Phát triển năng lực giải quyết vấn đề qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề Nguyên hàm - Tích phân

https://twitter.com/daykemquynhon 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

https://daykemquynhon.blogspot.com 

i 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

LỜI CẢM ƠN 

Để hoàn thành được luận văn này tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu 

sắc tới Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và cán bộ của trường Đại học Hùng 

Vương đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và tạo mọi điều kiện thuận 

lợi cho tôi hoàn thành đề tài này. 

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Đỗ Tùng, đã tận tình hướng dẫ 

và tận tâm chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn 

này 

Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và các em học 

sinh trường THPT Thanh Ba và trường THPT Hùng Vương thị xã Phú Thọ 

đã giúp đỡ và tạo điều kiện trong quá trình khảo sát và thực nghiệm để tôi 

hoàn thiện luận văn này. 

Tôi cũng xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên 

giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. 

Phú Thọ, tháng 09 năm 2018 

Cao Thị Kim Chung 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÝ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM 

HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial





ii 




DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN 

HS 

NXB 

SGK 

THPT 

Học sinh 

Nhà xuất bản 

Sách giáo khoa 

Trung học phổ thông 













iii 




MỤC LỤC 

MỞ ĐẦU........................................................................................................ 1 

1.1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1 

1.2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................... 3 

1.3. Đối tượng nghiên cứu ............................................................................. 3 

1.4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................. 3 

1.5. Giả thuyết khoa học ................................................................................ 3 

1.6. Phương pháp nghiên cứu......................................................................... 4 

1.7. Cấu trúc luận văn .................................................................................... 4 

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 5 

1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu ................................................................ 5 

1.1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề trong nước ................................................. 5 

1.1.2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề trên thế giới……………………………...7 

1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề .................................................. 7 

1.2.1. Vấn đề là gì? ........................................................................................ 7 

1.2.2. Giải quyết vấn đề ................................................................................. 9 

1.2.3. Tình huống có vấn đề ......................................................................... 10 

1.3. Năng lực giải quyết vấn đề.................................................................... 16 

1.3.1. Khái niệm năng lực ............................................................................ 16 

1.3.2. Cấu trúc của năng lực giải quyết vấn đề ............................................ 18 

1.3.3. Năng lực giải quyết vấn đề................................................................. 18 

1.3.4. Dạy học định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 

...................................................................................................................... 19 

1.4. Vị trí, mục tiêu, nội dung phần Nguyên hàm, tích phân trong chương trình 

môn Toán lớp 12 THPT ............................................................................... 23 

1.4.1. Mục tiêu dạy học, chuẩn kiến thức và kỹ năng của chủ đề Nguyên hàm, 


tích phân và ứng dụng .................................................................................. 23 

1.4.2. Nội dung dạy học chủ đề Nguyên hàm, tích phân ............................. 24 












iv 




1.4.3. Định hướng khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề 

Nguyên hàm, Tích phân ............................................................................... 25 

1.4.4. Vai trò của việc khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ 

đề Nguyên hàm, tích phân đối với việc phát triển năng lực phát hiện và giải 

quyết vấn đề cho học sinh ............................................................................ 26 

1.5. Thực trạng việc phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho 

học sinh THPT thông qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc 

chủ đề Nguyên hàm, tích phân ..................................................................... 27 

1.5.1. Thực trạng nhận thức về việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho 

học sinh của giáo viên .................................................................................. 27 

1.5.2. Thực trạng vấn đề bồi dưỡng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho 

học sinh thông qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề 

Nguyên hàm, tích phân ................................................................................ 28 

Chương 2 ...................................................................................................... 32 

CÁC BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ QUA 

KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN THUỘC CHỦ 

ĐỀ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN............................................................ 32 

2.1. Các định hướng đề xuất biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề 

cho học sinh qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề 

Nguyên hàm, tích phân ................................................................................ 32 

2.1.1. Đảm bảo mục tiêu, chuẩn kiến thức, kĩ năng của nội dung chủ đề trong 

Chương trình. ............................................................................................... 32 

2.1.2. Đảm bảo sự kết hợp thực hiện qua khai thác nội dung các bài toán có 

gắn với thực tiễn ........................................................................................... 32 

2.1.3. Đảm bảo sự phù hợp với lí luận thành phần năng lực giải quyết vấn 


đề .................................................................................................................. 32 

2.1.4. Đảm bảo tính khả thi trong điều kiện dạy học hiện nay .................... 33 












v 




2.2. Các biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông 

qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Nguyên hàm, 

tích phân ở lớp 12 THPT.............................................................................. 33 

2.2.1. Biện pháp 1. Tổ chức các hoạt động dạy học theo hướng tích cực hóa 

học sinh đảm bảo cho học sinh nắm vững được kiến thức cơ bản của Nguyên 

hàm, tích phân chương trình Toán 12 THPT ............................................... 33 

2.2.2. Biện pháp 2. Giúp học sinh thấy được vai trò và ứng dụng thực tiễn của 

Nguyên hàm, tích phân nhằm tạo hứng thú cho người học trong quá trình dạy 

học chủ đề này .............................................................................................. 38 

2.2.3. Biện pháp 3. Tăng cường huy động các kiến thức để học sinh phát hiện 

và giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau; Rèn luyện thói quen lựa chọn 

phương án tối ưu trong các cách giải quyết vấn đề. ..................................... 41 

2.2.4. Biện pháp 4. Kích thích để học sinh tham gia hệ thống hóa, xây dựng 

bổ sung chuỗi bài toán có nội dung thực tiễn của chủ đề từ các lĩnh vực thực 

tiễn ................................................................................................................ 44 

2.2.5. Biện pháp 5. Tổ chức các hoạt động học tập, trải nghiệm giải quyết vấn 

đề thực tiễn bằng sử dụng kiến thức Nguyên hàm, tích phân. ..................... 50 

Chương 3 ...................................................................................................... 69 

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................................... 69 

3.1. Mục đích, yêu cầu thực nghiệm sư phạm ............................................. 69 

3.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ........................................................... 69 

3.3. Nội dung và tổ chức thực nghiệm sư phạm .......................................... 69 

3.3.1. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ........................................................... 69 

3.3.3. Thiết kế giáo án minh họa hai bài dạy chủ đề Nguyên hàm, tích phân 

theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề thông qua khai thác bài toán 


có nội dung thực tiễn dạy trong lớp thực nghiệm sư phạm .......................... 70 

KẾT LUẬN .................................................................................................. 90 












vi 

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 92 



















1.1. Lý do chọn đề tài 

1 

MỞ ĐẦU 

Giải quyết vấn đề (Problem solving) là một kỹ năng rất cần thiết trong 

học tập, làm việc và trong cuộc sống của chúng ta. Trong học tập môn Toán, 

có không ít học sinh chỉ biết làm những bài tập đã có sẵn quy trình, thuật giải 

hoặc có bài mẫu trong sách giáo khoa hay trong bài giảng của thầy cô trên lớp, 

còn việc giải quyết những vấn đề, những bài toán có vấn đề thì gặp không ít 

những khó khăn. 

Ngày 19/1/2018, Bộ giáo dục và Đào tạo đã công bố dự thảo chương trình 

môn học và hoạt động giáo dục của chương trình giáo dục phổ thông tổng 

thể.Trong đó, chương trình môn Toán được xây dựng trên cơ sở quán triệt quan 

điểm nội dung phải tinh giản, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với 

đời sống thực tế hay các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh 

vực giáo dục STEM, gắn với xu hướng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa 

học, đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (như biến đổi 

khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính,...). Môn Toán cấp trung học 

phổ thông nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu góp phần hình thành và phát 

triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: sử dụng được các phương pháp 

lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau nhằm giải 

quyết vấn đề; sử dụng được các mô hình toán học để mô tả các tình huống, từ 

đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết 

lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được 

giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá cho 

vấn đề tương tự; sử dụng thành thạo công cụ, phương tiện học toán, biết đề 

xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện học liệu mới phục vụ việc tìm 

tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. 


Đặc điểm môn Toán ở trường THPT cũng không nằm ngoài đặc điểm của 

Toán học là kết quả của sự suy diễn có hệ thống và là kết quả của sự tìm tòi, 















2 

sáng tạo thông qua thực nghiệm và quy nạp. Toán học trong quá trình hình 

thành và phát triển, có quá trình tìm tòi phát minh, có cả thực nghiệm và quy 

nạp. Phương pháp toán học là sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn. Khi dạy 

học các tình huống Toán học điển hình, giáo viên cần chú ý cho học sinh nhìn 

thấy các kiến thức trong quá trình hình thành phát triển và phát sinh. Trong dạy 

học toán, cần trang bị cho học sinh các tri thức phương pháp, đặc biệt là các tri 

thức phương pháp có tính chất tìm đoán. 

Trong môn Toán ở trường Trung học phổ thông, nguyên hàm, tích phân 

là một trong những nội dung quan trọng. Đối với phần lớn học sinh, mảng kiến 

thức này khá mới mẻ, trừu tượng và vô hình tạo nên rào cản cho các em trong 

hoạt động nhận thức. Tuy nhiên, chủ đề kiến thức này (đặc biệt là nội dung về 

ứng dụng của tích phân) có nhiều tiềm năng cho việc khai thác các bài tập, 

trong đó có những bài tập mang nội dung thực tiễn gắn với các lĩnh vực khoa 

học khác nhau. Từ đó, có thể tổ chức các hoạt động giải quyết vấn đề cho học 

sinh nhằm tối đa hóa mục tiêu học tập. 

Đã có một số nghiên cứu về chủ đề này như nghiên cứu của các tác giả 

nghiên cứu về Nguyên hàm – tích phân: 

+ Phạm Thị Yến Lan (2001) về “Rèn luyện năng lực giải toán cho HS dựa trên 

hệ thống bài toán cơ sở”. 

+ Nguyễn Văn Thái Bình (2004)về “Rèn luyện kĩ năng giải toán về nguyên 

hàm, tích phân cho học sinh kết hợp với sử dụng phần mềm Macromedia flash”. 

+ Nguyễn Hồng Hạnh (2011) về “Rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân cho 

học sinh lớp 12 THPT”. 

+ Trần Thị Lan Phương (2011) về “Nâng cao hiệu quả rèn luyện kĩ năng tính 

tích phân cho học sinh cuối cấp THPT”…. 

Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào về việc khai thác các vấn đề thực tiễn 


trong dạy học chủ đề nguyên hàm - tích phân để phát triển năng lực giải quyết 

vấn đề cho học sinh phổ thông. Chính vì vậy, chúng tôi lựa chọn Phát triển 















3 

năng lực giải quyết vấn đề qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn 

thuộc chủ đề Nguyên hàm - Tích phân làm đề tài nghiên cứu. 

1.2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 

1.2.1. Mục đích nghiên cứu: 

- Hệ thống hoá và làm rõ nội dung của năng lực và giải quyết vấn đề 

trong dạy học Nguyên hàm, tích phân thông qua khai thác các bài tập có nội 

dung thực tiễn 

- Từ đó đề xuất các biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề qua 

khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học chủ đề Nguyên hàm, 

tích phân nhằm nâng cao khả năng vận dụng các kiến thức toán học vào thực 

tế cho học sinh 

1.2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 

- Làm rõ cơ sở lí luận về năng lực giải quyết vấn đề của học sinh 

- Khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề nguyên hàm tích 

phân để nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. 

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của 

đề tài. 

1.3. Đối tượng nghiên cứu 

Nghiên cứu phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông 

qua khai thác bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề Nguyên hàm, tích 

phân. 

1.4. Phạm vi nghiên cứu 

Quá trình dạy học chủ đề Nguyên hàm, tích phân lớp 12 THPT với việc 

phát triển năng lực giải quyết vấn đề 

1.5. Giả thuyết khoa học 

Trên cơ sở trang bị vững chắc những kiến thức cơ bản về nguyên hàm, 


tích phân trong chương trình Giải tích lớp 12, nếu giáo viên khai thác được 

những tình huống, bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề nguyên hàm tích 















4 

phân đưa vào trong bài giảng và tổ chức các hoạt động học tập, hướng dẫn học 

sinh giải quyết vấn đề những vấn đề thì học sinh vừa hứng thú học tập, vừa góp 

phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn cho học sinh. 

1.6. Phương pháp nghiên cứu 

- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Tổng quan các tài liệu trong 

nước và ngoài nước về lý luận dạy học có liên quan đến đề tài. Sử dụng phối 

hợp các phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp, hệ thống hóa, khái quát 

hóa... trong nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến đề tài. 

- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: điều tra cơ bản thực trạng 

hoạt động dạy và học ở trường phổ thông hiện nay, việc sử dụng các bài tập có 

nội dung thực tiễn trong dạy học Toán học. Thực nghiệm sư phạm để kiểm 

chứng giả thuyết khoa học của đề tài. 

- Phương pháp xử lý thống kê toán học kết quả thực nghiệm, đưa ra 

những kết quả phân tích định tính, định lượng từ đó rút ra kết luận cho đề tài. 

1.7. Cấu trúc luận văn 

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm ba chương: 

Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn 

Chương 2. Các biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho 

học sinh qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề 

nguyên hàm, tích phân 

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 
















1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu 

5 

Chương 1 

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 

1.1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề trong nước 

Trong tài liệu “Dạy – học giải quyết vấn đề: Một hướng đổi mới trong 

công tác giáo dục, đào tạo, huấn luyện” của Trường Cán bộ quản lý Giáo dục 

và Đào tạo, năm 1996, các tác giả Vũ Văn Tảo, Trần Văn Hà đã trình bày lịch 

sử, những nét đặc trưng của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và phương 

hướng vận dụng ý tưởng giải quyết vấn đề trong các trường học ở nước ta. [13, 

trang 28] 

Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề đã có từ lâu với những tên gọi 

khác nhau. Tác giả Nguyễn Bá Kim (2017) sử dụng thuật ngữ “dạy học phát 

hiện và giải quyết vấn đề” , trong khi một số tác giả khác viết là “dạy học nêu 

vấn đề” hoặc “dạy học gợi vấn đề” [5, trang 169]. Thực ra hai cách gọi “dạy 

học nêu vấn đề” hoặc “dạy học gợi vấn đề” đều không phản ánh đúng bản chất 

của phương pháp dạy học này: Chỉ nêu vấn đề hoặc gợi vấn đề thì chưa rõ có 

giải quyết vấn đề hay không. 

Nguyễn Bá Kim (2017) cho rằng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có 

cơ sở giáo dục học, cơ sở triết học và cơ sở tâm lý học. [5, trang 170-172]. 

Cơ sở triết học được thể hiện bởi quy luật biện chứng: mâu thuẫn giữa 

nhu cầu cần giải quyết vấn đề và vốn kiến thức, kinh nghiệm trong việc giải 

quyết vấn đề, sẽ là động lực để giải quyết vấn đề. Cơ sở tâm lý học thể hiện ở 

nhu cầu nhận thức và nhu cầu giải quyết công việc; nhu cầu này có tạo nên áp 

lực hay sự hứng thú với công việc hay không. Cơ sở giáo dục học thể hiện ở 

nguyên tắc người học phải tích cực và tự giác, thể hiện ở mục tiêu giáo dục. 

Bùi Văn Nghị (2017) cũng bàn nhiều đến phương pháp dạy học phát hiện 


và giải quyết vấn đề và phương hướng vận dụng phương pháp này vào dạy học 

môn Toán ở trường phổ thông [8, trang 122]. 















6 

Theo những kết quả nghiên cứu về lý luận nêu trên, đã có không ít những 

công trình, luận án, luận văn nghiên cứu về dạy học giải quyết vấn đề. 

Có thể kể đến những công trình, như: 

- Luận văn của Phạm Thị Hồng Nhung (6/ 2018 – Đại học Sư phạm Hà 

Nội) về “Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học 

chủ đề Phương trình quy về bậc hai – Đại số 10”; 

Có thể kể ra khá nhiều những luận án, luận văn theo hướng nghiên cứu 

về dạy học giải quyết vấn đề; tuy nhiên mỗi công trình nghiên cứu sâu về một 

khía cạnh vận dụng phương pháp dạy học này hoặc vận dụng nó trong dạy học 

những nội dung khác nhau trong môn Toán ở các cấp khác nhau. 

1.1.2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề trên thế giới 

Trong các tài liệu [13, trang 9], [5, trang 169], [8, trang 136], Vũ Văn 

Tảo, Trần Văn Hà, Nguyễn Bá Kim, Bùi Văn Nghị đã đề cập tới những công 

trình nghiên cứu tiêu biểu về dạy học giải quyết vấn đề của các tác giả nước 

ngoài, như: 

- Công trình của Machiuskin A. M. (1972) về “các tình huống có vấn đề 

trong tư duy và trong dạy học” – sách dịch của nhà xuất bản Giáo dục; 

- Công trình của Lecne I. Ia (1972) về “Dạy học nêu vấn đề” – sách dịch 

của nhà xuất bản Giáo dục; 

- Công trình của Jean Vial (1986) về “Lịch sử và thời sự về các phương 

pháp sư phạm” – sách dịch của nhà xuất bản Giáo dục; …. 

Theo các công trình đó, đặc trưng của phương pháp dạy học giải quyết 

vấn đề là “Tình huống có vấn đề” và “Tình huống học tập”. 

“Machuiskin coi tình huống có vấn đề là một dạng đặc biệt của sự tác 

động qua lại giữa chủ thể và khách thể, được đặc trưng bởi một trạng thái tâm 

lý xuất hiện ở chủ thể trong khi giải quyết một bài toán, mà việc giải quyết đó 


lại cần đến một tri thức mới, cách thức hành động chưa hề biết trước đó.” (Dẫn 

theo [13] trang 19 -20) 















7 

Theo Lecne I. Ia: “Dạy học nêu vấn đề là phương pháp dạy học trong đó 

học sinh tham gia một cách có hệ thống vào quá trình giải quyết vấn đề và các 

bài toán có vấn đề được xây dựng theo nội dung tài liệu học tập trong chương 

trình. Bài làm nêu vấn đề đặt ra cho học sinh phải phù hợp với khả năng trí tuệ 

của họ; có thể đánh giá mức độ khó khăn của bài làm nêu vấn đề đặt ra theo 

hai tiêu chí chính: Theo mức độ khái quát cao hơn của những tri thức và cách 

thức hành động.” (Dẫn theo [8] trang 136) 

Như vậy có thể nói: Dù với những cách gọi khác nhau, các nhà giáo dục 

học đã quan tâm nhiều đến phương pháp dạy học giải quyết vấn đề, bởi đây là 

phương pháp phát huy được tính tích cực, tự giác trong học tập của học sinh, 

phù hợp với mục tiêu đào tạo. Tuy nhiên, vấn đề “Phát triển năng lực giải 

quyết vấn đề qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề 

Nguyên hàm - Tích phân” còn chưa được nghiên cứu cụ thể và là vấn đề giúp 

rèn luyện và phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh trong 

chương trình toán THPT. 

1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 

1.2.1. Vấn đề là gì? 

Trong luận văn này chúng ta chỉ quan tâm đến vấn đề xảy ra trong lớp 

học môn Toán. Có hai khái niệm cần phân biệt là bài tập và bài toán. Bài tập 

(exercise) là dạng bài trong sách giáo khoa [11], sách bài tập đã có sẵn cách 

giải hoặc bài mẫu, học sinh chỉ việc áp dụng một cách máy móc, tương tự như 

bài đã được trình bày trong sách giáo khoa hoặc bài mẫu ở trên lớp. Chẳng hạn, 

tìm nguyên hàm của hàm số y = x 3 , y = 2/ x 2 …. 

Bài tập dùng để luyện tập cho học sinh vận dụng được kiến thức, kỹ năng 

cơ bản (to do exercises), không đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ gì nhiều. Nếu 

theo các mức độ yêu cầu nhận thức, kỹ năng thì bài tập ở mức độ đầu tiên (mức 


độ nhận biết). 

Ta sẽ gọi là bài toán, nếu dạng bài này đòi hỏi học sinh phải thông hiểu 















8 

kiến thức, kỹ năng đã được trang bị ở trên lớp, không chỉ làm theo những như 

bài đã được trình bày trong sách giáo khoa hoặc bài mẫu. Các bài toán sẽ dùng 

để đánh giá mức độ thông hiểu, vận dụng kiến thức, kỹ năng của học sinh. 

Theo G. Polya (1975), trong cuốn “Giải bài toán như thế nào” [9], (trang 

5): “Nếu khi có một yêu cầu, không cần một chút cố gắng nào, lập tức đã có 

một cách thức để thực hiện được điều đó thì đó không phải là bài toán. Nhưng 

nếu không có được một cách như vậy thì đó là một bài toán.” Như vậy, G. Polya 

đã quan niệm bài toán (problem) theo nghĩa rộng. 

