni fornite nella
esemplificazione precedente (informazioni pregresse o indagine pilota), oppure, ed è la
procedura usualmente impiegata, ponendo p = (1-p) = 0,5 , valore questo che
massimizza l’espressione, cioè il valore di n. Si tratta di un atteggiamento prudenziale
che comporta, nella generalità dei casi un sovradimensionamento della numerosità
campionaria.
α 2
n
Esempio 3.8
Nell’esempio la numerosità del campione, anziché essere fissata a priori, viene determinata in
funzione del livello di confidenza e dell'ampiezza dell'intervallo (errore ammesso).
Uno sperimentatore, sapendo che lo scostamento quadratico medio del tempo di reazione delle
cavie ad un certo stimolo è pari a 0,05 secondi, vuole determinare il numero minimo di cavie
da sottoporre ad esperimento affinché, nella stima del tempo medio di reazione, l'eventuale
errore non superi 0,01 secondi ai livelli di confidenza del 95% e del 99%.
Al livello del 95% i limiti di confidenza sono
0,05
0,05
L 1
X 1,96 , L 2
X 1,96
n
n
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