Theo Nguyễn bá Kim (2015, [5], trang 170): “Một bài toán được gọi là 

vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào có thể áp dụng để tìm ra phần 

tử chưa biết của bài toán”. 

Ví dụ 1.1: Khi dạy học khái niệm nguyên hàm ta có thể xây dựng từ vấn đề 

thực tế, vì khi học đạo hàm, học sinh đã biết hai bài toán vật lý: 

Hoành độ S của chất điểm chuyển động thẳng được xác định theo thời gian t 

bởi phương trình 

( ) 

S = f t 

trong đó 

( ) 

f t 

tốc tức thời tại thời điểm t là đạo hàm của hàm số 

Và: 

là một hàm số có đạo hàm, thế thì vận 

( ) 

f t 

: 

( ) ( ) 

v t = f ' t 

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q= 

( ) 

f t 

là một hàm số có đạo hàm. Khi đó cường độ tức thời của dòng điện tại 

thời điểm t là đạo hàm của điện lượng Q tại t: 

I 

t 

= 

( ) 

' 

Q t 

Nhưng trong thực tế ta lại có nhiều bài toán ngược lại chẳng hạn như : 

Biết vận tốc v(t), tìm phương trình S = f ( t) 

của chuyển động. Vấn đề đặt 

' 

ra ở đây là tìm hàm số S = f ( t) 

biết đạo hàm f ( t ) của nó. 

Và: 

Biết cường độ dòng điện It, tìm phương trình Q = f ( t ) , tức là hàm số Q 


= f ( t ) biết đạo hàm f ( t ) . 

Ở đây xuất hiện mâu thuẫn giữa thực tiễn với vốn hiểu biết đã có của học 

( ) 

f t 

, 















9 

sinh. Tình huống này nảy sinh vấn đề. Do đó, để giải quyết được mâu thuẫn này 

học sinh cần tư duy để tìm ra câu trả lời. 

1.2.2. Giải quyết vấn đề 

Theo G. Polya (1975) : Một bài toán (vấn đề) có thể đơn giản hoặc phức 

tạp. Trong trường hợp thứ hai, việc tìm lời giải bài toán là một việc khó, tựa 

như tìm con đường đi tới một địa điểm định trước chưa thông thuộc lắm (trang 

5). Theo ông : Trước hết cần phải có ý tưởng, rồi phát triển ý tưởng, lập kế 

hoạch và chương trình giải quyết vấn đề, sau đó trình bày và nhìn lại. ([9], trang 

69-95). 

Trong quy trình nêu trên, theo chúng tôi, bước nảy sinh ý tưởng có vị trí 

quan trọng nhất. Chẳng hạn ý tưởng tìm cách lấy nước uống trong hũ của con 

vẹt trong chuyện dân gian. 

Hình 1.1. Cách lấy nước uống trong hũ của con vẹt 

Khi đã có ý tưởng thì ta thiết lập những phương pháp, sử dụng các công 

cụ như kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo…để vượt qua những khó khăn trở ngại đã 


được đặt ra hay chính là giải quyết vấn đề. 

Có thể quan niệm quá trình giải quyết vấn đề gồm bốn bước sau: 

Bước 1. Tìm hiểu và nhận biết vấn đề. Học sinh tìm hiểu tổng thể vấn đề, 















10 

xác định rõ thông tin đã cho và thông tin cần tìm, đồng thời huy động các kiến 

thức và thông tin mình có liên quan đến vấn đề, sử dụng các cách thăm dò để 

biến đổi thông tin tìm ra các thông tin cần thiết mới. 

Bước 2. Tìm giải pháp. Tổ chức và sử dụng các thông tin có được, đó 

chính là sự tích hợp thông tin và các kiến thức đã có, đưa ra phán xét và quyết 

định sử dụng thông tin nào, đưa ra giả thuyết về cách giải quyết vấn đề dựa trên 

các thông tin này. 

Bước 3. Tổ chức thực hiện giải pháp. Quá trình này bao gồm xác định 

mục tiêu của vấn đề, lập kế hoạch cho các mục tiêu và các bước cụ thể theo giả 

thuyết đã đưa ra từ trước để đưa ra được một giải pháp. 

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp. Rà soát lại giải pháp đã được thực 

hiện và xem xét đánh giá liệu một cách tiếp cận khác có thể phù hợp hơn, hay 

liệu giải pháp như thế có đúng hay không, hay có nên xem xét lại các giả thuyết 

ban đầu, hay có thể đưa ra các vấn đề mới. 

Hai bước đầu là quá trình hấp thụ kiến thức và hai bước sau là quá trình 

ứng dụng kiến thức. 

1.2.3. Tình huống có vấn đề 

Theo Nguyễn Bá Kim [5]: “Tình huống gợi vấn đề, còn gọi là tình huống 

vấn đề, là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận hay 

thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả vượt qua, nhưng không phải ngay tức 

khắc nhờ một thuật giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt 

động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có. 

Như vậy, tình huống gợi vấn đề là một tình huống thỏa mãn các điều kiện 

sau: Tồn tại một vấn đề, gợi nhu cầu nhận thức, khơi dậy niềm tin ở khả năng 

bản thân”. (trang 174) 

Ví dụ 1.2: Khái niệm tích phân được xây dựng từ tình huống có vấn đề với 


học sinh đã biết một đa giác có thể phân chia thành nhiều tam giác hoặc các 

hình (mà ta đã biết cách tính diện tích) nên ta có thể tính diện tích của mọi đa 















giác phẳng. 

11 

Vấn đề đặt ra là: Trong thực tế một hình phẳng được giới hạn bởi một đường 

cong tùy ý thì việc tính diện tích của nó như thế nào? Như vậy, ở đây xuất hiện 

mâu thuẫn giữa thực tiễn với vốn hiểu biết của học sinh. Để giải quyết được 

mâu thuẫn này, học sinh phải phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa và từ 

đó tìm ra câu trả lời của câu hỏi trên. 

Hình thành khái niệm. 

Muốn tính diện tích một đa giác phẳng ta có thể phân chia đa giác thành nhiều tam 

giác, hình chữ nhật và các hình mà ta đã biết tính diện tích. Khi đó diện tích của 

đa giác phẳng bằng tổng diện tích được phân chia. Nhưng trong thực tế muốn tính 

diện tích của phẳng (như hình 1.2) thì việc tính diện tích của nó sẽ như thế nào? 

Để giải quyết bài toán này trước hết phải biết khái niệm hình thang cong và tam 

giác cong. 

Từ đó giáo viên dẫn dắt đưa ra khái niệm hình cong: 

- Nếu một tam giác vuông khi thay cạnh huyền của nó bằng một cung 

đường cong thì được một hình phẳng gọi là tam giác cong. 

- Nếu một hình thang vuông khi thay cạnh bên không vuông góc với đáy bằng 

một cung của đường cong thì được một hình phẳng gọi là hình thang cong. 

Vậy theo các em khi có khái niệm hình thang cong và tam giác cong ta giải bài toán 

trên khi nào ? 

Hình 1.2 


Bài toán : Cho hình thang vuông T được giới hạn bởi đường thẳng y= 2x+ 1, 















12 

trục hoành và hai đường thẳng x = 1 và x = 5. 

a. Tính diện tích hình thang T. 

b. Với x 1; 5 

, kí hiệu S(x) là diện tích hình thang vuông giới hạn bởi 

đường thẳng y= 2x+ 1, trục hoành và hai đường thẳng song song với Oy, lần 

lượt đi qua 1 và x của trục hoành. Tính S(x). 

c. Chứng minh rằng S(x) là một nguyên hàm của hàm số 

trên đoạn 1; 5 . Suy ra diện tích hình T bằng S(5) − S(1) 

. 

y 

A 

A 

T 

S(x) 

M N M P N 

O 1 5 x O 1 5 

1. Đường thẳng 

x =1 và 

x = 5 cắt đường thẳng 

và B(5; 11) nên diện tích hình thang T là: 

y= 2x+ 

1 

1 1 

S = SMNBA 

= ( AM + BN). MN = (3 + 11).4 = 28 

2 2 

f ( x) = 2x 

+ 1 

tại hai điểm A(1;3) 

2. Diện tích hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y= 2x+ 1, trục hoành 

và hai đường thẳng song song với Oy, lần lượt đi qua 1 và x của trục hoành là: 

1 1 

S( x) = SMPCA 

= ( AM + CP) MP = (3 + 2x + 1)( x − 1) = ( x + 2)( x − 1) 

2 2 

3. x 

(1; 5) , ta có: 

B 

Hình 1.3 


' ( ) = ( + 2)( − 1) ' 

= ( + 2) ' .( − 1) + ( + 2).( − 1) 

' 

S x x x x x x x 

y 

C 

B 

. 

x 












13 




= 2x 

+ 1 = f ( x) 

. 

S( x) − S(1) 

(1 ) lim lim( 2) 3 (1) . 

x −1 

' + 

S = = x + = = f 

x→1 + x→1 

+ 

' − S( x) − S(5) ( x + 2)( x −1) − 28 

S (5 ) = lim = lim 

− 

− 

x→5 x−5 x→5 

x−5 

= lim( x+ 6) = 11 = f(5) 

. 

x→5 

− 

Vậy S(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2x 

1 

Ta có S(5) = 28, S(1) = 0 nên S(5) - S(1) = 28 = S. 

Nhận xét: 

• Hàm số 

f ( x) = 2x 

+ 1 

• Nếu S(x) là nguyên hàm của 

hình thang T bằng 

1; 5 . 

= + trên đoạn 

1; 5 

đồng biến và không âm trên đoạn 

f ( x) = 2x 

+ 1 

S = S(5) − S(1) = 28 

Một cách tổng quát ta xét bài toán sau: 

. 

1; 5 

trên đoạn 

. 

thì diện tich 

Bài toán: Hãy tính diện tích hình thang cong aABb, giới hạn bởi đồ thị hàm số 

y = f ( x), f ( x) 0 , trên Ox, với hai đường thẳng 

x = a, 

x = b ? 

O 

y 

A 

a 

Hình 1.4 


B 

b 

x 















14 

Ta có thể chia đoạn [a; b] thành những đoạn sao cho hàm số y = f ( x) 

đơn điệu 

trên mỗi đoạn nhỏ đó (hình 1.4) 

Do đó ta chỉ cần giải bài toán trên với giả thiết rằng hàm số y = f ( x) 

đơn điệu, 

chẳng hạn y = f ( x) 

đồng biến trên đoạn [a; b] (hình 1.4). 

Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số 

y = f ( x) 

, trục Ox, hai đường thẳng 

đi qua a và x ( a x b) 

trên trục 

hoành và song song với Oy. 

Để S(x) là một nguyên hàm của hàm 

số f(x) trên [a; b] ta phải chứng 

minh: 

( ) 

s ' ( x) = f ( x), x a; 

b 

' + ' − 

S a = f a S b = f b 

( ) ( ), ( ) ( ) 

và 

. 

M N 

Ta chứng minh điều đó. 

O a x0 x 

b 

Thật vậy, giả sử x0 là điểm bất kì 

H×nh 1. 5 

thuộc khoảng (a; b), ta chứng minh S(x) có đạo hàm tại x0 và S ’ (x0) = f(x0). 

Xét hai trường hợp sau: 

a. Trường hợp 1: 

Hãy tính SMNPQ , SMNEF 

và 

S MNEQ 

x x b 

S = MN. MQ = ( x − x ). f ( x ) 

MNPQ 

S = S( x) − S( x ). 

MNEQ 

So sánh SMNPQ , SMNEF và 

S S S 

MNPQ MNEQ MNEF 

0 

0 

0 0 

; 

S . 

MNEQ 


( x − x ). f ( x ) S( x) − S( x ) ( x − x ). f ( x) 

(1). 

0 0 0 0 

y 

A 

F 

Q 

E 

P 

S( x) − S( x ) 

f x 

B 

0 

( 

0) f ( x) 

x− 

x0 

x 















b. Trường hợp 2: 

a x x 0 

Tương tự như trên ta có: 

f x 

S( x ) − S( x) 

0 

( ) 

f ( x0) 

x0 

− x 

Từ (1) và (2), ta có: 

S( x) − S( x ) 

(2). 

15 

0 

0 − f ( x0) f ( x) − f ( x0) 

x− 

x0 

tại x0, ta được: 

hay 

lim f ( x) = f ( x ) 

x→x 

f ( x) − f ( x ) →0 

0 

0 

khi 

0 

x→ 

x 0 

. 

(3) Theo giả thiết hàm số f(x) liên tục 

Từ (3) theo định lí giới hạn một hàm số kẹp giữa hai hàm số có cùng giới hạn 

là 0 ta có: 

S( x) − S( x ) 

0 

lim 

− f( x0) = 

0 

x→x0 

x− 

x0 

 

S( x) − S( x ) 

0 

lim = f ( x0) = S '( x0) 

x→x0 

x− 

x0 

Vậy S(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b). 

Nếu chọn x0 = a thì S ’ (a + ) = f(a). 

Nếu chọn x0 = b thì S ’ (b - ) = f(b). 

 

 

Vậy S(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên đọan [a; b] và ta thấy diện tích 

hình thang cong aABb là S = S(b). 

Ta chứng minh diện tích hình thang cong aABb là S(b) = F(b) - F(a). 

Vậy nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a; b] thì ta có mối liên hệ 

giữa F(x) và S(x): S(x) = F(x) + C. 

S(a) = F(a) + C = 0 suy ra C = - F(a) . Vậy S(x) = F(x) – F(a). 

O 

. 

y 

A 

a 

F 

Q 

H×nh 1.6 


M 

x 

E 

P 

N 

x0 

B 

b 

x 















16 

Khi đó diện tích hình thang cong aABb được tính như sau: 

S(b) = F(b) – F(a). 

Định nghĩa tích phân: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K, a và b 

là hai phần tử bất kì của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số 

F( b) − F( a) 

được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được kí hiệu là 

b 

 

a 

f ( x) 

dx . Vậy theo định nghĩa, ta có: 

Dấu 

 

b 

 

a 

b 

f ( x) dx = F( x) = F( b) − F( a) 

a 

. (*) 

là dấu tích phân, biểu thức f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) 

là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x), 

a và b được gọi là cận của tích phân, a gọi là cận dưới, b gọi là cận trên, x được 

gọi là biến số của tích phân. 

Công thức (*) được gọi là công thức Niutơn- Laipnit. 

Hoạt động 2. Củng cố khái niệm 

Giáo viên đưa ra bài tập tính các tích phân đơn giản nhằm giúp học sinh 

hiểu rõ và khắc sâu hơn về khái niệm tích phân: 

Tính các tích phân sau: 1) 

1) 

2) 

1 

3 

2 x 

3 2 

(1 0 ) 

x dx = 0 

= − = 

0 

e 

 

1 

1 

2 

x dx 

0 

1 1 1 

3 3 3 

dx e 

ln x ln e ln1 1 

x = 1 

= − = 

1.3. Năng lực giải quyết vấn đề 


1.3.1. Khái niệm năng lực 

2) 

e 

dx 

Hiện nay, còn có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực: 

“Năng lực (competence) là năng lực hành động: là khả năng thự hiện hiệu 

 

1 

x 















17 

quả một nhiệm vụ, một hành động cụ thể, liên quan đến một lĩnh vực nhất định 

dựa trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và sự sẵn sàng hành động [14].” 

“Năng lực được xây dựng trên cơ sở tri thức, thiết lập qua giá trị, cấu 

trúc như là các khả năng, hình thành qua trải nghiệm, củng cố qua kinh nghiệm, 

hiện thực hóa qua ý chí [15]”. 

“Năng lực là các khả năng và kĩ năng nhận thức vốn có ở cá nhân hay có 

thể học được... để giải quyết các vấn đề đặt ra trong cuộc sống. Năng lực cũng 

hàm chứa trong nó tính sẵn sàng hành động, động cơ, ý chí và trách nhiệm xã 

hội để có thể sử dụng một cách thành công và có trách nhiệm các giải pháp... 

trong những tình huống thay đổi [16] ” 

Năng lực là “khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng, 

thái độ và hứng thú để hành động một cách phù hợp và có hiệu quả trong các 

tình huống đa dạng của cuộc sống” [17] 

Năng lực: là khả năng hành động, đạt được thành công và chứng minh sự 

tiến bộ nhờ vào khả năng huy động và sử dụng hiệu quả nhiều nguồn lực tích 

hợp của cá nhân khi giải quyết các vấn đề của cuộc sống [13]. 

Như vậy,“năng lực là khả năng ứng phó thành công hay năng lực thực 

hiện hiệu quả một loại lĩnh vực hoạt động nào đó trên cơ sở hiểu biết (tri thức), 

biết cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng, kĩ xảo... 

để hành động phù hợp với những mục tiêu và điều kiện thực tế hay hoàn cảnh 

thay đổi.” 

Người có năng lực về một loại, lĩnh vực hoạt động nào đó cần có đủ các 

dấu hiệu cơ bản sau: 

“ Có kiến thức hay hiểu biết hệ thống, chuyên sâu về loại, lĩnh vực hoạt 

động đó; Biết cách tiến hành hoạt động đó hiệu quả và đạt kết quả phù hợp với 

mục đích (bao gồm xác định mục tiêu cụ thể, cách thức, phương pháp thực hiện 


hành động, lựa chọn được các giải pháp phù hợp,... và cả các điều kiện, phương 

tiện để đạt mục đích); Hành động có kết quả, ứng phó linh hoạt hiệu quả trong 















18 

những điều kiện mới, không quen thuộc.” 

1.3.2. Cấu trúc của năng lực giải quyết vấn đề 

Theo [13, trang 27]: Cấu trúc của năng lực giải quyết vấn đề gồm những 

thành tố sau: 

- Làm rõ và hiểu vấn đề; 

- Hoàn tất việc giải quyết vấn đề một cách thích hợp; 

- Dự đoán các vấn đề nảy sinh; 

- Đánh giá các kết quả và quá trình. 

Từ đó chúng tôi cho rằng năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn trong dạy 

học chủ đề nguyên hàm, tích phân, bao gồm: 

- Hiểu đúng vấn đề (bài toán); 

- Đề xuất được giải pháp; 

- Thực hiện được giải pháp; 

- Suy nghĩ về vấn đề và giải pháp để đề xuất vấn đề mới hoặc giải pháp mới. 

Trong các thành tố trên, ba thành tố đầu là cơ bản, còn thành tố cuối cùng là 

nâng cao. 

1.3.3. Năng lực giải quyết vấn đề 

Theo Rob Foshay (1998): [15, trang 24], có một số nguyên tắc trong dạy 

học giải quyết vấn đề: 

- Hãy xác định các thành phần kiến thức liên quan, những kỹ năng phù 

hợp với việc giải quyết vấn đề. 

- Xây dựng chiến lược giải quyết vấn đề; khuyến khích những ý tưởng 

khác nhau giải quyết vấn đề. Có thể chấp nhận những sai lầm và tìn cách khắc 

phục nó. 

- Có thể đề ra các mục tiêu trung gian. 

- Thực hành các chiến lược giải quyết vấn đề; khuyến khích tương tự hóa, tổng 


quát hóa. 















Theo Phan Anh Tài (2014) : Năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong 

19 

dạy học toán THPT được cấu thành bởi các thành tố sau : 

- Năng lực hiểu vấn đề ; 

- Năng lực phát hiện và triển khai giải pháp giải quyết vấn đề ; 

- Năng lực trình bày giải pháp giải quyết vấn đề ; 

- Năng lực phát hiện giải pháp khác để giải quyết vấn đề, năng lực phát 

hiện vấn đề mới. [12] 

học sinh 

1.3.4. Dạy học định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho 

B. Beyer (1984) đã đưa ra một số điểm cần chú ý trong dạy học giải 

quyết vấn đề như sau:[14, trang 7] 

- Coi trọng việc phát hiện vấn đề: Phát hiện ra vấn đề còn quan trọng hơn 

cả việc giải quyết vấn đề. 

-“Coi trọng mọi giải pháp: Hãy cố thử tất cả các giải pháp có thể để giải 

quyết vấn đề, thậm chí chúng có vẻ kỳ quặc. Điều quan trọng là bạn phải duy trì 

sự cởi mở để tăng khả năng suy nghĩ sáng tạo, từ đó tìm ra hướng giải quyết phù 

hợp nhất. Dù bạn hành động ra sao, đừng cho rằng chúng là giải pháp ngu ngốc, 

không có ý tưởng nào là ý tưởng tồi tệ. Thực tế cho thấy rất nhiều hướng giải 

quyết, thành công xuất chúng xuất phát từ những ý tưởng điên rồ.” 

“- Nhìn nhận vấn đề một cách khách quan:“Đừng coi vấn đề bạn đang 

mắc phải như một chướng ngại vật không thể vượt qua. Hãy nghĩ đơn giản rằng 

có một yếu tố hay điều gì đó không hoạt động hiệu quả và bạn cần tìm một cách 

làm khác. Sau đó, hãy thử tiếp cận vấn đề một cách trung lập mà không so đo 

quá nhiều. Đừng vì ý kiến đa chiều của những người xung quanh mà dao động. 

Hãy lắng nghe góp ý của họ, phân tích vấn đề kỹ lưỡng và làm theo bản năng 

của mình.”” 


- Lật ngược vấn đề: Đôi khi quá quen thuộc với những phương pháp, 

cách giải quyết thường làm mà bạn bỏ qua nhiều biện pháp khả thi khác. Vì 















20 

thế, bạn nên cố gắng thay đổi cách tiếp cận và nhìn nhận mọi thứ theo cách mới 

bằng cách lật ngược lại vấn đề, tìm ra giải pháp khác so với những gì bạn từng 

làm. Thậm chí, cách giải quyết của bạn có vẻ ngốc nghếch nhưng một cách tiếp 

cận mới, độc đáo sẽ kích thích bạn nhìn nhận vấn đề một cách đa chiều, sáng 

tạo hơn. Hơn nữa, khi có nhiều sự lựa chọn, bạn sẽ biết đâu là cách giải quyết 

tốt nhất. 

- Sử dụng ngôn từ tích cực: Hãy dẫn dắt suy nghĩ của bạn với những cụm 

từ như “Sẽ ra sao nếu như…” và “tưởng tượng rằng…”. Những cụm từ này mở 

rộng não bộ suy nghĩ theo hướng sáng tạo và khuyến khích giải pháp; Tránh 

những ngôn từ hạn chế và tiêu cực như “Tôi không nghĩ rằng…” hay “Điều này 

không đúng…” 

- Đơn giản hóa mọi việc: Chúng ta thường có xu hướng làm cho mọi thứ 

phức tạp hơn cần thiết. Hãy cố gắng đơn giản hóa vấn đề bằng cách nhìn vào 

bức tranh toàn cảnh và loại bỏ những chi tiết vụn vặn. Tìm kiếm giải pháp đơn 

giản, rõ ràng và bạn có thể ngạc nhiên trước kết quả đạt được. 

Theo Bùi Văn Nghị (2017):“Có ba hình thức dạy học phát hiện và giải 

quyết vấn đề là: Tự nghiên cứu vấn đề; Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề; 

Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Quá trình dạy học phát hiện và giải 

quyết vấn đề thường có các bước sau:” 

- Phát hiện vấn đề: tạo tình huống có vấn đề, phát hiện những dạng vấn 

đề nảy sinh, phát hiện vấn đề cần giải quyết. 

- Tìm giải pháp: đề xuất các giả thuyết, lập kế hoạch giải quyết vấn đề, 

thực hiện kế hoạch giải quyết vấn đề. 

- Trình bày giải pháp: khẳng định hay bác bỏ giả thuyết đã nêu. 

- Nghiên cứu sâu giải pháp: tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả, 

đề xuất những vấn đề mới có liên quan. 


Then chốt của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là giáo 

viên thiết kế được những tình huống gợi động cơ, gợi vấn đề, những tình huống 















21 

có vấn đề, khai thác được từ nội dung bài học. [8, trang 137] 

Theo Tuma & Rief (1980), quy trình giải quyết vấn đề gồm tám bước: 

Hình 1.7: Rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề (Nguồn Internet) 

(1) Nhận ra vấn đề (Define):“Trước khi bạn cố tìm hướng giải quyết vấn 

đề, bạn nên xem xét kỹ đó có thật sự là vấn đề đúng nghĩa hay không, bằng 

cách tự hỏi: chuyện gì sẽ xảy ra nếu…?; hoặc: giả sử như việc này không thực 

hiện được thì…? Bạn không nên lãng phí thời gian và sức lực vào giải quyết 

nếu nó có khả năng tự biến mất hoặc không quan trọng. Để nhận ra vấn đề, bạn 

phải có một bản kế hoạch và luôn bám sát theo nó. Hãy nhờ một người bạn tin 

tưởng làm cố vấn giúp bạn nhận ra vấn đề. Bởi không phải lúc nào bạn cũng 

nhìn thấy từ góc nhìn của mình.” 

(2) Chia sẻ vấn đề: Không phải tất cả các vấn đề có ảnh hưởng đến bạn 

đều do chính bạn giải quyết. Nếu bạn không có quyền hạn hay năng lực để giải 

quyết nó, cách tốt nhất là chuyển vấn đề đó sang cho người nào có thể giải 

quyết. 

(3) Phân tích để hiểu vấn đề (Anlyze) : Bạn nên dành thời gian để lấy 


những thông tin cần thiết liên quan vấn đề cần giải quyết. 

(4) Đề ra mục tiêu (Goal): Đặt ra mục tiêu sẽ giúp ta đi đúng hướng trong 

việc giải quyết vấn đề. Câu hỏi ở đây sẽ là: “Tôi đang cố gắng đạt được điều 















gì?”. 

(5) Đề xuất giải pháp (What next) 

22 

(6) Đánh giá giải pháp (Compare): Giải pháp đã lựa chọn đã tối ưu chưa? 

Có thể chỉnh sửa tốt hơn hay không? 

(7) Thực hiện giải pháp 

(8) Đánh giá kết quả ( Test). 

Theo [16, trang 243], các bước trên đây được xây dựng trên một nguyên 

tắc gọi là KOALA: 

K: Sự hiểu biết – Kiến thức (Knowledge) 

O: Mục tiêu (Objectives) 

A: Phương án (Alternatives) 

L: Đánh giá và lựa chọn (Look ahead) 

A: Hành động (Action). 

Theo Woods, D., Hrymak, A., Marshall, R. Wood, P., (1997), có thể phát 

triển năng lực giải quyết vấn đề như sau: 

“- Huy động càng nhiều giải pháp càng tốt cho mọi vấn đề bạn đang gặp 

phải. Nhận phản hồi từ những người xung quanh có những quan điểm, suy nghĩ 

khác để có tầm nhìn rộng hơn và từ đó, chọn ra một giải pháp.” 

“- Luyện tập, hình dung trước và giải quyết vấn đề trước khi chúng phát 

sinh. Ví như, trên đường đi làm, bỗng nhiên xe của bạn bị hỏng thì bạn sẽ làm 

gì. Bạn có thể nghĩ ra bao nhiêu giải pháp. Đâu là giải pháp tối ưu? Đâu là giải 

pháp mà có khả năng bạn lựa chọn. Khi làm xong bài tập này, bây giờ bạn có 

thể làm gì để có sự chuẩn bị tốt hơn trong trường hợp điều đó xảy ra.” 

“- Mỗi ngày hãy nghĩ ra một số giải pháp cho một vấn đề tưởng tượng. Ví 

như, con bạn đột nhiên không thích đi học, con đường đi làm hôm nay bị cấm… 

Bạn sẽ giải quyết như thế nào.” 


“- Luôn luôn nghĩ rằng, các vấn đề thường có hơn một giải pháp. Chúng 

ta càng có sẵn nhiều công cụ thì chúng ta sẽ ngày càng trở thành người giải 















23 

quyết vấn đề giỏi hơn. Nghĩ ra những phương án giải quyết tốt hơn, thay vì xem 

chúng đúng hay sai.” 

“- Tự thưởng cho mình khi bạn tìm ra được một giải pháp tuyệt vời cho 

vấn đề nào đó. Điều đó giúp bạn có thêm động lực để tìm ra các giải pháp cho 

các vấn đề tiếp theo. [17, trang 53]” 

1.4. Vị trí, mục tiêu, nội dung phần Nguyên hàm, tích phân trong chương 

trình môn Toán lớp 12 THPT 

1.4.1. Mục tiêu dạy học, chuẩn kiến thức và kỹ năng của chủ đề Nguyên 

hàm, tích phân và ứng dụng 

Theo Tài liệu về chuẩn kiến thức lớp 12 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, nội 

dung Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, được hướng dẫn như sau: 

+ Nguyên hàm 

Về kiến thức : 

-Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số. 

- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm. 

Về kỹ năng: 

- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào 

bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần. 

- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số 

và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm. 

+ Tích phân 


- Biết khái niệm về diện tích hình thang cong. 

- Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn − 

Lai-bơ-nit. 

- Biết các tính chất của tích phân. 



- Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định 















24 

nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân từng phần. 

- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số 

và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân 

phân. 

+ Ứng dụng nguyên hàm, tích phân 


-Biết các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân. 


- Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối nhờ tích 

Theo hướng dẫn trên, những nội dung thực tiễn thuộc chủ đề nguyên hàm, 

tích phân tập trung chủ yếu vào việc tính diện tích hình phẳng và thể tích khối 

tròn xoay. 

Tuy nhiên để học sinh thấy rõ hơn những ứng dụng thực tế của Nguyên 

hàm – Tích phân giáo viên có thể khai thác thêm một số ứng dụng khác để bổ 

sung vào bài dạy, giúp học sinh thấy rõ hơn ý nghĩa của những nội dung dạy 

học môn Toán trong thực tiễn. 

1.4.2. Nội dung dạy học chủ đề Nguyên hàm, tích phân 

+ Về lý thuyết 

- Định nghĩa nguyên hàm và họ nguyên hàm của hàm số y = f(x) xác định trên 

tập K; 

- Bảng các công thức nguyên hàm cơ bản; 

- Một số công thức tính nguyên hàm; 

- Một số tính chất về nguyên hàm của một tổng, của k.f(x); 

- Các phương pháp tính Nguyên hàm: Phương pháp sử dụng nguyên hàm cơ 

bản; Phương pháp đổi biến số; Phương pháp tính nguyên hàm từng phần. 

- Các tính chất của nguyên hàm; 


- Định nghĩa, tính chất, các phép tính tích phân; 

- Ứng dụng của tích phân 















25 

+ Về bài tập, các dạng toán cơ bản về nguyên hàm, tích phân: 

- Nguyên hàm cơ bản, bài tập trắc nghiệm nguyên hàm 

- Nguyên hàm lượng giác cơ bản 

- Nguyên hàm hàm số hữu tỉ cơ bản 

- Nguyên hàm từng phần cơ bản 

-Tích phân của hàm số lượng giác và phương pháp đổi biến 

- Nguyên hàm tích phân của các hàm số chứa căn, phương pháp đổi biến 

- Nguyên hàm và tích phân của hàm số dạng hữu tỉ 

- Tích phân của các hàm số mũ logarit, phương pháp đổi biến 

- Tích phân của các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 

- Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 

- Ứng dụng tích phân tính thể tích hình khối 

- Ứng dụng tích phân và đạo hàm với bài toán chuyển động 

1.4.3. Định hướng khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề 

Nguyên hàm, Tích phân 

Theo thống kê của chúng tôi, số lượng các bài toán về Nguyên hàm, tích 

phân và ứng dụngtrong sách giáo khoa và sách bài tập hiện nay như sau: 

Loại sách 


Giải tích 12 

Sách bài tập 




nâng cao 

Sách bài tập 


Số bài toán về 

Tính diện tích 

hình phẳng 

Số bài toán về 

Tính thể tích khối 

tròn xoay 

Số bài toán 

thực tiễn khác 

3 2 0 

4 4 0 

5 10 0 


6 12 0 















nâng cao 

26 

Như vậy, số lượng bài tập nguyên hàm – tích phân có nội dung thực tiễn 

còn ít, so với tổng số khoảng 30 bài toán trong chương này ở mỗi loại sách. 

Hơn nữa về dạng toán cũng còn đơn giản. 

Từ đó định hướng của chúng tôi là tăng cường thêm các bài toán thực tiễn 

về dạng này để lôi cuốn, hấp dẫn học sinh trong học tập chủ đề này, đồng thời 

tăng thêm hiệu quả dạy học chủ đề này. 

1.4.4. Vai trò của việc khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ 

đề Nguyên hàm, tích phân đối với việc phát triển năng lực phát hiện và giải 

quyết vấn đề cho học sinh 

Theo quan điểm của triết học Mác-Lênin, tri thức bắt nguồn từ thực tiễn 

và cuối cùng phải trả về thực tiễn. Tức là xuất phát từ thực tiễn, con người vận 

dụng những hiểu biết, kĩ năng, kinh nghiệm sẵn có của mình để giải quyết các 

vấn đề trong nảy sinh trong quá trình khám phá thế giới và lao động sản xuất. 

Từ quá trình đó đó mà con người đúc kết ra những tri thức mới, kĩ năng mới và 

tích lũy được những kinh nghiệm cho bản thân. Ngược lại chính những tri thức, 

kĩ năng, kinh nghiệm này được con người sử dụng để giải quyết những nhu cầu 

mới hơn, cao hơn nhằm mục đích cao nhất là cải tạo thế giới, cải tạo chính mình 

từ đó hình thành năng lực cá nhân trong đó có năng lực giải quyết vấn đề. Như 

vậy, có thể nói khởi nguồn để hình thành năng lực giải quyết vấn đề cơ sở là 

những bài toán thực tiễn. Những bài toán thực chính là động cơ, là nhu cầu để 

học sinh tìm ra những giải pháp giải quyết trên cơ sở kiến thức, kĩ năng vốn có 

của mình. Khi khai thác các bài toán thực, giúp học sinh hứng thú học tập, trải 

nghiệm, khám phá thế giới xung quanh, tự kiến tạo kiến thức, do đó kiến thức 

mang tính bền vững là điều kiện hình thành năng lực cho mình. Ngược lại năng 

lực giải quyết vấn đề được phản ánh qua các qua các hoạt động thực hành cụ 


thể của học sinh. Mỗi hoạt động này được gắn với một tình huống của cuộc 

sống hàng ngày, tình huống này có thể thuộc một lĩnh vực chuyên môn hay đời 















27 

thường, trong đó có những bài toán thực. Dạy học theo xu hướng phát triển 

năng lực học sinh là xu hướng tất yếu trong nền giáo dục phát triển. Không chỉ 

chú ý tích cực hóa học sinh về hoạt động trí tuệ mà còn chú ý đến rèn luyện 

năng lực giải quyết vấn đề gắn với những tình huống của cuộc sống và nghề 

nghiệp, phải gắn hoạt động trí tuệ với thực hành, thực tiễn. 

Ví dụ 1.3:“Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, 

biết rằng người ta định xây cây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp 

cầu cách nhau 40m, biết hai bên đầu cầu và giữa mỗi nhịp nối người ta xây một 

chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như 

hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu? (bỏ qua diện tích 

cốt sắt trong mỗi nhịp cầu).” 

Việc tìm câu trả lời cho bài toán này giúp con người sử dụng để giải 

quyết vấn đề là xây cầu bắc ngang sông thì ước lượng được số bê tông cần sử 

dụng là bao nhiêu? Từ đó tính được chi phí để mua số lượng bê tông đó theo 

giá thành hiện tại là bao nhiêu? (việc giải cụ thể xin xem Ví dụ 5.2.3) 

1.5. Thực trạng việc phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho 

học sinh THPT thông qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn 

thuộc chủ đề Nguyên hàm, tích phân 

1.5.1. Thực trạng nhận thức về việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề 

cho học sinh của giáo viên 

Chúng tôi đã lập phiếu khảo sát từ 22 giáo viên Toán hai trường THPT 

Thanh Ba và trường THPT Hùng Vương thuộc thị xã Phú Thọ về nhận thức về 

của giáo viên trong việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. 

Kết quả như sau: 

Với câu hỏi: Theo Thầy cô, những thành tố nào dưới đây thuộc cấu trúc 

cấu trúc năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn trong dạy học môn Toán nói chung, 


trong dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân nói riêng: 

(i) Hiểu đúng vấn đề (bài toán) 















mới. 

(ii) Đề xuất được giải pháp; 

(iii) Thực hiện được giải pháp; 

28 

(iv) Suy nghĩ về vấn đề và giải pháp để đề xuất vấn đề mới hoặc giải pháp 

Có 20/ 22 thầy cô đồng ý với cả bốn thành tố. Riêng có hai thầy cô không 

nhất trí với thành tố thứ (iv) vì theo hai thầy cô: thành tố này đòi hỏi quá cao 

so với năng lực giải quyết vấn đề. 

Với câu hỏi: “Theo thầy cô, trong các thành tố trên, thành tố nào là quan 

trọng nhất, đánh giá đúng năng lực giải quyết vấn đề nhất?”; Tất cả các thầy cô 

đều cho rằng đó là thành tố thứ hai “Đề xuất được giải pháp”. 

Với câu hỏi: “Theo thầy cô, tầm quan trọng của việc dạy học phát triển 

năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở mức độ nào?”: Chỉ có một nửa số 

thầy cô được hỏi (11/22) cho rằng đó “Có quan trọng”. 

Khi hỏi thêm về lý do một nữa số thầy cô còn lại cho rằng “chưa hoặc 

không quan trọng” vì “việc trang bị kiến thức, kỹ năng chính trong chương 

trình còn quan trọng hơn.” 

Như vậy, trong nhận thức của giáo viên cũng chưa hoàn toàn thống nhất về 

tầm quan trọng của việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong 

dạy học môn Toán. 

1.5.2. Thực trạng vấn đề bồi dưỡng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho 

học sinh thông qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ 

đề Nguyên hàm, tích phân 

Chúng tôi đã lập phiếu khảo sát từ 22 giáo viên Toán trường THPT Thanh 

Ba và 168 học sinh thuộc hai trường THPT Thanh Ba và trường THPT Hùng 

Vương thuộc thị xã Phú Thọ. 

Phiếu khảo sát xin xem phụ lục 1 trong luận văn. 


Kết quả khảo sát như sau: 

+ Khảo sát từ giáo viên: 















29 

Trong số 22 giáo viên được hỏi, chỉ có 2 thầy cô (khoảng 9%) có quan tâm 

đến việc chỉ ra cho học sinh thấy vì sao có công thức tính diện tích hình thang 

cong như đã trình bày trong sách giáo khoa. Cũng có rất ít thầy cô (4/ 22 ≈ 

17%) gợi ra nhu cầu thực tiễn dẫn đến phải tìm nguyên hàm của một hàm số 

cho trước. 

Hầu hết (18/ 22 ≈ 83%) giáo viên cho rằng số lượng các bài toán thực tiễn 

ứng dụng Nguyên hàm – Tích phân trong sách giáo khoa và sách bài tập còn ít, 

cần tăng thêm số lượng bài toán về dạng này. 

Tất cả các thầy cô (100%) được hỏi đều cho rằng chưa có dạng toán để 

thấy được năng lực phát hiện, nhận ra vấn đề cần giải quyết trong thực tế của 

học sinh; Các dạng toán chủ yếu đánh giá khả năng tính toán của các em, chưa 

đánh giá được năng lực giải quyết vấn đề. 

+ Khảo sát từ học sinh: 

Nhiều em (143/ 168 ≈ 85%) có tâm trạng băn khoăn vì thừa nhận công 

thức tính diện tích hình thang cong, mà không hiểu vì sao; các em này đều có 

nguyện vọng muốn biết. 

Mặc dù có khoảng một nửa số học sinh được hỏi (87/ 168 ≈ 51%) cho rằng 

không cần tăng thêm bài toán về ứng dụng thực tiễn của Nguyên hàm – Tích 

phân, nhưng tất cả các em (100%) đều muốn biết thêm: Ngoài ứng dụng tính 

diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay, Nguyên hàm – Tích phân còn 

có những ứng dụng nào khác. 

Có 29/ 168 (≈ 85%) học sinh không thấy “có vấn đề” về những bài toán 

đã cho trong sách giáo khoa và sách bài tập. 

Từ kết quả khảo sát trên đây, có thể nhận thấy: Trong sách giáo khoa và 

sách bài tập đã có một bài toán về Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng vào thực 

tiễn; Tuy nhiên, theo ý kiến của đa số giáo viên và học sinh, cũng nên bổ sung 


thêm những ứng dụng khác nữa và tăng cường thêm tính có vấn đề hơn trong 

các dạng toán đó. 















30 

Việc sử dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề 

Nguyên hàm tích phân thông qua các bài toán có nội dung thực tiễn trong các 

trường trung học phổ thông hiện nay trên địa bàn tỉnh Phú Thọ còn hạn chế. 

Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến tình trạng trên là do mạch suy luận của chủ đề 

còn trừu tượng, suy luận toán học còn rời xa thực tiễn dẫn đến việc tiếp cận 

kiến thức của học sinh còn hạn chế. Ngoài ra, việc giáo viên hướng dẫn học 

sinh tiếp cận kiến thức theo phương pháp dạy học giải quyết vấn đề còn gặp 

khó khăn và giáo viên cũng gặp khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu định 

hướng cụ thể hóa việc dạy học chủ đề theo phương pháp dạy học giải quyết vấn 

đề. Cơ sở để chúng tôi đề ra một số biện pháp tích cực nhằm khắc phục những 

hạn chế này chính là việc khảo sát thực tiễn. Các biện pháp sẽ được trình bày 

cụ thể ở chương 2. 

Kết luận chương 1 

Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh là một yêu cầu 

cần thiết và quan trọng cho giáo dục trong nhà trường hiện nay. 

Những thành tố của năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn trong dạy 

học môn Toán nói chung, trong dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân 

nói riêng, bao gồm: 




- Suy nghĩ về vấn đề và giải pháp để đề xuất vấn đề mới hoặc giải 

pháp mới. 

Trong các thành tố trên, ba thành tố đầu là cơ bản, còn thành tố cuối 

cùng là nâng cao. 

Khảo sát thực tiễn cho thấy: Trong sách giáo khoa và sách bài tập 


đã có một bài toán về Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng vào thực tiễn; 

Tuy nhiên, nên bổ sung thêm những ứng dụng khác nữa và tăng cường 












31 

thêm tính có vấn đề hơn trong các dạng toán đó. 



















32 

Chương 2 

CÁC BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 

QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN 

THUỘC CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 

2.1. Các định hướng đề xuất biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn 

đề cho học sinh qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ 

đề Nguyên hàm, tích phân 

2.1.1. Đảm bảo mục tiêu, chuẩn kiến thức, kĩ năng của nội dung chủ đề trong 

Chương trình. 

Như đã trình bày trong chương 1, theo Tài liệu về chuẩn kiến thức lớp 12 

của Bộ Giáo dục và Đào tạo, nội dung Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, cần 

đảm bảo những kiến thức cơ bản như: Hiểu khái niệm nguyên hàm và các tính 

chất cơ bản của nguyên hàm; biết diện tích hình thang cong được tính bằng tích 

phân theo công thức Niu-tơn − Lai-bơ-nit và các tính chất của tích phân. 

Về kỹ năng, học sinh cần tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương 

đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần 

hoặc sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và 

không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm; biết các công thức tính 

diện tích, thể tích nhờ tích phân. 

2.1.2. Đảm bảo sự kết hợp thực hiện qua khai thác nội dung các bài toán có 

gắn với thực tiễn 

Theo yêu cầu của chương trình, cần đảm bảo sự kết hợp thực hiện qua 

khai thác nội dung các bài toán có gắn với thực tiễn. Cụ thể, học sinh cần phải 

tính được diện tích một số hình phẳng và tính được thể tích một số khối nhờ 

cách tính tích phân. Trong đó những nội dung thực tiễn thuộc chủ đề nguyên 

hàm, tích phân tập trung chủ yếu vào việc tính diện tích hình phẳng và thể tích 


khối tròn xoay. 

2.1.3. Đảm bảo sự phù hợp với lí luận thành phần năng lực giải quyết vấn đề 















33 

Để đảm bảo sự phù hợp giữa việc khai thác các bài toán có nội dung thực 

tiễn thuộc chủ đề Nguyên hàm, tích phân với lí luận thành phần năng lực giải 

quyết vấn đề, các bài toán đưa ra cần có vấn đề rõ ràng và giáo viên cần hướng 

dẫn học sinh hiểu đúng, hiểu chính xác vấn đề đó. 

2.1.4. Đảm bảo tính khả thi trong điều kiện dạy học hiện nay 

Để đảm bảo bài học có tính khả thi cao, giáo viên cần cân đối giữa yêu cầu 

cơ bản của bài học (học sinh biết, hiểu và làm được những nội dung cơ bản) 

với yêu cầu nâng cao (vận dụng nâng cao, vận dụng vào thực tiễn). 

Để đảm bảo bài học có tính khả thi cao, giáo viên cũng có thể kết hợp giữa 

giảng dạy chính khóa ở trên lớp và những hoạt động ngoại khóa như: thực hiện 

các dự án học tập, bài tập lớn….; đồng thời kết hợp một vài phương pháp học 

tập tích cực như: học hợp tác, đàm thoại phát hiện, học khám phá, học tập với 

sự hỗ trợ của công nghệ thông tin…. 

2.2. Các biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông 

qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Nguyên 

hàm, tích phân ở lớp 12 THPT 

2.2.1. Biện pháp 1. Tổ chức các hoạt động dạy học theo hướng tích cực hóa 

học sinh đảm bảo cho học sinh nắm vững được kiến thức cơ bản của Nguyên 

hàm, tích phân chương trình Toán 12 THPT 

2.2.1.1. Cơ sở của biện pháp 

Chúng ta biết rằng tiền đề để giải quyết được vấn đề là học sinh phải có 

kiến thức và kỹ năng. Trang bị vững chắc những kiến thức, kỹ năng cơ bản 

thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân, tạo cơ sở giải quyết vấn đề thực tiễn cho 

học sinh trong dạy học chủ đề này. 

Trong sách giáo khoa và sách bài tập Giải tích 12 có hai dạng bài toán có 

nội dung thực tiễn thuộc chủ đề nguyên hàm tích phân là: Tính diện tích hình 


phẳng và Tính thể tích khối tròn xoay. 

2.2.1.2. Tổ chức thực hiện biện pháp 















34 

Hiểu đúng vấn đề và đề xuất giải pháp (thành tố thứ nhất và thứ 2) giúp 

học sinh chủ động tích cực và nắm vững kiến thức cơ bản, để học sinh hiểu 

đúng vấn đề và đề xuất giải pháp giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thông 

qua một số dạng toán sau: 

Dạng 1.1: Tính diện tích hình phẳng 

Kết quả 1.1.Giả sửhàm số y = f ( x) 

liên tục trên đoạn 

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x) 

trục Ox 

được tính bởi công thức: 

ab , . . 

Diện tích hình 

= và hai đường thẳng x= a, x b và 

b 

a 

( ) . 

S = f x dx 

Muốn vậy, ta cần thực hiện xét dấu biểu thức 

( ) 

f x 

a, c , c , c ..., c , b 

Giả sử f(x) đổi dấu trên các đoạn 

ab , = 

Khi đó: 

a, c c , c ... c , b . 

1 1 2 

c c b 

1 2 

 

S = ( ) ( ) ( ) 

1 

k 

1 1 2 

f x dx + f x dx + ... + f x dx. 

a c c 

k 

ab , 

trên 

Chú ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng “ Tính diện tích hình phẳng giới hạn 

bởi đồ thị hàm số 

y = a, 

y = b 

b 

a 

( ) 

S = f y dy 

( ) 

x = f y 

(liên tục trên đoạn 

k 

 

và 

ab , 

và trục Oy ”. Khi đó công thức tính diện tích là: 

. 

Kết quả 1.2.Giả sử y f ( x) , y g( x) 

 

. 

= 

), hai đường thẳng 

= = là hai hàm số liên tục trên đoạnab, 

, 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x) , y g( x) 

đường thẳng x= a, 

x= b được tính bởi công thức: 

b 

 

a 

( ) ( ) . 

S = f x −g x dx 

= = và hai 
















Các bước thực hiện như sau: 

Giải phương trình f ( x) − g( x) = 0. 

35 

Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2..., xk 

và 

x1 x2 ... x k 

. 

Khi đó diện tích cần tìm là: 

x k 

 

x 

1 

( ) ( ) 

S = f x −g x dx 

= 

x 

2 

x 

3 

( ) − ( ) + ( ) − ( ) + + ( ) − ( ) 

 

f x g x dx f x g x dx ... f x g x dx. 

x x x 

1 2 k −1 

Ví dụ 2.1. Cho Elip ( ) 

Hướng dẫn 

2 2 

x y 

E : + = 1 a 

2 b 

2 

k 

. Tính diện tích của hình Elip. 

Ta chỉ việc tính diện tích phần Elíp ở góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ rói 

nhân bốn lần. Từ phương trình Elíp suy ra trong góc phần tư thứ I ta có 

b 

y = a −x 

a 

Gọi S 

2 2 . 

là diện tích cần xác định, ta có: 

a 

4b 

2 2 

4 

1 

. 

a 

 

0 

S = S = a − x dx 

Để tính (1) ta thực hiện phép đổi biến, đặt : 

x = asint 

Đổi cận : với 

Khi đó : 

 

, với − t dx = acos t. dt. 

2 2 

x= 0 t = 0 

 

x = a t = 

2 


(1) 












36 




 

2 2 2 

2 2 2 2 

 

S = 4ab a − a sin t.costdt = 4ab cost costdt = 4ab cos tdt 

0 0 0 

 

 

2 2 

1 

= 2ab( 1+ cos2t ) dt = 2abt + sin 2 t = ab. 

2 

0 0 

Dạng 1.2 : Tính thể tích vật thể 

Kết quả 1.3. Giả sử vật thể T được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song ( ) 

, ( ) 

 

. Ta chọn trục Ox 

( ) ,Ox ( ) 

( ) , ( ) 

Ox ⊥ = a 

Ox ⊥ Ox = b 

Giả sử mặt phẳng 

thiết diện có diện tích 

V 

T 

b 

a 

( ) . 

= S x dx 

sao cho : 

( ) ⊥ Ox 

( ) 

S x 

và 

( ) Ox x 

a x b 

= ( ) 

cắt T 

(là hàm số liên tục theo biến x). Khi đó : 

Hệ quả 1 : Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền 

( ), , , 0 

y = f x x = a x = b y = 

b 

 

b 

2 2 

( ) 

V = y dx = f x dx. 

a 

 

a 

quay quang trục Ox 

Hệ quả 2 : Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền 

( D) 

theo một 

giới hạn bởi 

được tính theo công thức : 

( D) 

giới hạn bởi 

x = f ( y), y = a, y = b, x = 0, quay quanh trục Oy được tính theo công thức : 

b 

 

b 

2 2 

( ) 

V = x dy = f y dy. 

a 

 

a 

Kết quả 1.4 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền ( ) 

một đường ( C ) kín. 

Có hai trường hợp : 

D giới hạn bởi 
















37 

1) Khi vật quay quanh trục Ox , ta thực hiện theo hai bước sau : 

Bước 1 : Phân chia đường cong kín ( C ) thành hai cung 

( C ): 

y = f ( x) 

= y và( ): 

( ) 

1 1 1 

cùng dấu. 

C y = f x = y với a x b 

2 2 2 

Bước 2 : Thể tích cần xác định được tính bởi công thức: 

b 

 

V = y − y dx 

a 

2 2 

1 2 

. 

2) Khi vật quay quanh Oy , ta thực hiện theo hai bước sau : 

Bước 1 : Phân đường cong kín 

( ): 

( ) 

C x = f y = x 

2 2 2 

với a y b 

 

 

( C) 

và 

thành hai cung 

( ), 

( ) 

f y f y 

1 2 

Bước 2 : Thể tích cần xác định được cho bởi công thức: 

b 

 

V = x −x dy 

a 

2 2 

1 2 

. 

và f ( x) , f ( x ) 

1 2 

( ): 

( ) 

C x = f y = x 

cùng dấu. 

Ví dụ 1.2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền ( ) 

đường y = √x và y = x 2 . 

Bước 1. Hai đường đã cho cắt nhau tại hai điểm x = 0 và x = 1. 

Trong khoảng (0 ; 1) cả hai hàm số đã cho đều không âm. 

Thể tích cần tính là : 

1 

V 2 x 4 

x dx 

2 

= − = . 

15 

2.2.1.3. Những lưu ý khi tổ chức thực hiện biện pháp 

0 

1 1 1 

D 

và 

giới hạn bởi hai 

Những kiến thức mà học sinh lĩnh hội được là nền tảng cơ sở, hỗ trợ quá 

trình tìm hiểu thông tin, thu thập thông tin để phát hiện và giải quyết vấn đề. 

Góp phần phát triển cho học sinh khả năng tìm hiểu thông tin Toán học, thu 

thập thông tin Toán học và lưu trữ các thông tin Toán học. Từ đó, phát triển 


năng lực sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu, công thức; Năng lực tính toán, năng lực suy 

luận và chứng minh. Do đó, khi dạy học chủ đề nguyên hàm tích phân giáo viên 















38 

nhất thiết phải nắm vững kiến thức cơ bản thông qua cách thức trình bày tỉ mỉ rõ 

ràng mạch lạc. 

2.2.2. Biện pháp 2. Giúp học sinh thấy được vai trò và ứng dụng thực tiễn 

của Nguyên hàm, tích phân nhằm tạo hứng thú cho người học trong quá 

trình dạy học chủ đề này 


Từ những tri thức, kĩ năng, kinh nghiệm, kiến thức đã học con người sử 

dụng để giải quyết những nhu cầu mới hơn, cao hơn nhằm giải quyết một số 

bài toán thực tiễn với mục đích cao nhất là cải tạo thế giới, cải tạo chính mình 

từ đó hình thành năng lực cá nhân trong đó có năng lực giải quyết vấn đề. Như 

vậy, có thể nói những bài toán thực là cơ sở, là khởi nguồn để hình thành năng 

lực giải quyết vấn đề. Những bài toán thực chính là động cơ, là nhu cầu để học 

sinh tìm ra những giải pháp giải quyết trên cơ sở kiến thức, kĩ năng vốn có của 

mình. Qua các bài toán thực, học sinh hứng thú học tập, trải nghiệm, khám phá 

thế giới xung quanh, tự kiến tạo kiến thức, do đó kiến thức mang tính bền vững 

là điều kiện hình thành năng lực cho mình giúp học sinh thấy được vai trò và 

ứng dụng thực tiễn của Nguyên hàm, tích phân nhằm tạo hứng thú cho người 

học trong quá trình dạy học chủ đề. 


Như đã trình bày trong chương 1, định hướng khai thác các bài toán thực 

tiễn nhằm tăng cường năng lực giải quyết vấn đề cụ thể là thành tố hiểu đúng 

vấn đề và đề xuất được giải pháp cho học sinh của chúng tôi là tăng cường 

thêm một số ứng dụng khác của nguyên hàm tích phân trong thực tiễn. 

Chúng tôi đề xuất bổ sung thêm một số dạng sau, ngoài các dạng đã có 

trong sách giáo khoa. Cụ thể các dạng toán sau: 


Dạng 2.1. Dạng toán về tăng trưởng kinh tế 

Kiến thức bổ sung: Hàm đầu tư I( t) 

là tốc độ tăng, là đạo hàm hàm quỹ vốn 















K( t ). Ngược lại hàm quỹ vốn K( t) 

là nguyên hàm của hàm đầu tư I(t): 

( ) K( t) 

I t 

= hay 

39 

Ví dụ 2.2. Giả sử rằng t năm, vốn đầu tư của một doanh nghiệp phát sinh lợi 

nhuận với tốc độ 

( ) 

2 

P t = 126 + t 

(triệu đồng/năm). Hỏi sau 10 năm đầu tiên thì 

doanh nghiệp thu được lợi nhuận là bao nhiêu (đơn vị triệu đồng)? 


Gọi 

( ) 

Pt 

là lợi nhuận phát sinh của vốn sau 

nguyên hàm của hàm tốc độ 

( ) 

Pt 

Lợi nhuận phát sinh sau 10 năm đầu tiên là: 

2 4780 

P ( t) dt = ( 126 + t ) dt = 

3 

10 10 

 

0 0 

Ví dụ 2.3. Cho tốc độ thay đổi đầu tư là 

. Hãy tìm nguồn vốn K(t)? 


 

1/3 4/3 

( ) 

K(t) = I t dt = 60t dt = 45t + C 

Do K(1) = 85 nên C = 40. 

Vậy nguồn vốn K(t) = 45t 4/3 + 40. 

. 

(triệu/đồng). 

t 

( ) 

1/3 

I t 

= 60t 

Dạng 2.2. Dạng toán về sự phát triển của vi khuẩn 

năm đầu tư. Ta có 

và tại thời điểm 

( ) 

Pt 

( ) 

là 

K 1 = 85 

Kiến thức bổ sung: Tốc độ phát triển của vi khuẩn v(t) là đạo hàm của hàm số 

vi khuẩn F(t) ban đầu, theo biến thời gian: v(t)= F’(t). 

Ngược lại, số vi khuẩn F(t) ban đầu, là nguyên hàm của hàm tốc độ tăng trưởng 

của vi khuẩn theo thời gian: 

F t 

 

K ( t) 

= I( 

t) 

dt 

( ) ( ) 

= f t dt 

Số vi khuẩn sau t 

 

K ( t) 

= I( 

t) 

dt 


= angày là F(a) . 















40 

Ví dụ 2.4. Trong một mẻ cấy, số lượng ban đầu của vi khuẩn là 1000, số lượng 

này tăng lên theo vận tốc ( ) 

1,1257 

v t 

nhiêu vi khuẩn trong buồng cấy sau 3 giờ? 


Số vi khuẩn sau 3 giờ là: 

3 3 

1,1257 

550 t . 

( ) ( ) 

 

F t = f t dt = e dt 

 

0 0 

550 1,1257 t 3 550 3.1,1257 

= e | 

0= ( e −1) 

1,1257 1,1257 

≈ 40 000 con. 

t 

= 550e 

vi khuẩn trong một giờ. Sẽ có bao 

Ví dụ 2.5. Vi khuẩn HP gây đau dạ dày từ ngày thứ t và số lượng là 

( ) 

F t 

, biết 

nếu phát hiện sớm thì số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh 

nhân sẽ được cứu chữa. Biết tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ 

1000 

F t = 

2t 

+ 1 

( ) 

và ban đầu bệnh nhân đã có 2000 con vi khuẩn trong dạ dày và 

bệnh nhân có cứu chữa được không? 


Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t 

là 

1000 

F t = 

2t 

+ 1 

Suy ra số lượng vi khuẩn vào ngày thứ t được tính theo công thức 

1000 1000 

F t = F 

t dt = dt = ln 2 t + 1 + C = 500ln 2 t + 1 + C 

2t 

+ 1 2 

( ) ( ) 

Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên 

( ) 

( ) 

F 0 = 2000 500ln 2.0 + 1 + C = 2000 C = 2000 

( ) = 500ln 2t 

+ 1 + 200 

F t 


Số vi khuẩn sau 15 ngày là F ( 15) 

= 500ln 2.15 + 1 + 200 = 3716,99 con và 

bệnh nhân cứu được. 

t 

là 















41 

Ví dụ 2.6. Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là Nt ( ). Biết rằng 

7000 

N ( t) 

= và lúc đầu đám vi trùng có 300000 con. Sau 10 ngày, đám vi 

t + 2 

trùng có khoảng bao nhiêu con? 


Ta có: ( ) 

Với 

Với 

7000 

N t = dt = 7000.ln t + 2 + C 

t + 2 

t = 0 ta có: 7000ln2 300000 295148 

t =10 ta có: 

( ) 

+ C= C= 

N 10 = 7000ln12 + 295148 = 312542 


con. 

“Môn Toán được xem là môn học có tính trừu tượng cao nhưng giúp học 

sinh phát triển trí tuệ hơn các môn học khác. Nhưng, việc phát triển trí tuệ nhiều 

hay ít còn phụ thuộc vào cách giải một bài toán như thế nào. GV cần linh hoạt 

tổ chức cho HS giải các bài toán thực tiễn mang tính khoa học tạo động lực và 

hứng thú cho học sinh từ đó học sinh tự rút ra được những kinh nghiệm để giải 

một bài toán thực tiễn khác nhanh và hiệu quả. Tuy nhiên, cần lưu ý nhất thiết 

phải giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản trước khi cung cấp thêm các dạng 

bài toán mới thông qua các bài toán có nội dung thực tiễn.” 

“Việc giúp học sinh thấy được vai trò và ứng dụng thực tiễn của Nguyên 

hàm, tích phân nhằm tạo hứng thú cho người học trong quá trình dạy học chủ 

đề góp phần phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu, công thức; Năng lực 

tính toán, năng lực suy luận và chứng minh; Năng lực quy kết quả giải quyết vấn 

đề đúng tình huống thực tiễn, đúng giới hạn vấn đề.” 

2.2.3. Biện pháp 3. Tăng cường huy động các kiến thức để học sinh phát hiện 

và giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau; Rèn luyện thói quen lựa 


chọn phương án tối ưu trong các cách giải quyết vấn đề. 
















42 

Trong quá trình giải toán người giải toán đã tích lũy được những tri thức 

trong trí nhớ từ trước và rút ra vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán 

đã cho quá trình này G. Pôlya gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức như vậy 

là sự huy động. 

Nếu chọn lọc được việc sử dụng công thức phù hợp thì khi giải quyết 

bài toán đơn giản và dễ dàng, nhanh chóng hơn. Ngược lại nếu học sinh không 

huy động đúng kiến thức cần thiết thì việc giải bài toán trên sẽ gặp khó khăn, 

có khi là không tìm được lời giải cho bài toán. 

Khi huy động kiến thức nhằm giúp học sinh chuẩn bị đa dạng các 

thông tin, kiến thức đã biết, kiến thức mới, gần gũi với thông tin, tạo điều kiện 

thuận lợi cho việc chuyển thông tin mới vào vùng trí nhớ và trong vùng trí nhớ 

sẽ có những kiến thức cần thiết đủ để giải quyết vấn đề mới và người học thu 

thập được kiến thức mới sau khi đã giải quyết được vấn đề. Việc huy động 

kiến thức HS cũng có cơ hội để rà soát lại vốn kiến thức của mình xem những 

gì mình đã nắm chắc và những gì mình còn thiếu cần phải tìm hiểu thêm, những 

kiến thức nào là quan trọng và khó cần được học trên lớp dưới sự hướng dẫn 

của giáo viên, những kiến thức nào có thể tự học ở nhà thông qua SGK hoặc 

các tài liệu khác. 


Khi đứng trước một bài toán HS cần biết xem xét mối liên hệ giữa các đại 

lượng, phán đoán các khả năng có thể xảy ra và các hướng biến đổi bài toán. 

Vận dụng tổng hợp các kiến thức, tăng cường giải bài toán bằng nhiều cách 

khác nhau. Nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề, trọng tâm là chú trọng 

thành tố thực hiện được giải pháp và suy nghĩ về vấn đề và giải pháp để đề xuất 

vấn đề mới hoặc giải pháp mới. 

Ta có thể xét các ví dụ sau: 


Ví dụ 2.7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 2 – x (d) và 

đường cong y = √4 − x 2 . 















Cách 1.Áp dụng công thức. 

43 

Hai đường đã cho có các giao điểm là x = 0 và x = 2. 

Trong khoảng (0; 2) cả hai đường đều nằm trên trục hoành và 

Diện tích hình phẳng cần tính là: 

2 

0 

S = ∫ (√4 − x 2 − (2 − x))dx 

= π − 2. 

Cách 2.Áp dụng Hình học. 

√4 − x 2 ≥ (2 − x) 

2 

0 

2 

0 

= ∫ (√4 − x 2 dx − ∫ (2 − x)dx . 

Thực chất diện tích cần tìm là hiệu diện tích của hình viên phân do một phần 

tư hình tròn bán kính bằng 2 bị cắt đi phần tam giác vuông cân cạnh 2. 

Diện tích của một phần tư hình tròn bán kính bằng 2 là ¼.π.R 2 = π; 

Diện tích tam giác vuông cân cạnh 2 là ½. 4 = 2. 

Vậy, diện tích hình phẳng cần tính là: π − 2. 

Rõ ràng trong hai cách trên, cách 2 là phương án tối ưu trong các cách giải 

quyết vấn đề. 

Ví dụ 2.8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 

y = √x và y = x 2 . 

Cách 1. 

Hai đường đã cho cắt nhau tại hai điểm x = 0 và x = 1. 

Trong khoảng (0 ; 1) cả hai hàm số đã cho đều không âm và 

Diện tích cần tính là: 

1 

2 1 

( ) . 

 

S = x − x dx = 

3 

0 

Cách 2. 

x x 

Hai hàm số y = √x và y = x 2 là hai hàm ngược của nhau, đồ thị của chúng đối 


xứng với nhau qua đường phân giác góc tọa độ 1 nên bài toán quy về tính diện 

tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x 2 và y = x. 












44 




Diện tích cần tính là: 

1 

2 1 

( ) . 

 

S = x − x dx = 

3 

0 

Rõ ràng trong hai cách trên, cách 2 là phương án tối ưu vì hàm số dưới dấu 

tích phân đơn giản hơn. 


Việc tăng cường huy động các kiến thức để học sinh phát hiện và giải 

quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau; Rèn luyện thói quen lựa chọn 

phương án tối ưu trong các cách giải quyết vấn đề phát triển năng lực sử dụng 

ngôn ngữ, ký hiệu, công thức; Năng lực tính toán, năng lực suy luận và chứng 

minh; đặc biệt phát triển năng lực tổng hợp huy động tối đa kiến thức. 

2.2.4. Biện pháp 4. Kích thích để học sinh tham gia hệ thống hóa, xây dựng 

bổ sung chuỗi bài toán có nội dung thực tiễn của chủ đề từ các lĩnh vực thực 

tiễn 


+ Ở lớp 11 học sinh đã được biết hai kiến thức sau: 

- Đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc tức thời của chuyển 

động tại thời điểm t. 

- Đạo hàm của vận tốc 

thời điểm đó. 

( ) 

vt 

tại thời điểm t chính là gia tốc của chuyển động tại 

+ Với kiến thức về Nguyên hàm và Tich phân, giáo viên có thể tỏ chức 

cho học sinh phát hiện, hệ thống hóa, xây dựng bổ sung chuỗi bài toán có nội 

dung thực với những kiến thức sau: 

- Quãng đường (S) đi được của vật trong khoảng thời gian nào là nguyên hàm 


của hàm vận tốc v(t) theo biến t: 

( ) ( ) 

S t 

= v t dt . 















45 

- Quãng đường (S) đi được của vật trong khoảng thời gian (t1, t2) là tích 

phân của hàm vận tốc (v) khi t biến thiên trong khoảng thời gian đó: 

t2 

t1 

( ) 

S = v t dt ( t 1 

t 2 

) 

thời gian t : 

- Tương tự : Hàm vận tốc ( ) 

( ) ( ) 

v t 

= a t dt 

. 


vt là nguyên hàm của hàm gia tốc a(t) theo 

Từ những kiến thức trên, giáo viên có thể tổ chức cho học sinh suy nghĩ 

về vấn đề và đề xuất vấn đề mới hoặc giải pháp mới để có thể giải quyết bằng 

nguyên hàm, tích phân. Chẳng hạn các ví dụ sau: 

Ví dụ 2.9. Một vật chuyển động với vận tốc 

( ) ( ) 

v t 

= 1−2sin2 t m / s . 

quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm 

thời điểm 


3 

t = s 

4 

( ) 

Ta có hàm vận tốc: 

. 

( ) ( ) 

v t 

Theo đề bài, cận của tích phân tư 

= 1−2sin2 t m / s 

t= 

0( s) 

đến 

3 

t = s 

4 

Vậy hàm quãng đường trong khoảng thới gian trên là: 

3 

4 

 

S = − 

0 

Kết quả: 

3 

4 

0 

( 1 2sin 2t) 

dt 

3 

S = ( 1− 2sin 2t) 

dt = −1. 

4 

( ) 

. 

t= 

0( s) 


Tính 

đến 















46 

Ví dụ 2.10. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc 

( ) t( m s) 

v t 

= 150 − 10 / . Hỏi rằng trong 4 giây(s) trước khi dừng hẳn vật di 

chuyển được bao nhiêu mét (m)? 


Vật chuyển động chậm dần với vận tốc tại giây thứ t là: 

( ) = − t( m s) 

v t 

150 10 / . 

Quãng đường S(t) vật đi được chính là nguyên hàm của vận tốc vt ( ). 

Khi vật dừng hẳn là thời điểm t 

sao cho 

( ) = − = = ( ) 

v t 0 150 10t 0 t 15 s . 

Suy ra sau khi bắt đầu chuyển động chậm dần thì vật đi thêm được trong thời 

gian 16s thì dừng lại. 

Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 4s trước khi dừng hẳn 

chính là tích phân của hàm 


( ) ( ) 

v t 

= 150 −10 t m / s 

Vật chuyển động chậm dần cho đến khi dừng hẳn thì: 

( ) ( ) 

v t = 0 150 − 10t = 0 t = 15 s . 

từ 

t = 11s 

Quãng đường vật đi được từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 là: 

15 15 

 

( ) ( ) ( ) 

 

S = v t dt = 150 − 10t dt = 80 m . 

11 11 

Ví dụ 2.11. Một vật chuyển động với gia tốc 

đầu của vật là 6 / 


m s 

3 

= 

t + 1 

đến khi 

2 

( ) ( m s ) 

a t 

/ . 

. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 10 là bao nhiêu? 

3 

= 

t + 1 

2 

Theo giả thiết, gia tốc của vật chuyển động là a( t) ( m s ) 

Vận tốc chuyển động ( ) 

3 

v( t) = a( t) 

dt = dt = 3ln t + 1 + C 

t + 1 

/ . 

t = 15 s. 

Vận tốc ban 


vtcủa vật chính là nguyên hàm của gia tốc at ( ): 















47 

Vì vận tốc ban đầu lúc t = 0của vật là v0 = 6 m / s. 

nên ( ) ( ) 

v 0 = 3ln 0 + 1 + C = 6 C = 6 v t = 3ln t + 1 + 6 

Vận tốc của vật chuyển động tại giấy thứ 10 là 

( ) 

v 10 = 3ln 10 + 1 + 6 13,2 m / s . 

Ví dụ 2.12. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 ( / ) 

tốc 

2 2 

( ) = 3 + ( / ) 

a t t t m s 

( ) 

10 s 


Gọi 

kể từ lúc bắt đầu tăng tốc? 

( ) 

vt 

Suy ra 

là vận tốc của vật, ta có 

( ) 

v t 

2 3 

3t 

t 

= + + C 

2 3 

m s thì tăng tốc với gia 

. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 

( ) ( ) 

2 

v t = a t = 3t + t 

Theo giả thiết v(0) = 10, thay vào công thức trên ta có : 

C =10 

. Vậy 

2 3 

3t 

t 

vt ( ) = + + 10. 

2 3 

Từ đó quãng đường vật đi được là: 

10 2 3 

3t 

t 4300 

S 

= 

+ + 10dt = m 

2 3 3 

0 

Ví dụ 2.13. Bạn Nam ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển 

động của máy bay là 

( ) ( ) 

v t = t + m s 

thứ 4 đến giây thứ 10 là bao nhiêu? 


2 

3 5 / . 

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là: 

10 

2 

( ) 

S = 3t + 5 dt = 966m 

4 

Ví dụ 2.14. Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t 0( s) 

với vận tốc v( t) = t( 5− t) 

( / ) 

( ) 

Quãng đường máy bay bay từ giây 


= chuyển động thẳng 

m s . Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó 

. 















dừng lại. 


48 

Vật dừng lại tại thời điểm t = 5. Quãng đường vật đi được là: 

5 

125 

S = t( 5 − t) dt = ( m) 

. 

6 

0 

sin( t) 

 

Ví dụ 2.15. Vận tốc của một vật chuyển động là vt ( ) = + ( m s ) 

1 

2 

/ . 

Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm 

tròn kết quả đến hàng phần trăm). 


Quãng đường 

( t) 

1,5 

1 sin 3 1 

S = + dt 

= + 0,34 

2 

2 4 

0 

 

Ví dụ 2.16. Một ô tô xuất phát với vận tốc 

một khoảng thời gian 

với vận tốc 

( ) = + ( ) 

v1 t 2t 10 m / s 

sau khi đi được 

t 1thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp 

( ) ( ) 

v2 t = 20 −4 t m / s 

và đi thêm một khoảng thời gian 

t 2 

nữa thì 

dừng lại. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4s . Hỏi xe đã 

đi được quãng đường bao nhiêu mét. 


Đến lúc phanh vận tốc của xe là: 

2t + 10 

quãng đường đạp phanh; sau khi đi thêm 

2t + 10 = 20 − 4t t + 2t 

= 5 

1 2 1 2 

Lại có t 1 

+ t 2 

= 4lập hệ được 

1 

đó cũng là vận tốc khởi điểm cho 

t 2 

t1+ 2t2 

= 5 t1 

= 3s 

 

t1 + t2 

= 4 t2 

= 1s 

Quãng đường đi được trong thời gian t 1 

3s 

thì vận tốc là 0 nên 

= là = ( 2 + 10) 

1 

3 

 

S t dt 


0 















49 


1s 

Tổng quãng đường đi được là: 

1 2 

3 1 

( ) ( ) 

 

S = S + S = 2t + 10 dt + 20 − 4t dt = 57m 

0 0 

= là S = ( 20 −4 

) 

Ví dụ 2.17. Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t 0( s) 

với vận tốc v( t) 3t ( 4 t)( m / s) 

nó dừng lại ? 


2 

1 

 

0 

t dt 

= chuyển động thẳng 

= − .Tính quãng đường vật đi được cho tới khi 

Thời điểm vật dừng lại khi đó ta có vận tốc 

t 

= 0 

v t = 0 3t 4 − t = 0 

t 

= 4 

( ) ( ) 

Chúng ta nhận giá trị 

Quãng đường vật đi trong 4s 

t = 4. Vậy vật chuyển động sau 4s 

là: 

4 

 

0 

( ) 

S = 3t 4 − t dt = 32 

thì dừng. 

Ví dụ 2.18.“Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính 

bởi công thức 

( ) 3 2, 

v t 

= t + 

được tính theo đơn vị m. Biết tại thời điểm 

m 

là 10 . Hỏi tại thời điểm 


thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi 

t= 

30s 

t= 

2s 

thì vật đi được quãng đường 

thì vật đi được quãng đường bằng bao nhiêu?” 

3 2 

Quãng đường tại thời gian t : S ( t) = ( 3t + 2) dt = t + 2t + c 

2 

Mà 

3 2 

S ( 2) = 10 c = 0 S ( t ) = t + 2t 

2 

Tại thời điểm t 30 s: 

S 30 = 1410 

= ( ) 


Ví dụ 2.19. Một vật di chuyển với gia tốc a( t) 20( 1 2 t) −2 

( m 2 / s) 

= − + Khi 

t = 0 thì vận tốc của vật là 30 m/ 

s.Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 















50 

giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị) 


10 

v t = a t dt = + C. 

1+ 

2t 

Ta có ( ) ( ) 

Theo đề ta có v( ) 

0 = 30 C= 

20 

Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là: 

2 

10 

S = 

+ 20dt = 5ln5 + 100 108 m. 

2t 

+ 1 

0 

Ví dụ 2.20. Một chất điểm chuyền động theo một đường thẳng sau t 

được vận tốc 

đầu tiên? 


Gọi 

( ) 

S t 

( ) ( ) 

2 − 

v t = t . e t m / s 

là quãng đường chất điểm di được sau t 

nguyên hàm của vận tốc 

( ) ( ) ( ) 

 

2 −t 

S t = v t dt = t . e dt 

 

. Tính quãng đường nó đi được trong 

( ) 2 − 

= . t 

( / ) 

v t t e m s 

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần ta tính đươc: 

2 −t 

−t 

2 

( ) = ( ) = ( . ) = 2 − ( + 2 + 2) 

S t v t dt t e dt e t t 


: 

giây đầu tiên. Ta có 

giây đạt 

t giây 

Khi kích thích để học sinh tham gia hệ thống hóa, xây dựng bổ sung chuỗi 

bài toán có nội dung thực tiễn của chủ đề từ các lĩnh vực thực tiễn cần lưu ý học 

sinh xác định đúng chủ đề, đặc biệt cấn hệ thống hoặc kiến thức theo từng nội 

dung cụ thể tránh nhầm lẫn. Khi học sinh tham gia hệ thống hóa, xây dựng bổ 

sung chuỗi bài toán có nội dung thực tiễn của chủ đề từ các lĩnh vực thực tiễn 

học sinh hệ thống hóa được nội dung kiến thức, đồng thời đào sâu phát triển năng 


lực tư duy loogic, năng lực ngôn ngữ, năng lực sử dụng tài liệu,… 

2.2.5. Biện pháp 5. Tổ chức các hoạt động học tập, trải nghiệm giải quyết 

( ) 

S t 

là 















vấn đề thực tiễn bằng sử dụng kiến thức Nguyên hàm, tích phân. 


51 

“Tính thực tiễn của Toán học thể hiện qua việc học tập, trải nghiệm giải 

quyết vấn đề thực tiễn bằng sử dụng kiến thức Toán học. Thực tiễn đóng vai 

trò quyết định trong quá trình nhận thức, là tiêu chuẩn chân lí của Toán học 

cũng như các khoa học khác. Thực tiễn còn có vai trò quan trọng trong việc 

hình thành cho học sinh khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề vì nó là môi 

trường rất thuận lợi cho học sinh rèn luyện, phát triển kĩ năng, kĩ xảo và nắm 

vững kiến thức đã học.” 


Để làm cho HS thấy được ý nghĩa thực tiễn của các bài học, có ý thức, khả 

năng sử dụng kiến thức bài học vào giải các bài toán thực tiễn, GV cần thiết kế 

hoặc hướng dẫn HS tự thiết kế các bài tập có nội dung liên quan tới các vấn đề 

của thực tiễn. Các bài tập đó có thể hướng vào việc tính toán, tìm hiểu các vấn 

đề có thật trong một phạm vi nào đó. Tác động vào cả 4 thành tố của năng lực 

giải quyết vấn đề thực tiễn trong dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân cụ thể: 




- Suy nghĩ về vấn đề và giải pháp để đề xuất vấn đề mới hoặc giải 

pháp mới. 

Chẳng hạn, tính diện tích hình phẳng trong thực tiễn, tính thể tích thực tế… 

Những bài toán như vậy còn giúp giáo viên khai thác triệt để, xây dựng các tình 

huống gợi vấn đề xuất phát từ thực tiễn và đời sống. Cụ thể, giáo viên có thể khai 

thác các dạng toán sau: 

Dạng 5.1. Tính diện tích hình phẳng trong thực tiễn 


Ví dụ 2.21. Một công ty muốn làm một logo có dạngvà kích thước như hình vẽ, 

trong đó phần cong là một phần của elip và có chất liệu bằng nhựa mạ vàng 












52 

24K. Giá thành là 20 triệu/m 2 .Tính giá thành phẩm. 





Hình 2.1 

Hình 2.2 











53 






Theo hình 2.2. ta có: 

CD = 1 m, MN = 1,5 m, NP = 0,75 m. 

x 

Giả sử phương trìnhelip là 

a 

3 3 

N 

 

; , ta có: 

4 8 y 

+ = có trục nhỏ CD = 1m 

và đi qua điểm 

b 

2 2 

2 2 

1 

2b 

= 1 1 

b = 

2 2 

 

3 3 2 7 1 7 

 

x + 4y = 1 y = 1− 

x 

 

4 8 

2 9 9 2 9 

+ 

 

= 1 

a 

= 

2 2 

a b 

7 

Diện tích logo là: 

2 2 2 

 

 

S = 1− x − − 1− x dx = 2 1 x dx 1,4m 

2 9 2 9 

− 

2 9 

−0,75 

−0,75 

0,75 0,75 

1 7 2 1 7 2 1 7 2 2 

Giá thành của sản phẩm xấp xỉ là: 1,4.20 = 26 triệu VND. 

Ví dụ 2.22.Tính diện tích cánh diều tạo bởi đường cong Lemniscate có phương 

trình trong hệ tọa độ Oxy 

tính bằng mét (m). 


là 

( ) 

16y = x 25 −x 

2 2 2 

Hình 2.3 

như hình vẽ, với đơn vị dài 

Hoàng độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x = 0; x = − 5; x = 5 


2 2 2 2 2 

16y x 25 x 4y x 25 x y 25 x ; 

= − = − = − x 0;5 

Ta có: ( ) 

x 

4 












54 




Diện tích cần tính gồm diện tích bốn mảnh bằng nhau, nên ta chỉ cần tính một 

mảnh. 

Diện tích mảnh S 

1 

trong góc phần tư thứ nhất là: 

5 

x 

125 

S1 

= 25 − x dx = m 

4 12 

0 

( ) 

2 2 

125 125 

4. . 

12 3 

2 

Vậy diện tích mảnh đất cần tìm là: S = = ( m ) 

Ví dụ 2.23.“Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 

( ) 

4 5 m 

. Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng 

hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn 

và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trong (phần tô màu) cách 

nhau một khoảng bằng 4m, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) 

dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ và kinh phí để 

trồng cỏ Nhật Bản là 200000 đồng/ 

m 

2 

. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật 

Bản trên phần đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)” 


Chọn hệ trục tọa độ như hình 5.4 

Ta có tung độ điểm của , 

Parabol đi qua các điểm 

Hình 2.4 Hình 2.5 

y 

= y = 2 5 − 2 = 4 

ABlà ( ) 2 2 

A 


( 0;0 ), ( −2;4 ), ( 2;4) 

O A B 

B 

nên có phương trình là 

y= 

x 

2 












55 




Phương trình của đường trong tâm O( 0;0) 

đường kính 4 5là 

( ) 2 

x + y = 2 5 y = 20 − x 

2 2 2 

Vậy S1là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 

y x y x x 

2 2 

= 20 − , = ,x = − 2, = 2được tô màu trong hình bên 

S là diện tích nửa hình tròn có bán kính bằng 2 5 

2 

( ) ( ) ( ) 

2 

2 

S = 2 5 − 20 − x − x dx 19,476 

m 

2 

 

−2 

Chi phí sẽ bằng: 200000. 3895000 

S = 

2 2 2 

đồng. 

Ví dụ 2.24. Anh Bình muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống 

như hình vẽ, biết đường cong phía trên là một parabol. Giá 

1m 

2 

cửa rào sắt có 

giá 70000 đồng. Vậy anh Bình phải trả bao nhiêu tiền để làm cài cửa rào sắt 

như vậy? (làm tròn đến hàng nghìn) 


Hình 2.6 

Ta mô hình hóa cách cửa rào bằng hình thang cong 

ABCD vuông tại C và D , cung AB như hình vẽ. 













56 




Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho điểm AB , nằm trên trục Ox như hình vẽ. 

Vậy diện tích cách cửa sẽ bằng diện tích hình chữ nhật ABCD cộng thêm diện 

tích miền cong AIB . Để tích diện tích miền cong AIB ta cần dùng tích phân 

Đầu tiên ta tìm cách viết phương trình Parabol 

đường cong AIB . Parabol có đỉnh 

−5 5 

A ;0 , B ;0 

2 2 

. 

1 

I 

0; 

, 

2 

 

2 1 

a.0 + b.0 + c = 1 

 

2 

c = 

2 

b 

 

2 2 1 

− = 0 b = 0 y = − x + 

2a 

 

25 2 

2 2 

2 

5 5 

a =− 

a. + b. = 0 25 

2 2 

Diện tích miền cong AIB được tính bằng công thức: 

2,5 

 

−2,5 

2 2 1 5 

x dx . 

 

− + = 

25 2 3 

Suy ra diện tích cánh cửa là 

Giá 

đồng. 

1m 

2 

5 55 2 

1,5.5 ( ). 

3 + = 6 m 

2 

y ax bx c 

= + + biểu thị cho 

và cắt trực hoành tại 2 điểm 

cửa rào sắt giá 700.000 đồng. Vậy giá tiền cửa rào sắt là 6416666 

Ví dụ 2.25. Ông B có mảnh vườn hình chữ nhật ABCD với AB 2 

( m) 

4( m) 

= , 

AD = và dự định trồng hoa trên dải đất giới hạn bởi đường trung bình 


MN và đường hình sin như hình vẽ. Tính diện tích trồng hoa của ông B? 


Chọn trục tọa độ M 

O 












57 




Với MA = 2, MD = − 2, MN = 2 

Phương trình đường hình sin là 

y = 2sin x 

2 2 

 

 

S = 2sin xdx = 2sinxdx − sin xdx = 

8m 

0 0 

 

Ví dụ 2.26. Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường 

một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2dm một 

cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3dm và nằm phía ngoài 

hình lục giác, hai đầu mút của cạnh cũng là hai điểm giới hạn của đường parabol 

đó. Hãy tính diện tích của hình nói trên (kể cả hình lục giác đều) để mua sơn 

trang trí cho phù hợp. 


Giả sử ABCDEF là hình lục giác đều có cạnh bằng 2dm, ta tính diện tích một 

cánh hoa: 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy 

B( − 1;0 ), 

( ) 

I 

2 

y ax b 

0;3 

a 0 

= + ( ) 

và đỉnh 

. Do 

sao cho O là trung điểm của cạnh 

AB , ( ) 

A 1;0 , 

I của parabol. Phương trình của parabol có dạng: 

I, A, 

B 

Do đó diện tích mỗi cánh hoa là: 

Vậy diện tích của hình là: 

P 

thuộc ( ) 

1 

1 

nên ta có: 

y= − + 

2 

3x 

3. 

2 2 

( 3 3) 4( ) 

S = − x + dx = dm 

−1 

2 

2 3 

S = 6 

+ 4= 6 3 + 24 34,39 

4 

( ) 

Ví dụ 2.27. Ông A có mảnh vườn Elip độ dài trục lớn 16m và độ dài trục nhỏ 

10m . Ông này muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m, nhận trục bé của elip làm 

trục đối xứng (như hình vẽ). Tính diện tích ông A trồng cây? (Làm tròn đến 

hàng phần chục). 



Phương trình tổng quát của Elip là 

x 

a 

y 

b 

2 2 

+ = 1 

2 2 

2 

dm 

2 












58 




2 2 

2a= 16 a= 

8 x y 

+ = 1 

2b= 10 b= 

5 64 25 

2 

x 

y = 5 1− 

64 

4 2 2 4 2 

x x 

x 

S = 5 1− − −5 1− dx = 10 1− 76,53 m 

64 64 64 

−4 −4 

Hình 2.7 

Ví dụ 2.28. Mẹ bạn An cắt chiếc bánh piza có tâm 

Theo đường thẳng ( ): 2 0 

bánh piza chứa tâm 


x− y+ = 

Chiếc piza có hình tròn nên ta có : 

I. 

Phương trình đường tròn có tâm 

( x ) ( y ) 

2 2 

− 3 + − 3 = 4 

I 

( ) 

3;3 

Phương trình hoành độ giao điểm ta được: 

I 

( ) 

3;3 

( ) 

, bán kính 

R = 2 

thành hai phần. Tính diện tích phần 

, bán kính 

R = 2 

− 6 − 2 

( 3) 2 ( 3) 

2 4 2 2 4 

X 

x y 

X Y 

= 

− + − = + = 

1 

2 

 

x− y+ 2 = 0 

X − Y + 2 = 0 6 − 2 

 

X 

2 

= 2 


X 

( ) 

2 

2 2 8 + 3 3 

S = X + 2 + 4 − X dX + 2 

4 − X dX = 

3 

X 

1 2 

2 

X 

là 

. 












59 




Ví dụ 2.29. Ông Nam muốn xây một cổng hình Parabol có chiều dài chân đáy 

của cổng là 3mvà chiều cao của cổng là 2 m. 

Ông Nam muốn tính diện tích của 

cổng để đặt cửa gỗ cho vừa kích thước. Tính diện tích của cổng? 


Giả sử Parabol có phương trình 

Đi qua A( ) 

2 

y ax bx c 

a 0 

= + + ( ) 

3 

 

0;2 ,B ;0nên ta có hệ phương trình 

2 

 

 

 

c= 2 c= 

2 

 

8 

b = b = y = − x + 

 

9 

9 8 

a+ 2= 0 a= − 

4 9 

2 

0 0 2 

3 

2 

2 8 2 2 4( 2 

) 

 

S = − x + dx = m 

9 

0 

Ví dụ 2.30. Cổng trường ĐHBK Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8 , 

chiều cao 12,5 . 


m Tính diện tích cổng? 

Giả sử parabol có phương trình 

Đi qua 

25 

C 

0; 

, 

2 

D 

( 4;0) 

2 

y ax bx c 

a 0 

= + + ( ) 

nên ta có hệ phương trình: 

25 

 

c = 

2 c = 2 

 

 

25 2 25 

b = 0 b = 0 y = − x + 

 

32 2 

25 25 

16a+ = 0 a= − 

2 32 


4 

25 25 200 

S = 2 

− x + dx = m 

32 2 3 

0 

2 2 

Ví dụ 2.31. Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm O . Một nhóm học sinh 

m 












60 




lớp 12 được giao thết kế bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có 

cùng đỉnh O và đối xứng với nhau qua O . Hai đường Parabol này cắt đường 

tròn tại bốn điểm A, B, C, 

D tạo thành hình vuông có cạnh bằng 4m. Phần diện 

tích S1, 

S 

2 

dùng để trồng hoa, phần diện tích S3, 

S4dùng để trồng cỏ (Diện tích 

được làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) biết kinh phí để tồng hoa là 

150000đồng/ 

m 

2 

, kinh phí để trồng cỏ là 100000 đồng/ 

m 

2 

. Hỏi nhà trường cần 

bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng trục nghìn) 


Chọn hệ trục tọa độ: 

Hình 2.8 

( ) ( ) ( ) 

O 0;0 , A −2;2 , B 2;2 

Khi đó phương trình Parabol có dạng là:( ) : 

1 

B( 2;2) ( P) 

a = 

2 

P 

. Vậy ( ) 

: 

1 

y = x 

2 

Phương trình cung tròn nằm trên phía trục Ox 

y = R − x = OA − x = 8 − x 

Khi đó: 

2 2 2 2 2 2 

2 2 

2 x 

S1 

= 8 − x − dx 

2 

−2 

 

Diện tích hình tròn là 

S = R = OA = 8 

Ta có: T S ( S S ) 

1 1 

P 

2 2 

 

2 

y = ax 

là: 

= 150.2 + 100 − 2 3270000 đồng 

2 

trong đó 


Ví dụ 2.32. Người ta dự định trồng hoa trang trí trang trí trên một mảnh đất 












61 




hình tròn bằng hai loại hoa hồng và hoa lan. Phần hoa hồng trồng trong elip 

cùng tâm với hình tròn, phần còn lại trồng hoa lan (như hình vẽ). Biết rằng phần 

đất elip có độ dài trục lớn bằng 8mvà trục bé bằng 6 m . Tính diện tích trồng 

hoa lan? 


Diện tích trồng hoa lan là: 

( ) 

4 

m 

Dạng 5.2. Dạng toán thực tiễn quy về tính thể tích vật thể 

2 

Ví dụ 2.33. Người ta muốn làm một chiếc ghế dạng đới cầu, được cắt từ một 

khối cầu có bán kính 5dm, bỏ hai chỏm cầu thuộc hai mặt phẳng cách tâm 3dm 

. Tính thể tích của ghế. 



- Chọn trục tọa độ với gốc tọa độ O là tâm của mặt cầu; đường thẳng đứng là 

Ox , đường ngang là Oy ; đường tròn lớn có phương trình 

x 

+ y = 25 

2 2 












62 




Thể tích cần tính do diện tích giới hạn bởi Ox và các đường: 

y x x x 

2 

= 25 − , = 3, = − 3 quay quanh Ox nên 

3 

−3 

2 

( ) 

V = 25 − x dx = 132. 

Ví dụ 2.34.“Một cái chuông có dạng như hình vẽ.Giả sử khi cắt chuông bởi 

mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần 

parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4 m, 

và bán kính của miệng chuông là 2 2 

. Tính thể tích chuông?” 


Hình 2.9 

Lập hệ trục tọa độ như hình vẽ. Parabol đi qua ba điểm 

( 0;0 ),( 4;2 2 ),( 2; −2 2) 

nên có phương trình 

2 

y 

x = 

2 


Thể tích chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng 












63 




y = 2 x, x = 0, x = 4quay quanh trục Ox . 

4 

Ta có ( ) 4 

2 

V xdx x 

= 2 = = 16 

0 0 

Ví dụ 2.35.“Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết 

rằng người ta định xây cây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cầu 

cách nhau 40m, biết hai bên đầu cầu và giữa mỗi nhịp nối người ta xây một 

chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như 

hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu(bỏ qua diện tích 

cốt sắt trong mỗi nhịp cầu)” 


Hình 2.10 

Lập hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc 

Parabol trên),đỉnh 

đế) 

I 

( 25,2) 

Gọi phương trình Parabol là: 

, điểm 

A 

( 50,0) 

( ) 

2 2 

( P ): y = ax + bx + c = ax + bx. 

O 

( P ) 

1 1 1 

O 

( ) 

0,0 

là chân cầu (điểm tiếp xúc 

(điểm tiếp xúc Parabol trên với chân 

2 20 2 1 

y2 

= ax + bx − ax = ax + bx − là phương trình parabol dưới 

100 2 

Ta có: 


2 2 4 2 2 4 1 

I, A( P1 ) ( P1 ): 

y1 = − x + x y2 

= − x + x − 

625 25 625 25 5 












64 




Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là S = S1 

với S 

1 

là phần giới hạn bởi y1; 

y 

2 

trong 

khoảng ( 0;25 ) 

 

 

S = 2 − x + x dx + dx 0,9m 

 

 

625 25 

 

5 

0 

0,2 

0,2 15 

2 2 4 1 

2 

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày 

V S m 

3 

= .0,2 1,98 

số lượng bê tông cần cho mỗi nhịp cầu 

Vậy mười nhịp cầu hai bên cần 

40m 

3 

bê tông. 

2m 

Ví dụ 2.36. Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có hai đáy là 

hình tròn bằng nhau và chiều cao bình bằng 16cm. Đường cong của bình là một 

cung tròn của đường tròn bán kính là 9. 


Không mất tính tổng quát ta xem tâm của đường tròn là tâm O của gốc tọa độ, 

khi đó ta có phương trình 

x 

+ y = 81, 

2 2 

xoay bị giới hạn bởi đường tròn 

Vậy thể tích là: 

2 2 

( 81 ) ( 81 ) 

2 

8 8 

−8 −8 

x 

+ y = 81 

2 2 

Hình 2.11 

2864 

V = − x dx = − x dx = 

3 

khi đó thể tích của bình là hình tròn 

và 

y = 0, x = − 8, x = 8. 


3 












65 




Ví dụ 2.37. Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở chi đội bạn, họ dự định dựng 

một lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ 

trước ra sau, mặt sau trại cũng là parabol có kích thước giống như mặt trước) 

với kích thước nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3m, chiều sâu là 

6 m, 

đỉnh của parabol cách mặt đất là 3m. Hãy tính thể tích phần không gian 

phía trong trại để cử số người tham dự trại cho phù hợp. 


Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có 

AB = 3 m, BC = 6 m, 

đỉnh của 

parabol là I . Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của cạnh AB , 

−3 3 

A ;0 , B ;0 ,I( 0;3 ), 

2 2 

( a 0) 

. Do 

I, A, 

B 

thuộc ( ) 

phương trình của parabol có dạng: 

P 

không gian phía trong trại là: 

nên ta có: 

Ví dụ 2.38. Một khối cầu có bán kính 5 , 

3 

2 

0 

y 

−4 

3 

2 

= x = 

3. 

4 

V 6.2 − 

= 

x + 3dx = 36 m 

3 

dm 

2 

y = ax + b 

Vậy thể tích phần 

( ) 

2 3 

người ta cắt bỏ hai phần bằng hai 

mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm chiếc lu đựng. Tính 

thể tích mà chiếc lu chứa được. 


Đặt hệ trục với tâm O , là tâm của mặt cầu; đường thẳng đứng là 

ngang là 

Oy; đường tròn lớn có phương trình 

Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox , đường cong 

quay quanh Ox là: 

3 

 

−3 

( ) 

V = − x dx = 

2 

25 132 

 

x 

+ y = 25. 

2 2 

y 

2 

= 25 − x , 3, 

. 

Ox, đường 

x = x =− 3 


Ví dụ 2.39. Một cái nêm tạo thành bằng cách cắt ra từ một khúc gõ hình trụ có 

bán kính bằng 4cm bởi hai mặt phẳng gồm mặt phẳng thứ nhất vuông góc với 












66 




trục của hình trụ, mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng thứ nhất dọc theo một đường 

kính của hình trụ và góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 30 . Tính thể tích caí nêm 

đó? 


Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt 

vuông góc với hình trụ 

Ta có 

OB = 4, AOB = 30 

. Nếu gọi 

( ) 

S x 

là diện 

tích thiết diện của cái nêm cắt bởi mặt phẳng 

vuông góc với trục Ox tại thời điểm có hoành độ bằng x 

Cụ thể 

Do đó 

( ) 

S x 

là diện tích của các tam giác vuông tại đỉnh thuộc cung Bx 

1 2 2 16 − x 

S ( x) 

= 16 − x 16 − x tan30 = 

2 2 3 

Khi đó thể tích của cái nêm bằng 

4 4 

V 1 128 3 

= 2 

S x dx = 16 

3 

− x dx = 

9 

cm 

( ) ( ) ( ) 

0 0 

2 2 

Ví dụ 2.40. Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước 

hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a 


Ta thừa nhận công thức : 

Trong đó ( ) 

b 

a 

( ) 

V = S x dx 

(*) 

S x là diện tích của thiết diện của vật thể V . Thiết diện này vuông 

góc với trụcOx ,tại x a; 

b 

2 

với ablà , các cận ứng với hai mặt phẳng song 

song và vuông góc với trục Ox , giới hạn vật thể V . 


Việc nắm giữ vững công thức (*) giúp quý độc giả có thể tính được thể tích 

của vật thể mà đề bài đã yêu cầu, cụ thể như sau: 

Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật 












67 




thể V giới hạn bởi hai mặt trụ: x 2 + y 2 = a 2 , x 2 + z 2 = a 2 

( a 0) 

Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi x 0; 

a 

thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox 

cạnh 

y = a −x 

2 2 

thiết diện sẽ là: 

2 2 2 2 2 2 

( ) . 

S x a x a x a x 

) tại x 

, 

là một hình vuông có 

( chính là phần gạch chéo trong hình vẽ). Do đó diện tích 

x 

0; a 

= − − = − 

Khi đó áp dụng công thức (*) thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng: 

a a 3 a 3 

2 2 2 x 16a 

V = 8S ( x) dx = 8( a − x ) dx = 8 a x − = . 

3 3 

0 0 

0 


“Tổ chức các hoạt động học tập, trải nghiệm giải quyết vấn đề thực tiễn 

bằng sử dụng kiến thức Nguyên hàm, tích phân cho học sinh cần chú ý tùy theo 

tính chất và mục đích của từng hoạt động cụ thể cũng như điều kiện, khả năng 

của các em mà giáo viên có thể lựa chọn một hay nhiều phương pháp phù hợp. 

Điều quan trọng là phương pháp được lựa chọn cần phát huy cao độ vai trò chủ 

động, tích cực, sáng tạo của HS và khai thác tối đa kinh nghiệm các em đã có. 

Khi học sinh tham gia các hoạt động học tập, trải nghiệm giải quyết vấn đề thực 

tiễn bằng sử dụng kiến thức Nguyên hàm, tích phân từ các lĩnh vực thực tiễn 

học sinh hệ thống hóa được nội dung kiến thức, đồng thời đào sâu, phát triển 


năng lực sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu, công thức; năng lực tính toán, năng lực suy 

luận và chứng minh, phát triển năng lực tư duy lôgic, năng lực sử dụng tài 












68 




liệu,…” 


Sau khi đề xuất một số định hướng chúng tôi đề xuất năm biện pháp phát 

triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua khai thác các bài toán 

có nội dung thực tiễn trong dạy học Nguyên hàm, tích phân ở lớp 12 THPT như 

sau: 

(1) Tổ chức các hoạt động dạy học theo hướng tích cực hóa học sinh đảm bảo 

cho học sinh nắm vững được kiến thức cơ bản của Nguyên hàm, tích phân 

chương trình Toán 12 THPT; 

(2) Giúp học sinh thấy được vai trò và ứng dụng thực tiễn của Nguyên hàm, tích 

phân nhằm tạo hứng thú cho người học trong quá trình dạy học chủ đề này. 

Trong biện pháp này chúng tôi bổ sung hai dạng toán có ý nghĩa lớn trong 

thực tiễn là dạng toán về sự tang trưởng kinh tế và dạng toán về sự phát triển 

của vi khuẩn. 

(3) Tăng cường huy động các kiến thức để học sinh phát hiện và giải quyết vấn 

đề bằng nhiều cách khác nhau; Rèn luyện thói quen lựa chọn phương án tối ưu 

trong các cách giải quyết vấn đề. 

(4) Kích thích để học sinh tham gia hệ thống hóa, xây dựng bổ sung chuỗi bài 

toán có nội dung thực tiễn của chủ đề từ các lĩnh vực thực tiễn 

(5) Tổ chức các hoạt động học tập, trải nghiệm giải quyết vấn đề thực tiễn bằng 

sử dụng kiến thức Nguyên hàm, tích phân. 

thể. 

Chúng tôi đã minh họa cho những biện pháp trên thông qua 40 ví dụ cụ 













69 




Chương 3 

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 

3.1. Mục đích, yêu cầu thực nghiệm sư phạm 

Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của những 

biện pháp sư phạm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua 

khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Nguyên hàm, tích 

phân ở lớp 12 THPT đã đề xuất ở chương 2. 

3.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm 

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành với 2 giáo án, mỗi giáo án 2 tiết, thực 

hiện ở các lớp 12A trường THPT Thanh Ba lớp đối chứng cùng trường là 12B. 

Sĩ số các lớp và giáo viên dạy từng lớp như sau: 

- Lớp 12A sĩ số 42 em là lớp thực nghiệm do cô giáo Cao Thị Kim Chung 

trực tiếp giảng dạy. 

- Lớp 12B sĩ số 43 em là lớp đối chứng do thầy giáo Nguyễn Đức Anh 

giảng dạy. 

Lớp thực nghiệm sư phạm và lớp đối chứng tương ứng có sĩ số tương 

đương và học lực tương đương, theo kết quả đánh giá học kỳ 1 môn Toán năm 

học 2017 – 2018 của Trường; Giáo viên dạy thực nghiệm sư phạm và dạy lớp 

đối chứng cũng tương đương về tuổi đời và tuổi nghề. 

3.3. Nội dung và tổ chức thực nghiệm sư phạm 

3.3.1. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 

Thời gian thực nghiệm sư phạm tại trường THPT Thanh Ba, Phú Thọ vào 

2 tiết chiều ngày 28/3/2018. 

Các giờ thực nghiệm sư phạm lấy trong giờ học ôn theo chuyên đề của 

Trường. Các lớp đối chứng học tương ứng vào ngày hôm sau của giờ thực nghiệm 

sư phạm. 


Sau khi dạy thực nghiệm sư phạm và lớp đối chứng cũng học xong, chúng 

tôi tiến hành cho học sinh cả hai lớp là bài kiểm tra cùng đề, cùng đáp án và thang 












70 




điểm để lấy kết quả đối chiếu. 

3.3.3. Thiết kế giáo án minh họa hai bài dạy chủ đề Nguyên hàm, tích phân 

theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề thông qua khai thác bài 

toán có nội dung thực tiễn dạy trong lớp thực nghiệm sư phạm 

Giáo án 1.Luyện tập (Tiết 1) 

Giáo án 2. Luyện tập (Tiết 2) 

Ngày soạn 4/01/2018 

A.Mục tiêu: 

Tiết 54: LUYỆN TẬP (Tiết 1) 

1. Kiến thức: Nhắc lại ứng dụng của tích phân trong hình học. 

2. Kĩ năng: Vận dụng thành thạoứng dụng của tích phân trong hình học vào 

giải bài tập. 

3. Thái độ: Tư duy tích cực, thái độ hợp tác, cẩn thận sáng tạo. 

4. Định hướng phát triển năng lực: 

- Năng lực giải quyết vấn đề. 

-Năng lực tính toán, năng lực tư duy và suy luận.. 

B. Phương pháp, kĩ thuật dạy học: 

1. Phương pháp: Phát hiện và giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm, nêu vấn 

đề. 

2. Kỹ thuật dạy học: Động não, kỹ thuật tia chớp, kỹ thuật khăn trải bàn… 

C. Chuẩn bị: 

1. Giáo viên: Hệ thống câu hỏi và bài tập. 

2. Học sinh: Đọc và nghiên cứu trước nội dung bài. 

D.Tiến trình bài dạy: 

1. Tổ chức: 

Lớp Ngày dạy Sĩ số HS vắng 


12A 

2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong bài 












71 




3. Bài mới: 

Hoạt động 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 

STT Hoạt động Nội dung 

1 Chuyển giao 

nhiệm vụ 

(Phát hiện và thâm 

nhập vấn đề) 

2 Thực hiện nhiệm 

vụ 

(Tìm giải pháp) 

3 Báo cáo, thảo 

luận 

(Trình bày giải 

pháp) 

4 Đánh giá KQ việc 

thực hiện nhiệm 

vụ học tập của HS 

(Nghiên cứu sâu 

giải pháp) 

GVchốt kiến thức 

và định hướng học 

sinh trình bày nội 

dung 

HS làm bài 1(Trang 121) 

-HS được chia thành 4 nhóm tương ứng 4 tổ 

-HS thảo luận theo nhóm, trong nhóm trao đổi kết 

quả thảo luận với nhau để đi đến kết luận chung 

-GV theo dõi hoạt động của các nhóm có hướng 

dẫn, giải đáp kịp thời. 

Các nhóm chính đưa ra báo cáo thảo luận. 

Các nhóm phản biện bài của nhóm khác 

Giáo viên điều hướng học sinh đi tới kết luận 

a)y= 

e 

ln x 

, y = 1; 

1 

ln x 

=1 

 

1 1 1 

e 

e 

1 

x = e; 

x = 

e 

S = 1− ln x dx = (1 + ln x) dx + (1 − ln x) 

dx 

1 

= + e − 2 

e 

b) y = (x-6) 2 , y = 6x-x 2 ; (x-6) 2 = 6x-x 2 

x= 3; x= 

6 

6 

2 2 

(6 ) ( 6) 9 

 

S = x − x − x − dx = 

3 


c) y = lnx, y = 0, x = e 

e 












72 




Hoạt động 2: Củng cố 

e 

S = ln x dx = ln xdx = 1 

e 

 

1 1 

d) x = y 3 , y = 1, x = 8 

8 8 1 

3 3 

17 

S = x − 1 dx = ( x − 1) dx = 

4 

e) y = 

1 1 

2 

1 

x 1 

x 

+ , y = 0, x = 1, x = 2 

x + 1 

2 

S = dx = ( x + ln x) = 1+ 

ln 2 

1 

x 

f) y= x 4 -4x 2 +5, y = 5 

0 2 

4 2 4 2 

128 

S = x − 4x dx + x − 4x dx = 

15 

−2 0 

h) y = x 3 -3x, y = x 

0 2 

3 3 

 

S = x − 4xdx + x − 4x dx = 8 

 

−2 0 



nhiệm vụ 

(Phát hiện và 

thâm nhập vấn đề) 

HS làm bài tập sau: Tính diện tích cánh diều tạo 

bởi đường cong Lemniscate có phương trình 

trong hệ tọa độ Oxy 

là 

( ) 

16y = x 25 −x 

2 2 2 

hình vẽ, với đơn vị dài tính bằng mét (m). 


như 












73 




2 Thực hiện nhiệm 

vụ 



luận 


pháp) 

4 Đánh giá KQ việc 

thực hiện nhiệm 

vụ học tập của 

HS 

(Nghiên cứu sâu 

giải pháp) 

GVchốt kiến thức 

và định hướng học 

sinh trình bày nội 


- HS được chia thành 4 nhóm tương ứng 4 tổ 

- HS thảo luận theo nhóm, trong nhóm trao đổi kết 

quả thảo luận với nhau để đi đến kết luận chung 

- GV theo dõi hoạt động của các nhóm có hướng 

dẫn, giải đáp kịp thời. 




Tính diện tích cánh diều tạo bởi đường cong 

Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy 

là 

( ) 

16y = x 25 −x 

2 2 2 

tính bằng mét (m). 


như hình vẽ, với đơn vị dài 

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là 

x = 0; x = − 5; x = 5 

Ta 

( ) 

có: 

2 2 2 2 2 

16y = x 25 − x 4y = x 25 − x y = 25 − x ; 

x 

 

0;5 


 

Diện tích cần tính gồm diện tích bốn mảnh bằng 

x 

4 












74 




4. Củng cố: 

– Cách xác định hình phẳng. 

– Cách thiết lập công thức tính diện tích. 

– Cách xây dựng các công thức tính thể tích các khối lăng trụ, chóp, chóp cụt. 

– Cách xây dựng các công thức tính thể tích các khối tròn xoay. 

– Các bước giải bài toán tính diện tích và thể tích. 

5. HDVN: Học bài, làm bài tập SGK, SBT. 

Làm bài tập sau: Kiến thức bổ sung: Tốc độ phát triển của vi khuẩn v(t) là 

đạo hàm của hàm số vi khuẩn F(t) ban đầu, theo biến thời gian: v(t)= F’(t). 

Ngược lại, số vi khuẩn F(t) ban đầu, là nguyên hàm của hàm tốc độ tăng 

trưởng của vi khuẩn theo thời gian: 

F t 

Số vi khuẩn sau t a ngày là F(a) . 

= 

( ) ( ) 

= f t dt 

Trong một mẻ cấy, số lượng ban đầu của vi khuẩn là 1000, số lượng này 

tăng lên theo vận tốc ( ) 

1,1257 

v t 

vi khuẩn trong buồng cấy sau 3 giờ? 

Ngày soạn 5/01/2018 

A. Mục tiêu 

nhau, nên ta chỉ cần tính một mảnh. 

Diện tích mảnh S 

1 

trong góc phần tư thứ nhất là: 

t 

= 550e 

vi khuẩn trong một giờ. Sẽ có bao nhiêu 

Tiết 55: LUYỆN TẬP (Tiết 2) 

5 

x 

125 

S1 

= 25 − x dx = m 

4 12 

0 

( ) 

2 2 

Vậy diện tích cánh diều cần tìm là: 

125 125 2 

S = 4. = ( m ). 

12 3 













75 




1. Về kiến thức: Nắm được công thức tính thể tích vật thể. Biết công thức 

tính thể khối chóp và chóp cụt. 

2. Về kỹ năng: Tính được thể tích của các khối quen thuộc và thể tích của 

một số vật thể dạng đơn giản. 

3. Thái độ: Tuân thủ các yêu cầu của giáo viên. Biết hợp tác với giáo viên và 

bạn bè xung quanh. 

4. Năng lực hướng tới: Năng lực giải quyết vấn đề, tự học, tính toán chính 

xác, biết sử dụng ngôn ngữ để trình bày bài làm, trình bày quan điểm 

B. Phương pháp, kĩ thuật dạy học: 

1. Phương pháp: Phát hiện và giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm, nêu vấn 

đề. 

2. Kỹ thuật dạy học: Động não, kỹ thuật tia chớp, kỹ thuật khăn trải bàn… 

C. Chuẩn bị: 

1. Giáo viên: Hệ thống câu hỏi. 

2. Học sinh: Đọc và nghiên cứu trước nội dung bài. 

D. Tiến trình bài dạy 

1. Ổn định tổ chức: 

Lớp Ngày dạy Sĩ số HS vắng 

12A 

2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong giờ 

3. Bài mới: 

Hoạt động 1: Tính thể tích khối tròn xoay 



nhiệm vụ 


thâm nhập vấn 

HS làm bài tập sau: Người ta muốn làm một chiếc 

ghế dạng đới cầu, được cắt từ một khối cầu có bán 


kính 5dm , bỏ hai chỏm cầu thuộc hai mặt phẳng 

cách tâm 3dm. Tính thể tích của ghế. 












76 




đề) 

2 Thực hiện 

nhiệm vụ 



luận 


pháp) 

4 Đánh giá KQ 

việc thực hiện 

nhiệm vụ học 

tập của HS 

(Nghiên cứu 

sâu giải pháp) 

GVchốt kiến 

thức và định 

hướng học sinh 

trình bày nội 



- HS thảo luận theo nhóm, trong nhóm trao đổi kết quả 

thảo luận với nhau để đi đến kết luận chung 

- GV theo dõi hoạt động của các nhóm có hướng dẫn, 

giải đáp kịp thời. 





- Chọn trục tọa độ với gốc tọa độ O 

là tâm của mặt 

cầu; đường thẳng đứng là Ox , đường ngang là Oy ; 

đường tròn lớn có phương trình 

x 

+ y = 25 . 

2 2 

Thể tích cần tính do diện tích giới hạn bởi Ox và các 

đường: 

y x x x 

2 

= 25 − , = 3, = − 3 quay quanh Ox nên 


3 

2 

( ) 

V = 25 − x dx = 132 

−3 












77 




Hoạt động 2: Củng cố - mở rộng 



nhiệm vụ 


thâm nhập vấn 

đề) 

2 Thực hiện 

nhiệm vụ 



luận 


pháp) 

4 Đánh giá KQ 

việc thực hiện 

HS làm bài tập sau:“Một cái chuông có dạng như 

hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua 

trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một 

phần parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4 m, 

và bán 

kính của miệng chuông là 

chuông?” 

2 2 


. Tính thể tích 

- HS thảo luận theo nhóm, trong nhóm trao đổi kết quả 

thảo luận với nhau để đi đến kết luận chung 

- GV theo dõi hoạt động của các nhóm có hướng dẫn, 

giải đáp kịp thời. 

















78 




4. Củng cố: 

nhiệm vụ học 

tập của HS 

(Nghiên cứu 

sâu giải pháp) 

GVchốt kiến 

thức và định 

hướng học sinh 

trình bày nội 


– Cách xác định hình phẳng. 

– Cách thiết lập công thức tính diện tích. 

– Cách xây dựng các công thức tính thể tích các khối lăng trụ, chóp, chóp cụt. 

– Cách xây dựng các công thức tính thể tích các khối tròn xoay. 

– Các bước giải bài toán tính diện tích và thể tích. 

5. HDVN: Học bài, làm bài tập SGK, SBT. 

Lập hệ trục tọa độ như hình vẽ. Parabol đi qua ba 

điểm 

( ) ( ) ( ) 

0;0 , 4;2 2 , 2; −2 2 

2 

y 

x = 

2 

nên có phương trình 

Thể tích chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi 

hình phẳng 

y = 2 x, x = 0, x = 4 

Ta có 

quay quanh trục 

4 

2 

2 16 

 

( ) 4 

V = xdx = x = 

0 0 


Ox. 












79 




Làm bài tập sau: Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có hai 

đáy là hình tròn bằng nhau và chiều cao bình bằng 16cm. Đường cong của bình 

là một cung tròn của đường tròn bán kính là 9. 

3.4. Kết quả thực nghiệm 

3.4.1. Đề bài kiểm tra 

Nội dung/ 

Chủ đề 

Nguyên hàm 2c- 

KHUNG MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA 

Cấp độ nhận thức 

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng 

cao 

TN TL TN TL TN TL TN TL 

0,8đ 

Tích phân 2c- 

Ứng dụng của 

tích phân hình 

học - thực tiễn 

Tổng 

0,8đ 

4c 

1,6đ 

2c- 

0,8đ 

1ý- 

0,8đ 

2c- 0,8đ 1 ý- 

0,8đ 

1c- 0,4đ 1ý- 

4c 

1,6đ 

0,4đ 

3 ý 

2đ 

1c 

0,4đ 

2c- 

0,8đ 

1c- 

0,4đ 

4c 

1,6đ 

1ý 

1đ 

1 ý 

1đ 

1c 

0,4đ 

2c 

0,8đ 

3c 

1,2đ 

1ý 

2đ 

1 ý 

2đ 

Điểm 


4đ 

4,4đ 

1,6đ 

10đ 












80 




I. Phần trắc nghiệm (20 câu-7 điểm) 

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA 

Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 

A. f ( x) dx =−2cos2x +C. 

f x = sin 2x . 

B. 

1 

2 

 

1 

f ( x) dx = cos2x +C. 

2 

C. f ( x) dx =− cos 2x +C. 

D. f ( x) dx = 2cos2x +C. 

Câu 2: Khẳng định nào sau đây đúng ? 

A. 

C. 

 

cos xdx = sin x + C. 

 

sin xdx = cos x + C. 

Câu 3: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 

A. 

C. 

 

( ) ( ) 

f x dx = F x + C 

. B. 

( ) − ( ) = ( ) − ( ) 

 

f x g x dx f x dx g x dx 

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

C. 

 

 

f x dx 

1 

2 

2 

( ) = (1 −tan x) +C. 

f ( x) dx =−x 

+C. 

Câu 5: Cho I= 

A. 

C. 

 

 

5 2 

x x + 15dx 

I = u − u + u du 

6 4 2 

( 30 225 ) . 

 

I = u − u − du 

6 4 2 

( 30 225u ) . 

. Đặt 

u 

B. 

D. 

 

 

 

tan xdx = cot x + C. 

cot xdx = tan x + C. 

( ). ( ) = ( ) . ( ) 

 

f x g x dx f x dx g x dx 

. D. 

 

1− 

tan x 

f( x) 

= 

1 + tan x 

2 

= x + 

3 2 

Câu 6: Nguyên hàm của hàm số ( ) cos .sin 

15 

B. 

D. 

 

 

( ) = ( ) 

 

kf x dx k f x dx 

. 

f ( x) dx = ln | sin x −cos x |+C. 

f ( x) dx = ln | sin x + cos x |+C. 

. Viết I theo u và du. 

B. 

D. 

 

I = − 

f x = x x là 

 

5 3 

(u 15u ) du. 

I = u − u du 

4 2 

( 15 ) . 

3 5 

3 5 

sin x sin x 

sin x sin x 

A. − + C . B. + + C . 

3 5 

3 5 

C. 

3 5 

sin x cos x 

− + C 

D. 

3 5 

3 5 

cos x cos x 

− +C 

3 5 


( 3 ) 

Câu 7: Biết 

x −1 

dx = aln x + 3 + b + C . Tính S = a + 2. b 

2 

x + 6x + 9 x + 3 

. 

. 

. 












81 




A. S = 23. 

B. S =− 4. C. S =− 17. D. S = 16. 

Câu 8: Tích phân 

 

2 

I = sin xdx bằng: 

0 

A. -1 B. 1 C. 2 D. 0 

Câu 9: Cho 5 f ( x) dx = 10. Tính I = 2 −4 f ( x) 

dx 

. 

2 

5 

2 

A. I = 36. B. I =− 34. C. I =− 46. D. I = 34. 

Câu 10: Tích phân 

A. 

 

I = 

2 

. B. 

 

2 

I = x cos xdx 

0 

 

I = −2 

2 

Câu 11: Tính tích phân 

A. 

I = 2ln3+ 

ln 2. 

Câu 12: Tính tích phân 

A. 

I = 

Câu 13: Biết 

K = a + b+ 

c. 

3− 

2 . 

6 

B. 

I = 

B. 

. 

. C. 

1 

 

0 

4x 

+ 11 

dx 

2 

x + 5x+ 

6 

3 

I = 4ln . 

2 

e 

I = 

I = 

1 

2 + ln x 

dx 

2x 

3− 

2 . 

3 

 

I = + 1 

2 

C. 

. 

. 

I = 

e x + ( x −2)ln 

x 

 

dx = a ln2 + be + c , 

x(1+ 

ln x) 

1 

. D. 

C. 

9 

I = ln . 

2 

3+ 

2 . 

3 

với 

abc , , 

D. 

D. 

 

I = −1 

2 

. 

3 

I = 2ln . 

2 

3 3 − 2 2 

I = . 

3 

là các số nguyên. Tính 

A. K = 0. 

B. K = 1. 

C. K = 2. 

D. K =− 1. 

 

Câu 14: Biết 2 0 

(2x − 1)cos xdx = m + n 

. Tính T = m+ 

2. n 

A. T = 7. 

B. T =− 5. 

C. T =− 1. D. T =− 3. 


Câu 15: Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 

hàm số y f ( x) 

= , trục Ox, 2 đường thẳng , 

x = a x = b ( a 

b). 












82 




b 

2 

A. S = f ( x) dx. 

B. S = f ( x) 

dx. 

C. S = f ( x) dx. 

D. S f ( x) dx. 

a 

b 

a 

Câu 16: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi 

quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) 

, trục Ox và hai 

đường thẳng 

b 

x = a, 

x = b 

( a b) 

, xung quanh trục Ox . 

2 

2 

A. V = f ( x) 

dx. 

B. V = f ( x) 

dx. 

C. V = f ( x) dx. 

D. V f ( x) dx. 

a 

Câu 17: Tính diện tích S 

2 

y = x + 2x 

A. 

11 

S = . 

2 

và đồ thị hàm số 

Câu 18: Kí hiệu ( ) 

H 

B. 

b 

a 

a 

b 

b 

a 

b 

= 

a 

b 

= 

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

y= x+ 

2 

9 

S = . 

2 

. 

C. 

7 

S = . 

2 

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

a 

D. 

y = 3x −x 

H 

5 

S = . 

2 

trục Ox . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình( ) xung 

quanh trục Ox . 

A. 

81 

V = . 

11 

B. 

83 

V = . 

11 

C. 

81 

V = . 

10 

D. 

2 

và 

83 

V = . 

10 

Câu 19: : Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như 

sau. Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 

15m/s. Hỏi biểu thức vận tốc của tia lửa điện là? 

A. 

v= − 9,8t+ 

15 

B. 

v= − 9,8t+ 

13 

C. 

v= 9,8t+ 

15 

Câu 20: Cho hình thang cong( ) giới hạn bởi các đường 

x 

y = 2 , y = 0, x = 0, x = 4. 

H 

Đường thẳng 

( 0 4) 

x = k k 

chia( H ) 

diện tích là S 

1 

và S2 

như hình vẽ bên dưới. Tìm k để S = S . 1 2 

A. k = 2. 

B. 

17 

2 

C. k = log 

2 

. D. k = 

2 

17 

k = ln . 

2 

log 17. 

D. 

v= −9,8t− 

13 

thành 2 phần có 













83 




II. Phần tự luận (2 câu-3 điểm) 

Câu 1: Tính: 

e 

 

1 

( ) 

I = 1+ 

2x ln xdx 

Đặt 

e 

1 

u= 

ln x du 

= dx 

 

x 

dv 

= + 

v = x + x 

( 1 2x) dx 

2 

( 1 2 ) ln ( 2 

) ln ( 1 

 

) 

1 

I = + x xdx = x + x x − + x dx 

2 

( ) 

1 1 

e 

2 2 

e x e + 3 

= x + x ln x − x + = 

1 

2 

2 

Câu 2: Một ô tô xuất phát với vận tốc 

khoảng thời gian 

vận tốc 

1 

e 

e 

( ) = + ( ) 

v1 t 2t 10 m / s 

sau khi đi được một 

t 1thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với 

( ) ( ) 

v2 t = 20 −4 t m / s 

và đi thêm một khoảng thời gian 

t 2 

nữa thì dừng 

lại. Biết kể từ lúc xuất phát đến khi dừng lại tổng thời gian di chuyển là 4s . 

Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét? 

Đến lúc phanh vận tốc của xe là: 

2t + 10 

quãng đường đạp phanh; sau khi đi thêm 

2t + 10 = 20 − 4t t + 2t 

= 5 

1 2 1 2 

Lại có t 1 

+ t 2 

= 4lập hệ được 

1 

đó cũng là vận tốc khởi điểm cho 

t 2 

t1+ 2t2 

= 5 t1 

= 3s 

 

t1 + t2 

= 4 t2 

= 1s 


3s 

thì vận tốc là 

= là = ( 2 + 10) 

1 

3 

 

S t dt 

0 

0 nên 













84 





1s 

Tổng quãng đường đi được là: 

1 2 

3 1 

( ) ( ) 

 

S = S + S = 2t + 10 dt + 20 − 4t dt = 57m 

0 0 

Dụng ý sư phạm 

Phần trắc nghiệm 

= là S = ( 20 −4 

) 

..............................Hết................................. 

Câu 1: kiểm tra tính hiệu quả của biện pháp 1. 




2 

1 

 

0 

t dt 

Câu 5: kiểm tra tính hiệu quả của biện pháp 1 và biện pháp 3. 






















85 




Câu 15: kiểm tra tính hiệu quả của biện pháp 1 – 2 và 4. 

Câu 16: kiểm tra tính hiệu quả của biện pháp 1 – 2 và 4. 

Câu 17: kiểm tra tính hiệu quả của biện pháp 1 – 2 – 4 - 5. 



Câu 20: kiểm tra tính hiệu quả của biện pháp 1 – 2 - 3 – 4 - 5. 

Phần tự luận 


Câu 2: kiểm tra tính hiệu quả của biện pháp 1 – 2 - 3 – 4 - 5. 

3.4.2. Kết quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm sư phạm và lớp đối 

chứng tương ứng 

a) Đánh giá kết quả về mặt định tính 

Về nội dung: nội dung thực nghiệm đã góp phần phát triển năng lực giải 

quyết vấn đề cho học sinh. Bản thân mỗi học sinh đã vận dụng được các bước phát 

hiện và giải quyết vấn đề, đồng thời rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, 

tự nghiên cứu, tự giải quyết vấn đề qua các bài toán có nội dung thực tiễn. 

Về phương pháp dạy học: đã vận dụng được phương pháp dạy học tích 

cực là phương pháp dạy học giải quyết vấn đề vào dạy học, lấy học sinh làm 

trung tâm. Giáo viên là người điều khiển, tổ chức các hoạt động nhận thức của 

học sinh. 

Về khả năng tiếp nhận và lĩnh hội tri thức: học sinh nhìn chung có khả 

năng tiếp nhận và nắm vững nội dung và các dạng bài tập, khai thác các dạng 

bài tập để đạt được tri thức mong muốn. Đa số các em có khả năng vận dụng 


một cách linh hoạt, nhuần nhuyễn các thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái quát 

hóa trong giải toán, qua đó các em có năng lực tư duy tích cực, sáng tạo, hứng 












86 




thú và độc lập. 

Sau tiết học thực nghiệm, qua trao đổi với giáo viên giảng dạy, chúng tôi 

nhận được thông tin phản hồi sau: 

+ Biện pháp sư phạm đưa ra ở chương 2 hoàn toàn phù hợp với chủ đề 

“Nguyên hàm tích phân” và có thể thực hiện được trong trường THPT. 

+ Thiết kế và sử dụng giáo án theo phương pháp dạy học giải quyết vấn 

đề thu hút được nhiều đối tượng tham gia, học sinh tham gia các tiết học sôi 

nổi, nhiệt tình và hào hứng, chủ động và tích cực hơn. 

+ Khi sử dụng các biện pháp sư phạm giúp học sinh giảm bớt những sai 

lầm phổ biến. 

+ Biện pháp được đề xuất giúp giáo viên thực hiện được vai trò chủ động 

của người tổ chức và điều khiển hoạt động nhận thức của học sinh. 

Qua các giờ dạy kết quả đạt được đối với nội dung Nguyên hàm tích phân 

theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh đem lại kết quả 

sư phạm nhất định. Trong quá trình học tập học sinh luôn tích cực suy nghĩ, 

tham gia xây dựng bài, phát hiện và giải quyết vấn đề, có ý thức và giúp đỡ lẫn 

nhau trong học tập làm cho các giờ học sôi nổi hơn. Đa số các em học sinh 

nắm được các kiến thức cơ bản của chương một cách vững chắc hơn, hiểu được 

các khái niệm, định nghĩa, định lý, vận dụng giải quyết các vấn đề thược tiễn 

chủ đề Nguyên hàm – tích phân…Quá trình hoạt động, học sinh cảm thấy thích 

thú hơn với việc học tập theo phương pháp giải quyết vấn đề, học sinh bị cuốn 

hút vào các công việc học tập, tạo cho các em lòng ham học, hình thành kĩ năng, 

kĩ xảo, khơi dậy khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân. Đồng thời, góp phần phát 

triển tư duy và cái nhìn mới lạ về ứng dụng toán học trong đời sống. 

Qua kết quả của thực nghiệm sư phạm cho năng lực phát hiện và giải quyết 

vấn đề của lớp thực nghiệm tốt hơn lớp đối chứng và sau khi thực nghiệm tốt 


hơn trước khi thực nghiệm. 

b) Đánh giá các kết quả thực nghiệm về mặt định lượng 












87 




Kết quả kiểm tra được phân loại như sau: Từ 8 đến 10: Giỏi, 7 đến cận 

8: Khá, 5 đến cận 7: Trung bình, 3 đến cận 5: Yếu, 0 đến cận 3: Kém. 

Phương 

án 

Thực 

nghiệm 

Đối 

chứng 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

Lớp 

Tổng 

bài 

kiểm 

Điểm 

dưới TB 

Điểm 

TB 

Điểm khá Điểm giỏi 

SL % SL % SL % SL % 

12ª 42 2 4,8 11 26,2 24 57,1 5 11,9 

12B 43 6 14,0 12 27,9 16 37,2 3 6,9 

Bảng 3.1. Bảng kết quả kiểm tra được phân loại 

4,8 

14 

Điểm dưới 

TB 

Biểu đồ 1.1 

Biểu đồ cột về kết quả điểm số của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 

Kết quả ở lớp thực nghiệm số học sinh đạt điểm dưới TB và TB tỉ lệ thấp 

(dưới TB 54,8%; TB 26,2%), tỉ lệ học sinh đạt điểm khá giỏi, khá cao (khá 

57,1%; giỏi 11,9%). 

26,2 

27,9 

57,1 

37,2 

11,9 

6,9 

Điểm TB Điểm Khá Điểm Giỏi 

Thực nghiệm 

Đối chứng 













88 




Kết quả ở lớp đối chứng, tỉ lệ học sinh đạt điểm kém, TB cao hơn ở 

lớp thực nghiệm (dưới TB 1%; TB 27,9%), trong khi đó điểm khá, giỏi lại 

thấp hơn hẳn so với các lớp thực nghiệm (khá 37,2%; giỏi 6,9%). 

Như vậy, chất lượng học tập của học sinh ở lớp thực nghiệm cao hơn 

ở lớp đối chứng: tỉ lệ % học sinh khá giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn tỉ lệ % 

học sinh khá giỏi ở lớp đối chứng; ngược lại tỉ lệ học sinh yếu kém, trung 

bình ở lớp thực nghiệm thấp hơn ở lớp đối chứng. Qua kết quả thống kê trên 

ta thấy bước đầu thực hiện việc dạy học theo hướng phát triển năng lực giải 

quyết vấn đề cho học sinh thông qua khai thác các bài toán có nội dung thực 

tiễn qua chủ đề Nguyên hàm tích phân là thành công. Các biện pháp sư phạm 

được đề ra là khả thi và hợp lí. 

3.4.3. Đánh giá chung về kết quả thực nghiệm sư phạm 

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành thông qua hai giáo án tại trường Trung 

học phổ thông Thanh Ba, qua thời gian thực nghiệm bằng đánh giá định tính, 

định lượng chúng tôi thấy: 

- Hệ thống các hoạt động dạy học đã được thiết lập, giáo viên thực hiện được 

và tạo cho học sinh tích cực, lĩnh hội kiến thức chủ đề Nguyên hàm tích phân 

thông qua các bài toán có nội dung thực tiễn, đặc biệt: khái niệm, tính chất và 

định lí về nguyên hàm, tích phân. 

- Từ những biện pháp đã được trình bày trong luận văn giúp giáo viên có 

được đường lối đúng đắn hơn trong dạy học đặc biệt là trong dạy bài tập các 

bài toán có nội dung thực tiễn chủ đề Nguyên hàm tích phân. 

- Học sinh chủ động, tích cực, sôi nổi, hứng thú trong giờ học, say mê và 

yêu thích môn học. 

Như vậy, mục đích thực nghiệm bước đầu đã được hoàn thành và hiệu quả 

của các hoạt động đã được kiểm nghiệm. 



Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm định giả thuyết khoa học. 












89 




Cụ thể là các biện pháp sư phạm dạy học giải tích theo hướng phát triển năng 

lực giải quyết vấn đề cho học sinh đã đề ra ở chương 2 có khả thi và góp phần 

phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh như giả thiết khoa học nêu 

ra hay không? 

Từ các kết quả thu được trong quá trình thực nghiệm sư phạm cho thấy: 

- Các biện pháp được đưa ra trong dạy học khái niệm, định lí, tính chất, 

và các bài tập có nội dung thực tiễn theo hướng phát triển năng lực giải quyết 

vấn đề là một việc làm ý nghĩa và đã dành được sự quan tâm của đa số các giáo 

viên và học sinh. 

- Thực nghiệm sư phạm cho thấy các biện pháp sư phạm có thể chuyển 

giao để giáo viên vận dụng vào quá trình dạy học Nguyên hàm tích phân ở 

trường THPT mang lại hiệu quả và được sự ủng hộ của học sinh. 

- Học sinh có khả năng vận dụng năng lực giải quyết vấn đề khi thực hiện 

hoạt động tìm hiểu và nhận biết vấn đề, hoạt động tìm giải pháp trong tình huống 

vận dụng kiến thức Nguyên hàm tích phân sau thực nghiệm tốt hơn trước thực 

nghiệm, học sinh lớp thực nghiệm tốt hơn lớp đối chứng và có khả năng sử dụng 

năng lực giải quyết vấn đề để đề xuất giải pháp mới, đề xuất vấn đề mới, áp dụng 

vào tình huống thực tiễn mới và xây dựng phương pháp giải. Chất lượng làm bài 

kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Qua kết quả trên, 

chứng tỏ năng lực giải quyết vấn đề của học sinh thông qua các bài toán có nội 

dung thực tiễn chủ đề Nguyên hàm tích phân bước đầu được nâng cao và có hiệu 

quả. 

- Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm đã hoàn thành, tính khả thi và hiệu 

quả của các biện pháp đã được khẳng định - giả thuyết khoa học của luận văn có 

thể được chấp nhận được. 













90 

KẾT LUẬN 




- Luận văn đã góp phần làm sáng tỏ thêm cơ sở lí luận , cơ sở khoa học 

của năng lực giải quyết vấn đề của HS trong quá trình học tập. 

- Kết quả khảo sát thực trạng dạy học chủ đề Nguyên hàm, tích phân theo 

hướng nghiên cứu của đề tài cho thấy hầu hết giáo viên đều nhận thấy tầm quan 

trọng của việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong quá trình 

dạy học; Tuy nhiên việc triển khai nhiệm vụ này trong thực tiễn cũng còn những 

bất cập năng lực giải quyết vấn đề của HS trong quá trình học tập. 

- Những biện pháp sư phạm phát triển năng lực giải quyết vấn cho học 

sinh Trung học phổ thông qua dạy học khai thác các bài toán có nội dung thực 

tiễn thuộc chủ đề Nguyên hàm, tích phân được đề xuất trong luận văn gồm: 

(1) Tổ chức các hoạt động dạy học theo hướng tích cực hóa học sinh đảm 

bảo cho học sinh nắm vững được kiến thức cơ bản của Nguyên hàm, tích phân 

chương trình Toán 12 THPT; 

(2) Giúp học sinh thấy được vai trò và ứng dụng thực tiễn của Nguyên 

hàm, tích phân nhằm tạo hứng thú cho người học trong quá trình dạy học chủ 

đề này. Trong biện pháp này chúng tôi bổ sung hai dạng toán có ý nghĩa lớn 

trong thực tiễn là dạng toán về sự tăng trưởng kinh tế và dạng toán về sự phát 

triển của vi khuẩn. 

(3) Tăng cường huy động các kiến thức để học sinh phát hiện và giải quyết 

vấn đề bằng nhiều cách khác nhau; Rèn luyện thói quen lựa chọn phương án 

tối ưu trong các cách giải quyết vấn đề. 

(4) Kích thích để học sinh tham gia hệ thống hóa, xây dựng bổ sung chuỗi 

bài toán có nội dung thực tiễn của chủ đề từ các lĩnh vực thực tiễn 

(5) Tổ chức các hoạt động học tập, trải nghiệm giải quyết vấn đề thực tiễn 


bằng sử dụng kiến thức Nguyên hàm, tích phân. 

Chúng tôi đã minh họa cho những biện pháp trên thông qua 40 ví dụ cụ 












91 




thể. Mỗi ví dụ đưa ra đều có lời giải phân tích rõ ràng sẽ là nguồn tài liệu tham 

khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên sư phạm và giáo viên tham khảo. 

- Thực nghiệm sư phạm trên cơ sở thiết kế một số giáo án dạy học theo 

phương pháp tích cực thông qua khai thác các bài toán có ứng dụng thực tiễn 

thuộc chủ đề Nguyên hàm, tích phân nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn 

đề của học sinh phần nào đã chứng tỏ tính khả thi và hiệu quả của những biện 

pháp đã đề xuất. 

Những kết quả trên chứng tỏ giả thuyết khoa học chấp nhận được; nhiệm 

vụ nghiên cứu đã hoàn thành. 

Hy vọng luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các đồng nghiệp. 













92 




Tiếng Việt 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 

1. Nguyễn Văn Thái Bình (2004), Rèn luyện kĩ năng giải toán về nguyên 

hàm, tích phân cho học sinh kết hợp với sử dụng phần mềm Macromediaflash, 

luận văn thạc sỹ, ĐHSPHN. 

2. Nguyễn Hồng Hạnh (2011), Rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân cho 

học sinh lớp 12 THPT, luận văn thạc sỹ, ĐHSPHN 

3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên và những người khác, 2009), Giải tích 

12, NXB Giáo dục Việt Nam (tái bản lần thứ hai). 

4. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên và những người khác, 2009), Bài tập 

Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam (tái bản lần thứ hai).. 

5. Nguyễn Bá Kim (2015), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại 

học Sư phạm (tái bản lần thứ bảy) 

6. Phạm Thị Yến Lan (2001), Rèn luyện năng lực giải toán cho HS dựa 

trên hệ thống bài toán cơ sở, luận văn thạc sỹ, ĐHSP – ĐH Thái Nguyên 

7. Bùi Văn Nghị (2016), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể 

môn Toán, NXB Đại học Sư phạm (tái bản lần thứ ba) 

8. Bùi Văn Nghị (2017), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học môn Toán 

ở trường phổ thông, NXB Đại học Sư phạm (tái bản lần thứ ba) 

9. Polya G. (1975), Giải bài toán như thế nào, NXB Giáo dục (sách dịch) 

10. Trần Thị Lan Phương (2011), Nâng cao hiệu quả rèn luyện kĩ năng 

tính tích phân cho học sinh cuối cấp THPT, luận văn thạc sỹ, ĐHSPHN 

11. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên và những người khác, 2009), Giải tích 

12 nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam. 

12. Phan Anh Tài (2014), Đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của học 

sinh trong dạy học môn Toán THPT, Luận án Tiến sĩ KHGD, ĐH Vinh. 


13. Vũ Văn Tảo, Trần Văn Hà (1996), Dạy – học giải quyết vấn đề: Một 

hướng đổi mới trong công tác giáo dục, đào tạo, huấn luyện”, Trường Cán bộ 












93 




quản lý Giáo dục và Đào tạo. 

Tiếng Anh 

14. Beyer, B. (1984). Improving Problem SolvingSkills practical 

approaches. Phi Delta Kappan, 65, 556-560. 

15. Rob Foshay(1998), Principles for Teaching Problem Solving, TRO 

Learning,Inc 

16. Tuma & Rief (1980), Problem Solving and Education: Issues in 

Teaching and Research. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 

17. Woods, D., Hrymak, A., Marshall, R. Wood, P., (1997). Developing 

Problem Solving Skills: The McMaster Problem Solving Program. Journal of 

Engineering Education. 

Nguồn: 

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/j.2168- 

9830.1997.tb00270.x 
















PHỤ LỤC 1. PHIẾU KHẢO SÁT GIÁO VIÊN 

Để phục vụ cho đề tài nghiên cứu “Phát triển năng lực giải quyết vấn đề 

qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề Nguyên hàm - 

Tích phân”, xin quý thầy cô vui lòng cho biết ý kiến của mình về các vấn đề 

sau: 

Câu 1. Khi dạy học về Nguyên hàm, tích phân, thầy cô có quan tâm đến 

việc chỉ ra cho học sinh thấy vì sao có công thức tính diện tích hình thang cong 

như đã trình bày trong sách giáo khoa hay không? 

A) Có B) Không 

Câu 2. Khi dạy học về Nguyên hàm, tích phân, thầy cô có gợi ra nhu cầu 

thực tiễn dẫn đến phải tìm nguyên hàm của một hàm số cho trước hay không?. 


Câu 3. Theo thầy, cô các bài toán thực tiễn ứng dụng Nguyên hàm – 

Tích phân trong sách giáo khoa và sách bài tập thuộc loại nào? 

A) Còn ít B) Trung bình C) Nhiều 

Câu 4. Theo thầy, cô cần tăng thêm số lượng bài toán thực tiễn ứng dụng 

Nguyên hàm – Tích phân trong sách giáo khoa và sách bài tập hay không? 

A) Cần B) Không cần 

Câu 5.Theo thầy (cô), trong SGK, SBT có dạng toán thấy được năng lực 

phát hiện, nhận ra vấn đề cần giải quyết trong thực tế của học sinh hay chưa? 

A) Có B) Chưa. 

Xin cảm ơn Quý thầy cô ! 






PHỤ LỤC 2. PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH 











Để phục vụ cho đề tài nghiên cứu “Phát triển năng lực giải quyết vấn đề 

qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề Nguyên hàm - 

Tích phân”, xin các em vui lòng cho biết ý kiến của mình về các vấn đề sau: 

Câu 1. Khi dạy học về Nguyên hàm, tích phân, em có băn khoăn gì khi 

phải thừa nhận công thức tính diện tích hình thang cong hay không?, 


Câu 2. Em có nguyện vọng muốn biết vì sao có công thức tính diện tích 

hình thang cong như đã trình bày trong sách giáo khoa hay không? 


Câu 3. Theo em có cần tăng thêm các bài toán thực tiễn ứng dụng 

Nguyên hàm – Tích phân, ngoài các bài ứng dụng tính diện tích hình phẳng 

và thể tích khối tròn xoay trong sách giáo khoa và sách bài tập hay không? 


Câu 4. Em có muốn biết thêm những ứng dụng của Nguyên hàm – Tích 

phân ngoài những ứng dụng đã có trong SGK, SBT hay không? 


Câu 5. Em có thấy tính “có vấn đề” trong những bài toán đã cho trong 

sách giáo khoa và sách bài tập về Nguyên hàm – Tích phân hay không? 

A) Có thấy B) Chưa thấy. 

Xin cảm ơn các em! 


PHỤ LỤC 3. BẢNG TỔNG HỢP KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT 

BẢNG 1: KẾT QUẢ KHẢO SÁT GIÁO VIÊN 















Câu Số GV đồng ý % Số GV không đồng ý % 

1 2 9% 20 91% 

2 4 17% 18 83% 

3 18 (còn ít) 83% 4(trung bình) 17% 

4 18 83% 4 17% 

5 0 0% 22 100% 

BẢNG 2: KẾT QUẢ KHẢO SÁT HỌC SINH 

Câu Số HS đồng ý % Số HS không đồng ý % 

1 143 85% 25 15% 

2 143 85% 25 15% 

3 81 48% 87 52% 

4 168 100% 0 0% 

5 29 17% 139 83%

Phát triển năng lực giải quyết vấn đề qua khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề Nguyên hàm - Tích phân

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?